“一题多解”突破难点

陆剑雪

摘要：教学实践与思辨表明，重视微观方面的教学设计是实现数学有效教学的充要条件，而一题多解是微观教学设计的重要思维训练形式。通过不同形式的自主学习、探究活动，让学生经历数学问题从发现到解决的全过程，注重引导学生从多种解法中解决难点，找出最简捷、最巧妙的解法，体验成功的喜悦，培养良好的思维习惯，提高学生思维的品质，体会数学思想方法，享受数学学习的快乐，形成并发展创新意识。

关键词：一题多解；知识脉络；创新意识

中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2016）07-0021

所谓“一题多解”，是指通过不同的思维途径，采用多种解题方法解决同一个问题的教学方法。二十多年的教学实践与教学反思总结都表明，一题多解不仅是激发学生兴趣、开拓思路、提升思维品质、灵活应变，让学生形成解决问题能力的基本策略，而且能让学生体验解决问题时策略选择的多样性，发展他们的实践能力与创新能力。本文拟就一题多解在初中数学教学微型设计中的应用，做一些课堂有效教学的实践和探索。

一、设计一题多解，打开数学大门

在由简入繁、循序渐进的数学殿堂中，每一领域都有一扇虚掩的大门，等待我们去开启。七年级学生刚学几何的推理论证时，总会很不习惯。这是由于几何所研究的对象、过程、思维方式、语言的表达都与代数有较大的区别，并且几何语言是人们从长期的实践中提炼而成的，具有概括性、抽象性、逻辑性较强等特点。为此，面对问题，如果能引导学生从不同的角度去思考，就能把学生的好奇心转化为求知欲，让他们兴致勃勃地去推开几何殿堂的大门。

例题：如图所示，直线MN分别和直线AB，CD，EF相交于点G，H，P，∠1=∠2，∠2+∠3=180°，试问：AB与EF平行吗？为什么？

分析：首先，扫除三线八角中的同位角、内错角、同旁内角几何入门的第一道门槛，总结三类角的特点，关键先找“截线”，再把复杂图形基本化（F形、Z形、U形），运用定义识别。然后分析要想得到AB∥EF，可以从问题的结果出发，思考学习过的判断两条直线平行的方法有哪些，让学生回想学过的五种方法，也培养学生思维的流畅性，并渗透分析法。需满足条件∠1=∠EPM，或者∠AGP=∠GPF，或者∠AGP+∠GPE=180°，或者（利于平行的传递性）先证AB∥CD，再证CD∥EF，所以可得AB∥EF。因此，这四种方法进行解答，并且四种方法灵活运用。还有平行线定义：在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线，平行线的定义法一般不常用。

解：AB∥EF，理由

方法1：

∵∠1=∠2 ∠2+∠3=180°（已知）

∴∠1+∠3=180°（等量代换）

又∵∠3+∠EPM=180°（邻补角定义）

∴∠1=∠EPM（等式性质）

∴AB∥EF（同位角相等，两直线平行）

方法2：

∵∠3=∠MPF（对顶角相等）

∠2+∠3=180°（已知）

∴∠MPF+∠1=180°（等量代换）

又∵∠1=∠2（已知）

∴∠1+∠MPF=180°（等量代换）

又∵∠1+∠AGP=180°（邻补角定义）

∴∠AGP=∠MPF（等式性质）

∴AB∥EF（内错角相等，两直线平行）

方法3：

∵∠1=∠2 ∠2+∠3=180°（已知）

∴∠1+∠3=180°（等量代换）

又∵∠1=∠BGP ∠3=∠GPF（对顶角相等）

又∵∠BGP+∠GPF=180°（等量代换）

∴AB∥EF（同旁内角互补，两直线平行）

方法4：

∵∠2=∠CHM（对顶角相等）

∠1=∠2（已知）

∴∠1=∠CHM（等量代换）

∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行）

又∵∠3=∠HPF（对顶角相等）

∠2+∠3=180°（已知）

∴∠2+∠HPF=180°（等量代换）

∴CD∥EF （同旁内角互补，两直线平行）

∴ AB∥EF（如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）

此例中，一看到探究平行線，马上想起一系列角的等量关系，这种条件反射的建立，是最基本的数学素养之一。一题多解表现为依据定义、定理、公式和已知条件，思维朝着各种可能的方向扩散前进，不局限于既定的模式，从不同的角度寻找解决问题的各种途径，培养学生的发散思维能力。在此，一题多解也让学生享受了成功的喜悦。适时的引导启发也让学生感受到学习几何有趣、不难。

二、运用一题多解，驱散畏难情绪

领进数学大门，是成功的第一步。但客观地说，数学的确有不少难题，甚至在一些同学看来，这些难题简直是一座座不可逾越的大山。所谓“难者不会”，如何通过一题多解的教学设计驱散畏难者的消极情绪，帮助他们重拾信心，变成“会者不难”，是我们要研究的另一大课题。

