让儿童经历数学模型再造过程——以苏教版四上《解决问题》教学为例

江苏省扬州市东关小学 胡正梅

让儿童经历数学模型再造过程
——以苏教版四上《解决问题》教学为例

江苏省扬州市东关小学 胡正梅

数学模型指对于现实世界的某一特定对象，为了某个特定目的进行必要的简化和假设，运用数学工具得到的一个数学结构。郑毓信教授在《国际视角下的小学数学教育》一书中论述：第一，在数学教学中我们应当关注利用学生已有的数学经验和知识，特别是，我们应善于将“日常数学”用作学校数学学习的出发点和必要背景。第二，教师应当努力帮助学生实现由“日常数学”到“学校数学”的过渡。具体来说，这种过渡在一定程度上既可被看成是一种抽象活动，也是将着眼点由原先的现实情境转移到内在的（深层次）数量关系。第三，教师应十分重视如何帮助学生把学校中所学到的数学应用于社会实际生活。这一思想是对数学模型构建的具体阐述。引导儿童在生活问题中发现数学问题，初步构建数学模型，然后优化数学模型，再应用数学模型的经验来解决生活问题，才是将数学学习回归生活的真正目的。

一、问题情境——从日常数学向学校数学的过渡

将生活问题引到课堂上，根据问题的特征和目的对问题进行简化，提炼有效的数学信息，并用精确的数学语言来描述，形成一般数学问题。生活问题情境可以激活学生头脑中原有的生活经验，他们用积累的经验来感受其中的数学问题，提高学习的兴趣，建立符合自己经验的认知结构。

从日常数学到学校数学，问题有助于儿童形成认知与思维模型，形成的数学模型游离于具体材料之外，进而促进学生数学观念的形成。如教材第9页例2，主题图呈现了买绳子的情境，学生根据“可以分给多少个班，还剩多少根”，把一些物体平均分，用除法计算。为了更好地促进学生思维模型的形成，教材先安排估计380÷30的商大约是多少，30×10=300，30×20=600，发现商应该在10-20之间，通过区间估计商是十几，形成思考方向，激活了商是两位数的计算经验，形成思考数学问题的一般模型。

二、探究建模——经历数学模型再造过程

1．一次建模

一次建模的主要任务是抽象出数学问题，将文字语言翻译成数学语言，将生活问题抽象出数学问题。正如郑教授论述的从生活数学向学校数学的抽象，抽象的过程就是建模的过程，抽象出来的数学问题就是数模。建模经历了对情境问题中蕴含的数学成分进行分析和描述的过程，从学生不正规的数学语言通过简化和形式化不断地向比较严格和正规的语言靠拢的过程。

（1）解读情境。情境中的信息是建构数学模型的“基石”，情境中的信息一般比较多，关系也比较复杂，需要引导学生细致阅读，深刻分解问题背景，根据问题的特征和建模的目的进行必要梳理。如教材第56页例1，主题图为栽树的情境，有“3行桃树”“8行杏树”“4行梨树”以及“桃树每行7棵”“杏树每行6棵”“梨树每行5棵”六个已知条件。呈现特点：已知条件比较多，条件之间的直接联系比较清楚，数量关系式简单。学生明确桃树的行数与每行棵数是一组，杏树的行数与每行棵数是一组，梨树的行数与每行棵数是一组，尽量掌握被建模对象的各种信息，发现实际问题的内在规律。

（2）抽象出数学问题。抓住主要信息，联系已有的数学知识和方法，依据数量关系式，用精确的语言描述数学问题，问题的难易度也反映了儿童思维水平的高低。学生很容易找到数量关系式：桃树总棵数=桃树行数×每行棵树，杏树总棵数=杏树行数×每行棵树，梨树总棵数=梨树行数×每行棵树，再求解桃树、杏树和梨树棵数的问题、桃树和梨树一共棵数的问题就容易了。找到已知量之间的各种关系，利用条件与条件之间的联系进行分析，从而抽象出数学问题。

2．二次建模

二次建模的主要任务是抽象出数学方法，将问题中的数量关系用数学式子、图形或表格等形式表达出来，从而建立数学模型，进而求出数学问题的解。从数学问题中抽象出纯数学的意义，这种意义表述或数学术语也是数模，经历了对数学问题的深入探究过程。

（1）解答数学问题。在认知心理学家看来，解答问题通常被描述为搜索问题空间，而问题空间包括初始状态、中间状态和目标状态。把解决问题的空间看作状态的迷宫，把算子看作在其间移动的路径，对某个问题的解答是通过搜索算子来实现的，问题的解决步骤实质就是一连串的算子序列。对于上述例题，利用数量之间的直接联系，整理实际问题的已知条件和所求问题，体会“整理”对解决问题的积极作用，突出“整理”的策略。让学生明白，利用条件与条件之间的直接联系，可以整理条件；如果某些条件与所求问题没有关系，可能是“多余”的条件，在整理方式上既可以从条件出发整理，也可以从问题出发整理（如下表）。

从条件出发整理：

桃树 3行 每行7棵杏树 8行 每行6棵梨树 4行 每行5棵

从问题出发整理：

桃树 3行 每行7棵梨树 4行 每行5棵

整理条件后，鼓励学生“根据数量之间的关系，确定先算什么，依据什么，再求什么”，感受从条件向问题推理和从问题向条件推理的不同，分析数量关系的策略，是产生解决问题的计划与步骤的过程。

（2）抽象出数学结构。数学建模是一个提出问题、分析问题和解决问题的过程，需要具备一定的解决问题的策略，如列表整理、枚举、假设、猜想、分类、类比等等。帮助学生找到解决问题的途径和方法：首先，运用分析与综合的方法，弄清现实情境中的条件和问题之间的数量关系，选择一些解决问题的有效策略并构建恰当的数学模型，借助数学概念、数学符号、数学表达式或图形简洁、清晰地表达出来，接着，在建立数学模型的基础上进行逻辑推理或数学演算，求出问题的解，最后，把数学模型中得到的解再回到问题中去，检验是否使问题得到了解决。本例题要明确解决问题主要经历哪些步骤，就是弄清题意，找到已知条件和所求问题，列表整理条件，然后分析数量关系，设计解题计划，并按解决问题的步骤，列出算式，算出得数，检验结果；最后是反思解题，交流体会。

三、解释、评价模型——在比较中验证模型的适切性

解释模型是求解结果与实际情况相比较，以此来验证模型的适切性。解释模型过程就是模型与现实生活和学生经验融合的过程，学生根据生活、知识经验，用自己的语言进行解释，逐渐转化为他们更为独特的个体经验，运用模型解决生活问题。数学教学中的解决问题，其目的不只是得到问题的答案，而是提高学生解决问题的能力，培养解决问题的策略，形成不同的数学模型。这就是说，得到问题的结论不应是教学的结束，还要进一步积累解决问题的经验，形成学生自己解决问题的有效策略。如教材第58页例2水位下降情况记录表，用表格呈现放水小时数和相应的水位下降厘米数，数量之间的对应关系十分清楚，而且解答思路不止一种。放水时间与水位下降高度是有规律地同时变化，水位每小时下降6厘米是不变的数量，它可以从“每2小时下降12厘米”得出。根据“每小时水位下降6厘米”能够找到一种解法，利用“放水时间与水位下降高度按相同倍数变化”也能够想到另一种解法。各种解法的结果应该相同，不同的解法可以相互验证。教材中的想一想，求“如果经过12小时，水位一共下降多少厘米？”引导学生运用上述不同方法（模型）来求解，促进模型的进一步比较验证，在应用中适时进行评价。