2016年广东高考文科数学函数与导数问题教育价值分析与思考
2017-04-14庞进发
作者简介：庞进发，男，中学数学高级教师，教育硕士，现任广东省东莞市东莞中学数学教师、数学科教研组长，兼任东莞市中学数学教研会副秘书长、华南师范大学校外兼职硕士专业学位导师. 2009年被评为东莞市优秀教师，2015年被评为广东省南粤优秀教师，2013年被评为东莞市第三批学科带头人，2016年被评为东莞市高中名师工作室支持人. 2004年参加广东省高中青年数学教师现场优质课评比获省一等奖. 2016年主持课题《高中数学问题教育价值研究与实践》获市教育科研立项课题，还参与多项市级课题研究并获奖，有多篇论文在省级以上发表以及获市一、二等奖.
[摘 要] 数学问题解决的研究很多，而思考其教育价值的不多. 本文通过分析2016年广东高考文科数学函数与导数问题，探讨其中蕴含的教育价值：综合体现数学核心素养、关注分析与解决问题的能力、体现多种数学思想方法，并提出函数与导数复习备考的启示.
[关键词] 数学问题；教育价值
期盼了一年，也研究了一年的广东高考数学全国卷终于见面了，特别是2016年是新课改以来广东省首次使用全国卷，高考试题自然成为教师们探讨的热点. 全国高考数学试题结构稳定，以主干知识为主线，突出对学生数学能力的考查，常规中显新意，给中学的教学以及高三的备考指明了方向. 而教师们对高考试题的研究，更多的是停留在试题的特点、规律以及数学问题的解决上，思考其教育价值的不多. 本文笔者试探讨2016年广东高考文科数学试题（全国新课标（Ⅰ）卷或（乙）卷）（下面简称“试题”）中函数与导数问题的教育价值.
[?] “试题”再现
9. 函数y=2x2-e在[-2，2]的图像大致为
12. 若函数f（x）=x-sin2x+asinx在（-∞，+∞）上单调递增，则a的取值范围是
21. 已知函数f（x）=（x-2）ex+a（x-1）2.
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）若f（x）有两个零点，求a的取值范围.
函数与导数是高中数学主干知识之一，也是每年高考重点考查的内容之一. 第9题主要考查了函数的性质（偶函数、单调性）、函数的图像（对称性），考查了对函数的解析式、函数图像的分析能力；第12题主要考查了函数的单调性、二次函数的图像与性质、由函数的单调性确定参数的取值，考查了求导运算能力、换元法、数形结合法、逆向思维等；第21题主要考查了带参数的函数单调性的判断、函数的零点、参数取值的确定，考查了分类讨论、数学结合的思想方法. 这三道试题都有一定的综合性，是中高难度的问题，蕴含了丰富的教育价值.
[?] 综合体现数学核心素养
数学核心素养是具有数学基本特征的、适应个人终身发展和社会发展的人的关键能力和思维品质，是数学课程目标的集中体现，它是在数学学習的过程中逐步形成的. 数学核心素养包括数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析. 这些数学核心素养既有独立性，又相互交融，形成了一个有机整体. “试题”中函数与导数问题，关注了学生数学核心素养的综合体现.
