例说小学数学中的几何直观———几何直观与小学数学教学（下）

◇史宁中

在简单了解直观与几何直观的含义、本质、功能之后，我们来讨论小学数学中的几何直观，主要针对“图形与几何”和“数与代数”两个领域的内容展开讨论。

一、小学“图形与几何”领域中的几何直观

在教学时，我建议教师利用几何直观来讲几何知识。正如前文所述，并非画出几何图形就可以称为借助几何直观，而是需要借助几何图形发现所研究图形的本质、关系或规律。

1.角的大小比较。

在认识角时，有的教材会给出角的“定义”：从一个点引出两条射线所组成的图形叫作角。一线教师经常会思考一个问题：既然角是由两条射线组成的，那么三角形中的角算不算角呢？

我们曾经做过一次课堂实验。为了避免学生在概念学习上的冲突，我们在黑板上画出一个角，然后直接告诉学生：“像这样的几何图形就叫角，而且角的大小和边长无关。”接下来，我们向学生提出问题：既然角的大小和边长无关，那么角的大小跟什么有关？

经过动手操作探究，有的学生很快就把要比较大小的两个角摞在一起，并且得出结论：边靠外的角大。显然，在这个操作过程中，学生已经悟出了究竟什么是角。

后来，我们鼓励学生探寻其他比较角的大小的方法。经过全班讨论，学生得到了画圆弧比较大小的方法，即圆弧越长，对应的角越大。经过小组动手验证，学生发现还需要“两个角的‘边长’相等”这一条件。换句话说，此时学生已经“创造”了单位圆。在本质上，角的大小是由它在单位圆中所对应的弦长或弧长所决定的。这就是在高中阶段学生将要学习的弧度制。

通过经历角的大小比较的探索过程，学生积累了思维的经验，并且感悟了数学概念的本质。我比较欣赏北师大版（新世纪）小学数学教材编写团队，他们对教材内容进行的任何一处修改，都是经过众多课堂实践的，真正做到了站在学生学的角度编写和修改教材。

2.直线段的应用。

（1）三角形任意两边之和大于第三边。

在教学时，教师可以选择先将结论直接告知学生再去验证的教学策略。如果想借用几何直观，基于欧式几何中“两点之间直线段最短”的基本事实，我建议教师带领学生发现两点之间可以有无数条连线，然后直接告知学生“其中最短的一条称为直线段”。于是，三角形的另外两条边就可以看成从一个点出发经过一条折线到达另一个点的路径。显然，它必然比这条直线段长。所以，我们千万不能总是将图形看成静止的东西，不能只想到把两条线段压下来的方法。

（2）直线段与垂直。

有了前面的探究活动后，垂线就好讲了。直线外一点跟直线上的任意一点，都可以连成一条直线段，其中最短的一条便称为垂线段。垂线段与这条直线相交得到的两个角是对称的，即垂线段把平角平均分成两部分（90°）。所以我们定义成90°时的位置关系为垂直是很有道理的。

（3）直线段与两点间距离。

在义务教育阶段，我们所学的两点间距离就是指两点间直线段的长度。在本质上，只要是直线段，我们就可以利用多种度量单位来度量其长度，如寸、尺、米等。为了便于交流，人们对度量单位进行了约定。同理，我们也可以利用多种度量单位来度量面积，同样是为了便于交流，我们从正方形出发来规定面积单位。

除了度量，在义务教育阶段，最重要而又最难懂的概念，就是平移、旋转和轴对称。它们都是运动的结果，这与高等数学中将它们视作变换的观点有所不同。既然是运动，就必然存在参照系，没有参照系，人们就无法判断物体是否运动。平移的参照系是一条射线，旋转的参照系也是一条射线，而轴对称的参照系是一条直线。它们的本质是始终保持两点间距离不变，进而也保持角度不变的运动，即刚体运动。如前文所述，之所以能保持角度不变，就是因为角的大小是由它在单位圆中所对应的弦长所决定的，从而两点间的距离不变。初中阶段讲授的三角形全等的概念，其本质就是任意对应两点间的距离和对应两条线的夹角都不变。因此两个三角形全等的“边角边”定理，实际上说的是任意两点间的距离不变。

3.对平行的理解。

在小学阶段，理解平行线对学生来说是一件非常难的事情。有的教材会给出平行线的“定义”：同一平面内永远不相交的两条直线叫作平行线。

这个定义太难懂了。直线的定义已经很难给出了，此时再出现“永远不相交”，学生的头脑中就更加混乱了。其实，不妨尝试在讲完平移后，教师直接告诉学生：通过平移一条直线而得到了另一条直线，这两条直线平行。我的观点是，若遇到比较抽象又很难懂、很难定义的数学概念，教学时教师完全可以借助具体的事物来讲解，以便于学生理解数学概念的本质。严密的数学定义，可以放到初中、高中甚至大学再讲，千万不可操之过急。在小学阶段，我们让学生感悟到数学概念的本质、关系、规律即可。

