挠性空间结构的密集模态特性及影响分析*

刘潇翔，石 恒，王思野

(1.北京控制工程研究所，北京100190;2.空间智能控制技术重点实验室，北京100190; 3.北京邮电大学，北京100876)

挠性空间结构的密集模态特性及影响分析*

刘潇翔1，2，石 恒1，2，王思野3

(1.北京控制工程研究所，北京100190;2.空间智能控制技术重点实验室，北京100190; 3.北京邮电大学，北京100876)

挠性空间结构周期性构型引起的低频段模态密集问题给振动控制中的控制对象建模、传感器优化配置和控制方案设计等造成困难.本文推导密频结构模态不稳定特性的产生机理，随即证明模态不稳定特性引发模型不确知性，而后基于可控性Gram矩阵的奇异值分析了密集模态的低可控度，并通过分析剩余模态的作用机理，说明模态密集将加剧溢出问题.在分析密集模态特性及影响的同时，给出控制设计中应注意的问题及可能的解决途径，对密频挠性结构在轨振动控制设计具有重要参考价值.

密集模态;模态不稳定;低可控度;溢出问题

0 引言

以高轨SAR卫星及同步轨道电子侦察卫星为代表的复杂航天器，为实现较高的分辨率或天线增益，常带有超大尺寸天线.为确保平台高稳定度以及大型挠性天线的高指向精度和形面保持精度，挠性振动控制成为多目标复合控制的关键技术，极具重要性.然而，挠性大天线周期性构型引起的低频段模态密集问题，是掣肘主动振动控制在轨应用的主要因素之一.

包含密集模态的结构称为密频结构，其异于普通结构的特性，使其在可控度的衡量、处理其模态不稳定引起的不确知性、基于摄动法［1］模态分析、控制方法设计［2］、以及控制溢出和观测溢出问题上都需要特殊处理.本文集中从挠性振动控制设计的角度出发，分别从密频结构的模态不稳定特性、低可控度和溢出问题等方面，详述了结构模态密集给复杂航天器挠性振动控制带来的影响.文中结论可作为空间密频结构在轨振动控制设计的重要参考.

1 模态不稳定特性

密频系统的模态不稳定特性是指当结构参数发生微小变化时，系统模态参数(尤指振型)可能发生很大变化，该特性将导致控制建模误差，进而影响振动控制性能.

1.1 模态不稳定特性机理

设挠性结构经有限元离散化后系统整体自由度为n，则系统模型为

式中，M为质量阵，C为阻尼阵，K为刚度阵，q(t)为位移矢量，B为控制输入阵，u(t)为控制力矢量，Cr、Cd为输出矩阵，y(t)为测量向量.

由模态正交性可知，存在转移矩阵Φ满足

设阻尼为瑞利阻尼，即满足

α，β为常数，则Φ也可将C对角化

式中ωi和ξi(i=1，…，n)分别对应第i阶模态的固有频率和模态阻尼比.

频率 ω1对应振型向量 φ1=［φ11，…，φn1］T满足

通过矩阵相似变换，可证明矩阵(M-1K-σ1I)的特征值依次为0、(σ2-σ1)、…、(σn-σ1).易知，

rank(·)表示矩阵的秩，那么求解方程(5)时，系数矩阵A=(M-1K-σ1I)可经过初等变换转化为如下形式:

则方程(5)转化为

由于

故取定φn1后，［φ11，…，φn-1，1］T有唯一解，即振型φ1=［φ11，…，φn1］T在空间方向唯一.

下面考察矩阵G的条件数，

可见，由于ω1，ω2为一对密集频率，导致矩阵G的条件数很大，为病态矩阵.取定φn1后，当系统结构参数变化引起G和h微量摄动时，解向量［φ11，…，φn-1，1］T可能发生巨大变化，即振型向量 φ1=［φ11，…，φn1］T在空间的方向对结构参数摄动极其敏感，这便从数学上解释了密集模态振型不稳定特性的产生机理.实际工程中，结构建模误差和计算机运算误差难以避免，则系统结构参数M，C，K的小量摄动不可避免，密频结构极易呈现模态不稳定特性.