例如，第9题函数y=2x2-e的自变量x的结构特征是x2和x，当自变量x取相反数-x时，函数值y相等，符合偶函数的定义，因此直观可以判断该函数图像关于y轴对称. 而四个选项的图像都是关于y轴对称，仅凭此不能做出选择. 再从给出的数据进行分析：当x=2时，y=8-e2，通过估算可知y∈（0，1），这样由图像的直观，可排除A和B选项. C和D选项的图像的区别是函数y=2x2-e在区间[0，2]的变化趋势，即单调性. 首先由函数y=2x2-ex直观分析2x2在区间[0，2]上是增函数，而-ex在区间[0，2]上是减函数，没办法直观判断；接着可以尝试对函数进行求导运算，通过判断导函数的符号，从而得到函数的单调性，即y′=4x-ex，当0 0， 上是减函数，这样就排除了C选项，最后剩下D选项为正确答案. 显然，这道试题蕴含了逻辑推理、直观想象、数学运算和数据分析等数学核心素养，是数学核心素养的综合体现. [?] 关注分析与解决问题的能力 课程标准指出，培养学生从数学角度发现和提出问题的能力，分析和解决问题的能力，这些能力的获得是其自主学习、实现可持续发展的关键，评价对此应有正确导向[1]. 能力是通过知识的掌握和运用水平体现出来的，从而高考试题更多注重考查学生运用知识和方法的能力，分析和解决问题的能力. “试题”中函数与导数问题，涉及对函数相关的概念本质的理解、分析函数的基本方法以及解决函数问题的策略方法等. 例如，第12题已知函数f（x）=x-sin2x+asinx在（-∞，+∞）上单调递增，确定a的取值范围. 首先题目的条件涉及函数单调性的本质理解，即函数f（x）在（-∞，+∞）上单调递增就是自变量x增加时对应的因变量f（x）也在增加，从函数图像上呈现出从左到右上升的趋势，其导函数f′（x）的符号为非负数. 有了这些知识的理解，接着对函数f（x）的模型进行分析，即函数f（x）由两类基本函数（一次函数与三角函数）组合而成，解决的思路就可以有两个方向：①分别从一次函数和三角函数进行研究；②直接求导运算，运用导函数进行研究. 基于对函数f（x）的结构的直观分析，联想到函数x，x-sinx和x+sinx在（-∞，+∞）上都是单调递增的，又由函数结构的对称性可知函数x+asinx在（-∞，+∞）上单调递增可猜测a∈[-1，1]. 现在f（x）多了一项，可猜想a的取值范围是[-1，1]的真子集并且是关于原点对称的区间，这样就可以判断C为正确选项. 通过直观分析猜想到答案后，还需要严谨的推理. 首先对函数进行求导，再由函数f（x）在（-∞，+∞）上单调递增可得导函数f′（x）≥0恒成立，从而求出a的取值范围. 解答如下：
由函数f（x）=x-sin2x+asinx在（-∞，+∞）上单调递增，可得
f′（x）=1-cos2x+acosx=-cos2x+acosx+≥0在（-∞，+∞）上恒成立.
令cosx=t∈[-1，1]，则
g（t）=-t2+at+≥0在[-1，1]上恒成立.
结合二次函数图像（如图1）可得
g（-1）≥0，
g（1）≥0.
所以
-
-a+≥0，
-
+a+≥0，解得-≤a≤.
故a的取值范围是
-，
.
[?] 体现多种数学思想方法
数学思想方法是数学的灵魂，引领数学问题的分析与解决，在数学学习中是至关重要的，同时也是高考考查的重点之一. “试题”中函数与导数问题，体现了多种数学思想方法的应用.
1. 分类讨论的数学思想方法
所谓分类讨论，就是当问题所给的对象不能进行统一研究时，就需要对研究对象按某个标准进行分类，然后对每一类分别研究得出每一类的结论，最后综合各类结果得到整个问题的解答. 分类讨论是解决问题的一种逻辑方法，也是一种数学思想[2]，这种思想对于简化研究对象、发展学生的思维有着重要的作用. 同时分类讨论的数学思想方法的应用也体现了学生逻辑推理、数据分析等数学核心素养. 因此，有关分类讨论的数学问题在高考试题中占有重要地位. 而为什么要分类？分类讨论的标准是什么？这是在分析问题中学生首先需要思考的问题.