4.图画还原。

对于《数学课程标准（2011）》的例35（图画还原），大家可能没有意识到它的重要性。题目为：

打乱由几块积木或者几幅图画构成的平面画面，请学生还原，并利用平移和旋转记录还原步骤。

这道例题的本意是先请一名学生打乱各积木或图画之间的顺序，然后这名学生把旋转和平移的具体步骤（规则）告诉另一名学生，另一名学生根据规则将图画还原，最终得到原来的平面画面，从而通过实际操作帮助学生进一步理解平移和旋转。这道例题的重要性体现在现代信息的输送。现在我们使用的数码电视机、数码照相机，都是有像素的，而像素的本质就是很多小格子。我们可以在每个小格子里定义一些数，例如，用0表示格子没有颜色，用1表示格子是红色的，用2表示格子是黄色的。如果我们将一张图的各像素数值直接输送出去，接收到信息的任何人最终都能看到这张图。如果不想让所有人都能看到，我们就需要给传输的这批数加密。有什么好方法吗？其实，最简单的办法就是将每一个像素打乱（平移）、转圈（旋转），然后向外传输一批杂乱无序的数。将如何打乱、如何转圈的规则告诉我们的朋友，他们就可以解码，从而得到原来的图形。这个例子能够培养学生的几何直观。

5.几何教学需注意的问题。

数学研究的对象都是抽象的，是要舍去一切物理背景的。在中小学阶段，有很多问题学生不理解或教师讲不清楚，原因在于没有舍去问题的物理背景。

比如，有的教材说天安门城楼图案是一个轴对称图形，课堂上就有学生问数学教师：“城楼上的旗不对称，怎么能说城楼图案是轴对称图形呢？”教师当时被问得不知该如何回答。本质上，教师应该帮助学生明白，我们是把天安门城楼图案的外围轮廓抽象成一个几何图形，这个图形是轴对称图形。

再比如，我在杭州听到过一个故事。在学习面积时，有的教师安排学生摸某个平平的物体来感知面积。有个非常聪明的学生跟老师说：“窗户关上时我摸它是有面积的，窗户打开后面积就没有啦！”

所以我们一定要牢记，数学研究的对象是抽象的。抽象的东西在现实世界中是不存在的，但是它又必然是存在的，不然我们怎么能讨论呢？这是一个哲学问题，我们称这种存在为抽象的存在。例如，我们看到了足球、苹果，头脑中会想到圆。如果没有这个足球、苹果，头脑中的这个圆依然存在。我们在黑板上画出圆，并且给出圆的定义、讨论圆的性质，但我们讨论和研究的圆，绝对不是黑板上画出的具体的圆，而是大家头脑中共同存在的抽象的圆。这就叫抽象的存在。正如郑板桥说过的，我画的不是我眼中之竹，我画的是我心中之竹。因此，几何直观所讲的所有图形，在本质上不是某个具体存在的图形，而是在思维中抽象存在的图形。

二、小学“数与代数”领域中的几何直观

几何直观不仅可以用来解决“图形与几何”领域中的问题，在“数与代数”领域中几何直观也有非常广泛的应用。它的本质是通过几何图形建立直观、直觉，然后利用代数的方法解决问题。因此，培养学生的几何直观，最终是让学生在看到图时，头脑中能想到度量。

1.对自然数的抽象和理解。

有的教师可能会遇到这样的教学困惑：在讲自然数“3”时，利用的实物是3个苹果，在讲自然数“4”时，利用的实物是4个梨，最后有的学生却分不清3和4。这是为什么呢？

我们认为，出现这种现象的根本原因是：学生在学“3”时不知道“3”跟苹果无关，学“4”时不知道“4”跟梨无关。因此，教师要帮助学生建立对应，就要舍去一切物理背景。但是一开始学生无法舍去物理背景，怎么办呢？这个过程急不得，需要教师耐心引导，慢慢地来。

首先，教师要帮助学生将实物抽象成几何图形。比如，将3个苹果抽象成3个小正方形。如果可能的话，一个学期只使用一种图形即可，不要一会儿用小正方形，一会儿用圆，一会儿用小长方形。数仅仅是一种符号表达，其本质是数量关系，即数之间的大小关系。因此，在讲完“3”后就得讲“4”。因为4个小正方形比3个小正方形多，所以4比3大。