1.2 模态不稳定特性影响

从1.1节的描述即可发现，转移矩阵Φ实际就是由归一化的振型向量组成的振型矩阵，令q(t)= Φη(t)，则式(1)和式(2)的模态坐标表达式为

模态不稳定特性对控制系统最直接影响就是对象模型改变，首先以传递函数模型来说明［3］.设量测输出在拉氏域表示为

又由式(6)有

将式(9)代入式(8)，得

考虑简单的单输入单输出情况，设输入作用在自由度p上，输出为自由度q的位移，则

其中，e为单位基向量，下标p，q分别表示不为零的元素所处的位置.将B、Cr代入式(10)有

可见，振型矩阵Φ可严重影响对象模型.

从另外角度来看，低阶独立模态控制(IMSC)的设计中，取被控模态数为m，Φc为系统前m阶模态组成的n×m维矩阵，用Φc代替Φ，则近似有

其中ηc(t)∈Rm×1为前m阶主模态坐标.式(6)、(7)改写为

其中，

为实现IMSC，首先要从物理坐标中提取模态坐标，如果配置传感器时满足传感器数目等于被控模态数，且方阵CdΦc及CrΦc非奇异，则可通过下式提取模态信息

实际上，IMSC中要求作动器/传感器的数目与被控模态的阶数相等这一条件过于苛刻，放宽对作动器/传感器数目的要求，则

可见，IMSC中物理空间与模态空间之间的转换不可避免地需要用到被控对象的振型信息，密频系统的模态不稳定特性意味着实际振型可能与设计参数相差很大，因此一方面造成提取模态信息的精度降低，另一方面转化得到的实际控制力与系统所需的模态控制力对应程度差.

振动控制设计中若没能充分考虑密频系统的模态不稳定特性，依据标称模型所设计的控制器性能会受到影响，甚至造成闭环不稳定.因此从控制上讲，系统的模态密集程度应当基于模态不稳定特性来界定［4］;同时，控制方法设计上也必须包容这种模态不稳定特性引起的模型不确知性.

不可忽视的是，模态密集还可能导致模态局部化问题，使得结构微小摄动下，振型均匀分布的标称设计变为振型集中表现在结构局部区域.当控制和传感元件有限，采用局部分散控制时，模态局部化会严重限制能量在子结构间传播，致使控制性能下降［5］.进一步讲，当观测点的振动并不严重时，可能有未被观测的结构单元已处于较高的应力水平，此时分散控制中根据观测点振动信息进行反馈控制时，得到的控制量必然很小，而如果采取集中控制，从模态空间考虑模态位移进行反馈设计，就可提供能够满足振动抑制需求的控制量.而由于IMSC易受模态参数误差的影响，为避免过于保守和性能损失，有效地处理模型不确知性显得尤为重要.

2 密集模态的可控性分析

重频模态或孤立模态的可控性都容易判断，而实际中更多的是频率密集却不完全重合的情况，度量这类系统的可控度相对较难.对轻阻尼挠性结构，可取可控性Gram矩阵的奇异值作为系统各阶模态可控度的测度.对一个密频子空间而言，理论上完全可控的条件在控制力个数小于该子空间维数时也可以满足，只不过此时有一部分状态的可控度很小，Williams等［6］采用单输入控制量得到的结果证实了这一点.Xu等［7］采用最基本的模型，即频率密集的两阶模态和一维控制量，讨论了控制量数目少于密集模态数时控制的有效性和局限性，结论是频率过分密集时，结构无法用一维控制量进行有效的控制.文献［8］证明了对于弱阻尼密集模态组，提高组内某些模态的可控度，将造成组内另外一些模态的可控度相对下降.

上述理论说明，无论系统控制向量数目是否小于密集模态数，密集模态组的各阶模态可控度存在相互影响.单纯提高某阶模态的可控度，势必影响整组模态的可控度，从而降低振动抑制性能;严重时，配置不当会使密频组内一些模态的可控度显著下降，以至于比组外高阶模态可控度还低，将直接影响振动控制效果，甚至加剧溢出问题.