“试题”第21题是导数的综合应用问题，函数f（x）含有参数a，由于a的不同取值会影响函数f（x）的变化性态，因此要对a的取值进行分类讨论. 通过对函数进行求导运算，发现a的取值影响了导函数f′（x）的零点个数以及零点的大小，即影響了函数f（x）的单调性，因此第（1）问讨论f（x）的单调性，就是要对a进行分类讨论. 由a的取值对函数f（x）的影响自然得到第一级的分类标准就是导函数f ′（x）的零点个数：有且只有一个零点时a≥0，有两个零点时a<0；第二级的分类标准是在有两个零点，即在a<0的情况下比较两个零点x=1和x=ln（-2a）的大小，由此分为a<-，a=-， - 第21题详细解答如下： （1）函数f（x）的定义域为R. f′（x）=（x-1）（ex+2a），令f ′（x）=0，则x=1或ex=-2a. 若a≥0，则ex+2a>0. 当x<1时， f ′（x）<0，则f（x）在（-∞，1）上是减函数； 当x>1时， f ′（x）>0，则f（x）在（1，+∞）上是增函数. 若a<0，则由ex=-2a，可得x=ln（-2a）. 当ln（-2a）=1，即a=-时，则f′（x）=（x-1）（ex-e）≥0恒成立. 所以， f（x）在R上是增函数. 当ln（-2a）<1，即- 当x>1时， f ′（x）>0，则f（x）在（1，+∞）上是增函数. 当ln（-2a） 当x 当ln（-2a）>1，即a<-时，则 当x>ln（-2a）时， f ′（x）>0，则f（x）在（ln（-2a），+∞）上是增函数； 当1 当x<1时， f ′（x）>0，则f（x）在（-∞，1）上是增函数. 综上所述，当a≥0时， f（x）在（-∞，1）上是减函数，在（1，+∞）上是增函数； 当- 当a=-时， f（x）在R上是增函数； 当a<-时， f（x）在（ln（-2a）+∞）和（-∞，1），上是增函数，在（1，ln（-2a））上是减函数. （2）由（1）可知： 当a=0时， f（x）在x=1处取得的最小值f（1）=-e<0， 而当x<1时， f（x）=（x-2）ex<0恒成立，此时f（x）没有两个零点，不满足题意. 当a>0时， f（x）在x=1处取得的最小值f（1）=-e<0， 又f（2）=a>0，所以f（x）在（1，+∞）上有一个零点. 又由x→-∞时，（x-2）ex→0，a（x-1）2→ +∞， f（x）→+∞， 所以f（x）在（-∞，1）上有一个零点. 所以f（x）在R上有两个零点（如图2）. 当a=-时， f（x）在R上是增函数，不符合题意. 当a<-时， f（x）在（ln（-2a），+∞）和（-∞，1）上是增函数，在（1，ln（-2a））上是减函数， 所以当x=1时， f（x）取得极大值f（1）= -e<0，
所以f（x）没有两个零点，不符合题意（如图3）.
当- f（ln（-2a））=[ln（-2a）-2]（-2a）+a[ln（-2a）-1]2=a[ln（-2a）-2]2+a<0， 所以f（x）没有两个零点，不符合题意（如图4）. 综上所述，a的取值范围是（0，+∞）. 2. 数形结合的数学思想方法 数形结合即数形渗透，两者相互推进，层层深入，这样就能使复杂问题简单化，抽象问题直观化，是中学数学中常见的解题思想和方法，经常应用在研究函数、解析几何等问题中. 在应用数形结合思想方法时往往体现了数学模型建构、直观想象、数学运算、逻辑推理等数学核心素养. “试题”第21题第（2）问由函数f（x）=（x-2）ex+a（x-1）2有两个零点等价于方程（x-2）ex+a（x-1）2=0有两个不同的实数根，然后变形可得a=-，再建构两个函数y=a与g（x）=-，这样函数f（x）=（x-2）ex+a（x-1）2有两个零点就等价于函数y=a与g（x）=-的图像有两个公共点，然后画出函数g（x）的图像，结合图像从而得出实数a的取值范围. 这样通过分离参数转化为两个函数图像公共点的问题，避免了对实数a进行复杂的分类讨论，同时图像直观，非常容易得出答案. 从高考答卷反馈的情况分析，大部分考生选择了这种方法. 第21题第（2）问另解： 由（x-2）ex+a（x-1）2=0，可得x≠1， 所以a=-. 令g（x）=-， 则函數f（x）=（x-2）ex+a（x-1）2有两个零点等价于函数y=a与g（x）的图像有两个公共点. g′（x）=-=-， 所以，当x>1时，g ′（x）<0，g（x）在（1，+∞）上是减函数； 当x<1时，g ′（x）>0，g（x）在（-∞，1）上是增函数. 又因为，当x→1时，g（x）→+∞； 当x<1时，g（x）>0，当x→-∞时，g（x）→0； 当1 当x=2时，g（x）=0； 当x>2时，g（x）<0，当x→+∞时，g（x）→ -∞； 所以，函数g（x）的图像如图5所示， 图5 当a>0时，函数y=a与g（x）图像有两个公共点，即函数f（x）有两个零点. 故实数a的取值范围为（0，+∞）. [?] 对函数与导数复习备考的启示 2016年“试题”以“两小一大”的题型对函数与导数进行了比较全面的考查，关注导数及其应用，侧重考查利用导数研究函数图像的性态，重视对函数的图像与性质问题的考查，这也给2017年高考文科数学复习备考给出了启示. 1. 