其次，教师可以这样引导学生学习加法：左边有3个小正方形，右边有4个小正方形，问学生哪边的小正方形多，学生肯定会说右边的多；接下来教师在左边增加1个小正方形，再问学生哪边的多，学生会回答两边的一样多。所以，3+1=4。

这种教学策略，不仅借助了几何直观讲授加法，而且让学生在几何直观中，感悟到什么是相等。除了相等，数量之间的关系还有大于和小于，这就是实数的三歧性定理。

2.对负数的理解。

数轴是一个很重要的模型，其三要素是原点、正方向和单位长度，三者缺一不可。教师应该清楚，数轴最重要的作用是它把数同线段的长度等价了，即在线段的长度与数之间建立了一一对应。因此，数学成为了一个有机整体，这样才有希尔伯特所说：当看到图形时我头脑中想到了代数式，当看到代数式时我头脑中浮现了图形。

负数最早出现于《九章算术》。《九章算术》中记载了这样一个故事：一个人在做买卖时，他把卖牛挣的钱算正，把买东西花的钱算负。可见，负数最初的出现，不是运算的结果，而仅仅是一种表达的需求。因此，负数和正数的本质是相同的，都是一种数量关系的表达。只不过如果挣的钱算正的话，花的钱就算负；如果往东走算正的话，往西走就算负；如果往上走算正的话，往下走就算负；等等。因此，正数是对数量的抽象，负数也是对数量的抽象。例如，+2和-2，对应的数量都是2，只是意义不同。所以，正数和负数表示两个数量相等、意义相反的量。如果这件事清楚了，那么学生到初中阶段学习绝对值时就会明白，绝对值体现的是相等数量。

3.对分数的理解。

分数的本质是数，并不是除法；除法是一种运算，而分数仅仅是一个数，两者完全不同。分数具有两种含义，一种是等分，另一种是比例。在讲分数除法中“除以一个分数，等于乘这个分数的倒数”时，有的教材编了如下一道例题：

首先，教师可以出示：

（1）小红家有鹅 4只，是鸭子的2倍。小红家有几只鸭子呢？

在解答这道题时，学生会自然地列出4÷2=2。在教师追问学生列除法算式的原因时，学生会清晰地回答：因为题目中的两个数量之间存在倍数关系。

其次，教师出示下面的题目：

这时学生就不会对列除法算式产生困惑了。可见，使学生产生困惑的问题在于题中的文字，在于“倍”。在数学上，分数倍和整数倍的本质是相同的，都是倍数关系。

三、几何直观与空间观念的区别

德国哲学家康德认为：人的一切知识并非都来源于经验；人类具有认知的能力，称为直观（觉）；有一种先于经验的直观，称为先验直观，包括时间、空间和因果关系三个方面。时间感知事物的发展，空间感知位置的差异，因此我们才得以认知世界。没有了时间和空间，我们无法认知世界。

我们所研究的空间观念，是在数学领域内的理解，其本质是物体位置之间的关系。有一种观点是十分重要的：点是0维空间的，线是1维空间的，面是2维空间的，体是3维空间的。只有站在高维空间，我们才能知道低维空间的现象。只有放在平面上，我们才能看出一条线是直线还是曲线；只有站在3维空间，我们才能看出一个面是平面还是曲面。

例如，北京位于北纬40°，纽约也位于北纬 40°，那么，它们之间的直线段是什么呢？是不是北纬40°纬线就是直线段呢？如果沿北纬40°纬线方向测量，两地之间大约是14000千米；但如果沿北冰洋方向测量，两地之间大约是11000千米，要近3000千米。那么，两地之间的直线段究竟是什么呢？其实，在不同维度的空间，得到的结论是不同的。地球表面是个球面，球面上两点间的距离是什么呢？最短的线段是什么呢？好比地球是一个圆圆的西瓜，北京、纽约可看作西瓜上的两个点。经过这两个点切一刀，在截面处可以得到一个圆。只有当这个圆经过球心时，两点间的弧长才是最短的。这个圆叫作大圆。基于这种背景建立起的几何学叫黎曼几何学。

北师大版（新世纪）小学数学教材在“长方体的认识”单元中精心设计了让学生拆盒子及拆完再还原的内容，这对培养学生的空间想象力非常有帮助，是非常重要的教学活动。这种帮助可能在短时间内无法显现，但是对学生在高中阶段学习立体几何时空间观念的建立是十分有益的。培养空间观念，其本质就是培养学生的空间想象力。

可见，几何直观和空间观念是有所不同的。空间观念更指向数学，更指向空间的位置关系和图形之间的关系。