把密集模态视为重频模态来处理的控制手段要求作动器的数目大于等于密集模态数，而对于频率不完全重合的密集模态组，其可控性条件可适当放宽，而当控制量维度小于密集模态数时，密集模态的可控度进一步降低，意味着对控制量的要求更高，主动振动控制中可采用的作动器甚至提供不了这样的作动能力.在作动器数目有限的欠配置条件下，如能设法提高密频系统的可控度(例如优化作动器的配置方式、附加控制回路影响闭环Gram矩阵或改良控制方法等)，将大大改善密频系统的控制效果，同时也能节约控制能量.

3 溢出问题

IMSC设计中依据主模态振动信息求取控制律及控制律作用于结构对象时，不可忽视剩余模态的影响.

一方面，IMSC要从物理坐标中提取模态坐标，对于式(13)～(14)，考虑到剩余模态，观测器输出实际为

对于包含密集模态的结构来讲，密频组欠配置情况下，剩余模态中包含密频组内模态，密集模态之间相互影响，控制输出对未控密集模态影响大，同样未控密集模态对振动输出贡献也大，无疑将加剧溢出问题.如果控制方法对溢出问题的鲁棒性不强，将严重影响振动抑制性能，甚至造成不稳定.因此，针对空间密频结构，需要研究抗干扰性强的控制方法.

4 结论

本文针对复杂航天器密频挠性结构的振动控制问题，集中推导和论述了密集模态的特性及影响，主要结论和成果体现在:

(1)推导了密频结构模态不稳定特性的产生机理，证明了模态不稳定特性引发模型不确知性，如果控制律的求取过程用到模态参数，则设计控制器时必须充分考虑这种不确知性的影响.

(2)基于可控性Gram矩阵的奇异值分析了密集模态的低可控度，阐明了一方面应优化作动器位置以使各密集模态的可控度发挥到最佳，另一方面实现低能耗成为控制器设计的关键.

(3)给出了溢出问题的数学模型，说明了密集模态间的强相关性将加剧未建模动态产生的溢出问题，必须从控制设计上探求对溢出问题鲁棒性强的解决方案.

综上，密集模态特性及影响在振动控制设计中需要特别关注，文中结论对实现在轨稳定振动控制起关键作用，是理论分析和控制设计所遵循的重要依据.

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An Analysis on Characteristics and Impacts of Close Modes in Flexible Space Structures

LIU Xiaoxiang1，2，SHI Heng1，2，WANG Siye3
(1.Beijing Institute of Control Engineering，Beijing 100190，China; 2.Science and Technology on Space Intelligent Control Laboratory，Beijing 100190，China; 3.Beijing University of Posts and Telecommunications，Beijing 100876，China)

Along with spacecraft growing complex，flexible space structures such as large solar panels and large deployable antenna are often applied.To achieve ideal attitude performance and antenna pointing accuracy，vibration control receives much attention.It is worth noticing that flexible space structures often possess close modes at low frequency，which potentially poses problems for the vibration control system.Characteristics and impacts of close modes must be taken into consideration in object modelling，actuators/sensors placement and controller design.In this paper，the reason for modal instability of close modes is first deduced，followed by the proof of model uncertainty caused by this modal instability.Then，based on the singular values of controllability Grammian，the particularity on the controllability of close modes is analyzed.Moreover，the spillover disturbance is demonstrated to show the impact of close modes further.Based on these characteristics，suggestions for vibration control of structures with close modes are proposed，which offers important reference value to on-orbit vibration control of flexible space structures.

close modes;modal instability;low controllability;spillover

V214;TB123;O32

A

1674-1579(2017)01-0011-06

10.3969/j.issn.1674-1579.2017.01.002

刘潇翔(1983—)，女，高级工程师，研究方向为航天器控制;石 恒(1985—)，男，工程师，研究方向为航天器控制;王思野(1983—)，男，讲师、硕士生导师，研究方向为先进控制理论与应用、优化算法设计.

*国家自然科学基金资助项目(61304037).

2016-11-01