“分数的意义”教学实录

◇张齐华

一、认识单位“1”，建立关系

师：这儿有一些正方形（屏幕显示6个同样的小正方形），你觉得这些正方形可以用什么数来表示？有不同的答案吗？

生：我觉得这些正方形可以用6来表示。

师：猜猜看，他把谁看作了“1”？

生：他把1个正方形看作了“1”。

生：我觉得这些正方形还可以用3来表示，只要我们把2个正方形看作“1”。

生：我觉得这些正方形还可以用2或1来表示。把3个正方形看作“1”，这些正方形就可以用2表示；把6个正方形看用1表示，这些正方形就可以用1表示。

生：我觉得这些正方形还可以用12来表示，如果我们把半个正方形看作“1”。

生：我觉得这些正方形还可以用1.5来表示，如果我们把4个正方形看作“1”。

生：我觉得这些正方形可以用任何数来表示，关键看我们把多少个正方形看作了“1”。“1”变了，这些正方形表示的数也就变了。

（结合学生的发言，教师相应地圈出6个正方形中的“1”，并标出对应的数）

师：的确，“1”是我们计数的基本单位。只有确定了“1”，我们才能够准确地对这些正方形或其他任何东西进行计数。所以，数学上，我们把这里的“1”看作计数的单位，也叫单位“1”。想一想，当我们对这些正方形用6表示时，其实，我们是把几个正方形看作了单位“1”？

生：1个。

师：把1个正方形看作单位“1”，2个这样的正方形，就可以用哪个数来表示？（如图1）

图1

生：可以用2来表示。

师：3个、5个、8个这样的正方形，又可以用哪些数来表示呢？

生：可以用 3、5、8 来表示。

师：你有什么发现？

生：我发现，有几个单位“1”，我们就可以用几来表示。

师：数学上，整数就是单位“1”的叠加，有几个单位“1”，就可以用整数几来表示。如果不满1个单位“1”，或者比几个单位“1”还多一小部分时，我们又该用怎样的数来表示呢？

生：我觉得可以用分数来表示。

生：我觉得还可以用小数来表示。

师：是的，有时候，正因为我们的计数对象不是完整的单位“1”了，所以，我们才创造出了分数和小数。以图2为例，如果把整个圆看作单位“1”，你觉得涂色部分可以用怎样的数来表示？为什么？

