高中数学中一元二次不等式解题技巧及需注意的问题

湖南省湘潭县第一中学(411100)

谭晓鹏●

高中数学中一元二次不等式解题技巧及需注意的问题

湖南省湘潭县第一中学(411100)

谭晓鹏●

高中数学中一元二次不等式是重要的学习内容，也是最为基础的内容，高中生在练习一元二次不等式解题时，应当注重解题技巧的培养，锻炼自己解题的速度和准确性，能够在最短的时间内找到解题思路，让解题成为一种惯性的思维方式，同时要注意解题中容易犯错的地方，规避存在的解题陷阱，提高自身的数学修养.

高中数学；一元二次不等式；解题技巧

一、不等式在高中数学中的重要意义

一元二次不等式是高中数学教材的必修内容，也是解决其他数学问题的基础工具，不等式内容的综合性较强，不等式直接反映了客观事务的数量关系，是数学理论基础的重要部分，一元二次不等式是研究高中数学的必备知识，在高中数学内容中占据着重要地位.再者不等式知识和函数、方程及三角函数等有密切的联系，在研究函数定义域时常用到不等式的概念，在方程组求解中也会遇到不等式求解问题，一元二次不等式常用于判别方程根存在与否，以及空间线线关系、线面关系、面面关系等，同时在概率范围判别中应用频率较高，因此一元二次不等式和数学中集合、函数、方程、数列、解析几何及立体几何等知识点交叉，因此，一元二次不等式解题对于我们高中生而言至关重要.

二、一元二次不等式解题技巧及注意事项分析

1.不等式和线性规划结合

在关于一元二次不等式的高考题目中，和线性规划结合的题目较为常见，其考查的内容包含了不等式最值求解、定义域界定、区间面积计算等，一旦对于不等式和线性性质把握不准确，就会造成解题出现错误.例如在例题中，不等式组y≤-x+2；y≥kx+1；x≥0，所表示的区域面积等于1，求解k的值.这类问题是通过不等式范围界定来求解不等式中的未知参数，对于这类题目的解答，首先要对不等式组中的定量区间进行划分，根据三条直线设计所围成的三角形示意图来界定区域面积.这种问题的解题技巧的关键在于准确界定区域面积，理解题目的几何意义，同时要从题目要求来反推不等式区域，从目标函数入手，根据图形的动态变化分析来准确定位相关变量，从而求解出题目要求的参数值.

2.观察推理论证求解不等式

观察推理论证是求解不等式的技巧之一，利用推理论证可以让我们更加深入了解不等式中数形结合的解题方法，提高我们对于不等式解题的思维认知.通过观察和推理能够掌握不等式推导的过程，由图象找到一元二次不等式和几何图形的衔接点.例如对于高次不等式解题，往往会忽略了特殊区域以及不等函数升降，这是我们需要注意的解题陷阱，例如

求(x+3)(x-2)(x-4)≤0解集.这个问题的解题思路是建立相应的坐标系，在数轴坐标中标出方程的零点x=-3，2，4，将数轴分为4个区间范围，对区间取值的正负进行标记，最右的第一区间为正，以后正负相间，从而得出不等式的解集，这种求解方式可以快速得出解题答案，避免陷入繁琐的计算中.

3.参数不等式和绝对值不等式

含参数的一元二次不等式是常见的题目，对于不等式中的参数要进行分类讨论，在不同的参数取值区间内进行计算，避免漏掉解题结构.例如解关于x的不等式ax2-2x+1>0(a为常数，a∈R).此题要分情况来讨论，分别是a=0、a>0和a<0三种情况，同时在a≠0时还要区分Δ的值.对于绝对值不等式的求解，要采用同解变形的解题方法，对多个绝对值的不等式，一般可用零点分段法求解，但利用实数绝对值的几何意义求解较便捷，对于最值问题也可以考虑绝对值三角不等式.核心思想是“想方设法”将其转换成不含绝对值的式子求解.

4.不等式恒成立的解题技巧

对于不等式恒成立的问题，这种题目的考点侧重于结合不等式、函数导数求闭区间上函数的最值并研究函数的单调性.解答此类题型往往采取分离变量或适当变形，或变换主元，或构造函数，再利用函数的单调性或基本不等式进行求解.最值问题常常转化成利用基本不等式求解，同时在转化不等式中要注意不等式不等号的方向.

综上所述，在高中数学一元二次不等式学习中，我们要深入分析每一个题目的解题要求，并根据题目来选择合适的解题方法，注重不等式中隐藏的条件，将不等式和线性规划结合在一起，强化对参数不等式和绝对值不等式题目练习，逐步熟悉这一类问题的解题方法，通过反复练习固化解题技巧，规避可能出现的解题陷阱，提高解题准确性.

[1]田宝运.不等式问题中的数学思想[J].数理化学习，2014(06)

[2]王礼丽.绝对值不等式的解法综述[J].数学教育学报，2012(04)

[3]张惠淑.高中数学不等式高考试题分析与教学策略研究[J].数学教育，2013(18)

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