小学解应用题，学生学了五、六年的算术解法，已经习惯于算术法，是逆向思考；而初中解应用题，学生学习列方程法，是正向思考，思路上不一定转得了弯。尽管强调：列方程解应用题要求“分析题意、找出等量关系、据此列出方程”，但这种强调对于初学者来说，把等量关系复杂化了，常常是一旦思维受阻，就一筹莫展，易产生畏惧心理。

为此，列方程的实质说成：在题目描述的过程中，先随便“拉出”一个量，根据题意用两种不同的方法表示“它”，中间用“等号”连接，方程即列成。这样，若能进行策略开放，经常对一些问题从不同角度思考，得出多种解法，可以帮助同学们开拓思维。再遇思维受阻时，进行换位思考，便也能茅塞顿开，拿出解题策略，势如破竹，使学生感到列方程是唾手可得的事情。

最后，归纳出列方程解应用题的解题方法，若一量为所求量（设为未知数），另一量给出的数值较具体，则选择第三量列出方程，即一量设，一量已知，一量列方程。这使学生在解应用题时思路更明确清晰，从而能快捷地列出方程。

列方程解应用题，是整个初中数学教学的重点，也可以说是难点。因此，起始课教学让学生掌握好它的原理、方法及实质则显得十分重要。教学设计要符合初中生的認知水平，一个合适量的“拉出”，衍生了问题的一系列的不同解法，同时，归纳出列方程解决实际问题的一般步骤，使学生的思维始终处于活跃状态。他们不仅充分利用已知解决未知，并且在解决未知的过程中，有效地拓展了思维，有利于培养学生的发散思维，从而培养和提高学生分析问题、解决问题的能力。

有了成功的尝试，学生再次见到难题就会从容得多、自信得多。当然，这种“成功”一定是学生经过努力体验到的“成功”，而不是看教师演示出的“成功”。

三、掌握一题多解，融通知识脉络

许多章节的教学目标中都有“熟练掌握”基本知识的要求，与此相配套的强化训练往往会形成思维定势。思维定势固然有其积极的意义，但也会产生消极作用，表现为思考问题常常倾向于某种固定的模式，思维不够灵活。所以，寻求多种解题方法，有助于消除思维定势的消极作用，使所学知识融会贯通、形成体系，便于活学活用，争取更大的进步。

在不同的教学阶段，证明同一个命题的方法越来越优化，这不仅能帮助学生克服思维定势，而且有助于学生更好地把握知识的脉络。

尤其有效的是在数学复习课上，善于多方位思考，探究一题多解，最有利于学生掌握和巩固知识，把已经差不多遗忘的知识点重新建立起来，挖掘问题的内在联系，向“纵、横、深、广”拓展，向“少、精、活”探索，既能提高解题速度，又能有目的地把各类知识串联起来，达到温故而知新的目的，逐步提高认知的层次，从低级到高级的螺旋式上升，实现一题多解意义的延伸。

四、寻求一题多解，培养创新意识

人才的培养不只是让他们掌握已有的知识技能，更高的目标在于培养他们的创造能力和创新意识。在教学实践中，注重产生结论的过程教学，引导学生探索一道题目的多种解法，既可以增强学生解题的信心，激发学生的学习兴趣，又可以培养学生的创新意识。要做到一题多解，教师就要利用典型、生动的事例激发学生的“求异动机”，有意识地安排一些灵活多变的练习，在引导学生掌握了基本的、规律性的解题思路的同时抓住各部分知识间的联系及方法间的联系，进而引导学生从不同角度、不同领域去探索解题方法。

为了寻求一种新的解（证）法，学生往往冥思苦想，反复琢磨，百思不得其解。可一旦领悟，解（证）法却又那样出人意料。通过寻求新的解（证）法，学生既体验到“山穷水尽疑无路”的艰辛，又品尝到“柳暗花明又一村”的惊喜，从而激起他们更加强烈的学习热情。有的同学课后继续探究新的解题方法，由被动转为主动，从厌学变为乐学、好学。相信以后再遇到其他题目，他们也会不满足于一种解法，不断寻找最简捷、最巧妙的解法，通过各种不同形式的自主学习、探究活动，学生体验数学问题从发现到解决的全过程，享受成功的喜悦，并能从中形成、强化创新意识。

借鉴前人理论可知，解法探究作为数学有效教学的重要途径，就是要让学生在获得数学知识的同时，改进学习方式、方法，既善于听讲，又适应变式、乐于探究，从而使兴趣得到培养、情操得到陶冶、智力得到开发、素质得到提高，从根本上促进学生的进步和发展。

二十多年的基础课堂教学实践又证明，一题多解的教学微设计要求教师做好引导启发，同时竭力鼓励学生主动思考、积极探索，可以促进学生经历知识产生的过程，理解并且掌握基础知识、基本技能及其应用，感悟并熟悉数学思想方法，学生学得更明、更好、更深；可以促进学生学会了好的思考方法，提升了学习能力，达到了不需要教的境界，学生学得更多、更快、更强。

数学课堂有效教学的实践和探索还在不断深入，而一题多解的教学设计将永不落幕。它会不断散发出神奇的魅力，感召我们的数学课堂探微知著，一探到底。

（作者单位：江苏省苏州市吴江区芦墟初级中学 215200）