图2

师：整数是单位“1”的叠加，分数则源自对单位“1”的等分。这样看来，整数也好，分数也好，其实都和谁有关？

生：都和单位“1”有关。

师：是单位“1”把整数和分数联系在了一起，单位“1”是整数和分数之间的桥梁！

（结合学生发言，教师相机板书如下）

二、丰富单位“1”，深化认识

（学生组内交流，随后全班汇报。学生代表性作品如图3）

图3

生：因为它们都是把单位“1”平均分成了4份，表示了其中的3份。

（结合学生的发言，教师相机板书如下）

三、从关系到“数”，拓展理解

师：其实，分数除了可以表示部分与整体的关系，它本身还能表示一个具体的数。比如，（指图3）这是1块饼，那么，涂色的部分是多少块饼？

师：如果这是1米、1盘苹果，那么涂色部分又是多少米、多少盘苹果？

（学生尝试，并在小组内交流想法。随后全班展示）

图4

图5

师：比较一下，发现了什么？

生：我发现，第一位同学是把0到2这一段看作单位“1”，而第二位同学是把0到1这一段看作单位“1”。

生：我觉得两位同学都对。因为我们刚才在讨论正方形时就说过，随便几个正方形都可以看作单位“1”。

师：有什么问题或困惑吗？

生：我有个问题。我们都知道，数轴是可以无限延伸的。如果这两个都对，那么，万一数轴很长，这道题的答案就有无数个，那就没意义了。

生：我赞成。如果两个答案都对，那么，我们就没办法在数轴上找到分数的准确位置了。

生：我觉得，这里，我们只能把0到1这一段看作单位“1”。不过……

生：我觉得这个点应该是1.5。

图6

师：有什么发现？又有什么问题？

生：我反对！我觉得只能从左往右数，因为我们的整数就是从左往右数的。

图7

生：我觉得对是对，但有点别扭。因为数轴上，我们都是用点来表示数的，而他是用这一段来表示数的，我觉得不统一。

生：我也觉得有点别扭。如果数轴上的分数都用这样的段来表示，那么，要表示好几个分数时，数轴上就有点乱了。

师：看来，和整数一样，分数的确也能够在数轴上找到它们的位置。比较一下这3个分数，你有什么发现？

生：我发现，它们的分母都是4。

图8

四、由模仿到建构，自我完善

师：学习数学就像我们认识一个人一样，我们需要从不同的侧面去了解它、发现它，这样，我们的认识才会更全面、更丰富。不过，在这些不同的表示方法之间，你能找到它们的联系吗？任意选择两种方式，试着比一比、说一说。

生：我想说画图和文字这两种。我觉得，无论是长方形、线段还是8个苹果，都可以看作单位“1”。这几幅图其实都是把单位“1”平均分成4份，表示了这样的3份。所以，我觉得文字其实就是图的一种浓缩。

……

（学生任选一个分数，尝试着用不同方法表示对它的理解。随后，全班交流）

图9

师：对于他的作品，有什么问题或补充吗？

生：谢谢你的建议，以后我会注意的。

图10

生：我想给你提个建议。我发现你的数轴只画了0～1这一段，如果后面加个箭头，这样会更好。因为数轴是可以无限延伸的。

生：我建议你把数轴画到右边来，这样，我们就能够更清楚地看出，分数既能够表示关系，又能够表示一个具体的数。

生：谢谢你们的建议，以后我会注意的。

五、从零散到整合，升华认识

师：刚才，每一个同学都选择了一个分数，从不同角度表达了自己对它的理解。现在，请大家结合相应的作品，比较这些不同的分数，你觉得它们有没有什么相同的地方？

生：我觉得无论什么分数，我们都可以画图表示出来。

生：我觉得任何一个分数，都是把单位“1”平均分成几份，取其中的几份。

师：是的，数学上，把单位“1”平均分成若干份，表示这样的1份或几份的数，就叫作分数。

生：我觉得，所有分数，都可以在数轴上找到它们的位置。

师：不过，刚才我们只是在数轴上找到某一个分数的位置。试想一下，如果我们把这几个不同的分数在同一条数轴上表示出来，你有什么感觉？

生：我觉得有点乱。

生：我觉得有点麻烦。

师：事实究竟怎样，让我们一起来看一看。

（教师借助课件演示在同一数轴上找到4个不同分母的分数的过程，如图11）

图11

生：我觉得好乱啊！

生：我都看不清楚了！

师：试想一下，如果我们表示的不是4个分数，而是 4 个不同的小数，比如 0.2、0.3、0.7、0.9，情况还会这样吗？

生：不会！

生：如果是小数，看起来就清楚多了。

（教师借助课件演示同一数轴上4个不同的小数，如图12）

图12

师：同样在数轴上表示4个数，为什么分数看起来如此凌乱不堪，而小数却显得井然有序？

生：我觉得分数的分母不同，所以平均分的份数也不同，表示起来非常乱。但小数都是把单位“1”平均分成10份，所以，看起来就比较清楚！

生：我反对！这几个小数都是一位小数，如果是两位小数、三位小数呢？

生：我觉得也一样！两位小数，我们只要把单位“1”统一平均分成100份就可以了；三位小数，我们只要把单位“1”统一平均分成1000份就可以了。不像分数，几乎每一个不同的分母，我们都得重新分一次。所以，还是分数看起来要更乱一些。

师：有比较才有鉴别。和小数比较，相信大家对分数的特点感受更明显了。现在，请大家回想一个问题：如果让你到生活中去找一个数，你觉得找分数和小数，哪一个更容易？

生：我觉得找小数更容易。

生：我也觉得找小数更容易，超市、菜场、商场，哪儿都能找到小数。

师：现在，你知道这一现象背后的原因了吗？我们生活的世界，遵循着优胜劣汰的原则，其实，我们的数学世界，何尝不是如此呢！正因为分数的分母各不相同，导致分数的单位各不相同，从而给我们的比较、计算、解决问题等带来很大的麻烦，所以，日常生活中，分数离我们越来越远。好在，人们逐渐认识到分数的这一缺点，又对分数进行了一些改造，并发明了一种全新的数。这一内容，我们将在后面的学习中继续来研究！