理解函数与导数相关概念的本质 对于函数与导数，全国卷往往以函数概念、定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性、周期性、极值、最值、函数的零点等基本知识为载体，考查学生多种数学能力. 这启发我们在进行复习时要注重研究课标与考纲，钻研教材，深刻感受概念、方法的形成过程，深入挖掘函数与导数相关概念的本质，打好解决相应数学问题的知识与方法基础[3]. 如函数的概念形成过程在教材中是通过三个例子（分别是函数解析式、图像、表格三种形式表示的函数模型），从不同的视角让学生抽象概括它们的共同特征：两个集合中元素的唯一对应关系，即对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系“f”，在集合B中都有唯一确定的数f（x）和它对应. 这也是函数概念的本质，是建构函数模型的依据，不管是x与y，还是a与b，只要满足这样的唯一对应，就可以把它们看成是一个函数模型，然后用函数的思想方法解决相应的问题. 函数的概念本质是自变量x与因变量f（x）唯一对应关系，然而函数的奇偶性与周期性的本质是自变量x与因变量f（x）的等量关系（如f（-x）=f（x），f（-x）= -f（x），f（x+T）=f（x）），函数的单调性的本质是自变量x与因变量f（x）的不等关系（如x1 2. 以函数与导数的核心概念建构知识网络 函数与导数的概念比较多，而在高考复习中如何围绕函数与导数的核心概念把它们联系起来，形成一个知识网络，这对于学生理解相关概念，提高逻辑思维能力，从而提高复习的效率，都有重要的作用[4]. 函数与导数的诸多概念主要是以函数的概念、函数的单调性、函数的零点为核心进行研究的，特别是函数的单调性最为核心. 研究函数问题，就是研究函数的变化规律，研究函数的单调性，其中函数的奇偶性、周期性都是起到简化研究函数过程的作用. 函数的零点是建立函数与方程、函数与不等式、函数与图像的联系的重要知识，在研究函数的极值点、方程的根、不等式的边界以及函数图像与x轴交点等问题时，通常都可以转化为研究函数零点的问题. 也就是说，在高三函数与导数的复习中以建立函数模型，研究函数的单调性、函数的零点为核心，可以很好地帮助学生建构相关的知识方法网络.
3. 以函数与导数问题培养学生的数学核心素养
全国高考对函数与导数的综合题考查重在对函数与导数知识理解的准确性、深刻性，重在与方程、不等式相关知识的联系，要求考生具备较高的数学建模、逻辑推理、直观想象、数学运算等数学核心素养. 因此在高考复习中除了梳理知识概念、建构知识网络外，还要分析函数与导数问题的教育价值，选择合适的问题，以问题为驱动，培养学生的数学核心素养.
例如，2016年全国新课标（Ⅱ）文科数学第12题：已知函数f（x）（x∈R）满足f（x）=f（2-x），若函数y=x2-2x-3与y=f（x）图像的交点为（x1，y1），（x2，y2），…，（xm，ym），则xi=（ ）
A. 0 B. m
C. 2m D. 4m
该题主要考查了函数图像的对称性、绝对值函数及其图像、抽象函数、数形结合等知识方法. 函数f（x）没有具体的解析式，通过对f（x）=f（2-x）进行推理，得出函数f（x）的图像关于x=1对称. 再由函数y=x2-2x-3可知，该函数图像也关于x=1对称并画出其图像，同时也尝试画出函数f（x）的图像. 最后通过直观分析、推理，利用中点坐标公式，得出xi=×2=m. 因此通过这个问题，可以培养学生逻辑推理、直观想象、数学运算等数学核心素养.
4. 以函数与导数问题提高学生分析、解决问题的能力
分析和解决问题的能力是衡量学生掌握数学知识与方法水平的标准之一[5]，也是高考重点考查的能力之一，对于学生数学核心素养的培养也非常重要. 函数与导数的复习应以问题为载体，教会学生分析问题、解决问题的基本思路. 一般地，首先对函数模型结构进行分析，直观分析其整体性质（定义域、奇偶性、对称性和周期性等）、局部性质（单调性、特殊点和函数值符号等），然后根据解决问题的需要考虑是否需要建构新的函数模型，接着利用导数分析函数的变化性态，画出函數图像，最后结合函数图像以及推理解决相应的问题.
参考文献：
[1] 中华人民共和国教育部. 普通高中数学课程标准（实验）[S]. 北京：人民教育出版社，2003.
[2] 何小亚. 与新课程同行：数学学与教的心理学[M]. 广州：华南理工大学出版社，2003，6.
[3] 章建跃，陶维林. 概念教学必须体现概念的形成过程[J]. 数学通报，2010，1.
[4] 刘秀湘. 在稳定中注重数学概念和思维的考查[J]. 中学数学研究，2014，8.
[5] （美）G·波利亚著，涂泓，冯承天译. 怎样解题[M]. 上海：上海科技教育出版社，2007，5.
