CC-p调和映照的Liouville型定理

种田

(上海第二工业大学理学院,上海201209)

CC-p调和映照的Liouville型定理

种田

(上海第二工业大学理学院,上海201209)

拟调和映照以及广义拟调和映照在研究拟Hermitian几何中发挥着重要作用。在前期工作的基础上,考虑引入p-水平能量泛函以及相应的p-水平应力能量张量,此张量成为研究守恒律的有利工具并且推导出与该张量联系紧密的基本积分公式。利用此基本积分公式建立关于p-水平能量张量的单调不等式,推导出关于p-水平能量增长性条件下CC-p调和映照的Liouville型定理。此类型的Liouville型定理有助于进一步理解与拟Hermitian流形相关的性质。

CC-p调和映照;单调不等式;Liouville型定理

0 引言

调和映照是黎曼流形间映照能量泛函的临界点,它是几何分析领域中的核心课题之一,同时它也在复分析、材料科学、理论物理等自然科学分支中有着广泛的应用。调和映照理论被许多数学家用来研究黎曼流形的几何结构,它是微分几何中测地线、极小子流形以及调和函数概念的自然推广。Liouville型定理是调和映照理论中的重要问题之一,它对研究黎曼流形结构、黎曼几何性质等方面有着重要的应用。1980年,Baird等[1]引入了黎曼流形间映照的应力能量张量,此张量使得关于调和映照的许多理论得到了统一,特别是在建立调和映照Liouville型定理方面有着显著的应用。调和映照理论中,大部分的Liouville型定理都是在能量增长性条件或是在对映照的像进行一定限制的条件下得到的[2-6]。Sealey[5]引入了关于向量丛值p形式的应力能量张量,并且建立了调和p形式的消灭定理。东瑜昕等[7]利用应力能量张量建立了关于向量从p形式的单调不等式,他们仍然是从建立基本的积分公式出发,通过使用不同的穷竭函数构造积分公式中所需要的向量场。

近年来,拟Hermitian流形受到许多几何学家的关注,它与复分析、黎曼几何以及次黎曼几何都有着紧密的联系。如果拟Hermitian流形的拟Hermitian挠率为0,则称其为Sasakian流形。Sasakian流形与K¨ahler流形联系密切,实际上一个黎曼流形是Sasakian流形当且仅当其锥度量是K¨ahler的。

在研究拟Hermitian流形时,许多拟调和映照的概念在不同的问题背景下被引入,许多几何学家针对从拟Hermitian出发的映照性质进行了讨论,并且称在各种限制性变分条件下的水平能量泛函的临界点为拟调和映照[8-11]。作者已经研究了从黎曼流形出发到拟Hermitian流形的CC调和映照,并给出能量增长性条件下的Liouville型定理[12]。本文考虑引入从黎曼流形出发到拟Hermitian流形的p-水平能量泛函以及相应的p-水平应力能量张量,利用基本的积分公式推导关于p-水平能量张量的单调不等式,从而建立p-水平能量增长性条件下的Liouville型定理。类似于黎曼几何和K¨ahler几何中调和映照的作用,CC-p调和映照也被期望在拟Hermitian几何中发挥重要作用。

1 拟Hermitian流形

设(N,T1,0N)是一个定向的CR流形且θ是N上的一个拟Hermitian结构。如果其上的Levi形式Lθ是正定的,则称(N,T1,0N)是一个严格拟凸的CR流形,为了突出拟Hermitian结构的重要性,也称其为拟Hermitian流形,并记作(N,H(N),J,θ),其中H(N)是Levi分布,J是它上的复结构。

如果(N,H(N),J,θ)是一个拟Hermitian流形,记T为Reeb方向,有如下直和分解：

TN=H(N)⊕RT,πH:TN→H(N)

是关于此分解的投射。记gθ为其Webster度量,同黎曼流形上的Levi-Civita联络相类似,在拟Hermitian流形上,也存在一个典范联络,它同时保持CR结构和Webster度量。

定理[11]设(N,H(N),J,θ)是一个拟Hermitian流形,则TN上存在唯一的线性联络∇,称为Tanaka-Webster联络,满足：

(1)分布H(N)关于∇平行; (2)∇J=0,∇gθ=0;

(3)∇的挠率T∇满足对任意的Z,W∈Γ(T1,0N):T∇(Z,W)=0

T∇(Z,¯W)这里相应的向量值1形式τ是相应的拟Hermitian挠率。

由上述定理可知∇T=0,∇θ=0,拟Hermitian挠率τ是H(N)值的,且关于gθ是自伴的,记A(X,Y)=〈τX,Y〉,则A(X,Y)=A(Y,X)。如果一个拟Hermitian流形的τ=0,则将其称为Sasakian流形。

引理1设f:(M,g)→(N,H(N),J,θ)是从黎曼流形到拟Hermitian流形的光滑映照,对于任意的X,Y∈Γ(TM),有

证明令(U,x1,···,xm)和(V,y1,···,y2n+1)分别是M和N上的局部坐标系。不妨假设f(U)⊆V。由于[∂/∂xi,∂/∂xj]=0,为证引理结果只用说明

将拉回坐标系记作(∂/∂yα)f,可作如下计算：证毕。

2CC-p调和映照

2.1 水平能量的第一变分公式

设f:(M,g)→(N,H(N),J,θ)是从黎曼流形到拟Hermitian流形的光滑映照。对M中任意具有光滑边界的有界区域D,考虑如下形式的p-水平能量泛函(p≥2)：

其中,dfH=πH◦df。

如果M是紧的,那么自然可以在整个M上定义水平能量泛函,记作EpH(f)。

令∇M和∇分别是(M,g)和(N,H(N),J,θ)上的Levi-Civita联络以及Tanaka-Webster联络。记β是关于(∇M,∇)的第二基本形式,接下来推导关于p-水平能量的第一变分公式。

定理1设f:(M,g)→(N,H(N),J,θ)是从黎曼流形到拟Hermitian流形的光滑映照。对M中任意具有光滑边界的有界区域D,若V∈Γ(f-1H(N))是M中的水平变分向量场并且支集落在D中,{ft}|t|＜ε是f的光滑单参数变分满足

其中：βH=πH◦β,称τpH(f)为f的CC-p张力场。

证明对于给定的单参数变分{ft}(|t|＜ε),令的一组局部正交标架。由引理1,计算可得：

2.2 CC-p调和映照的概念

定义1设f:(M,g)→(N,H(N),J,θ)是从黎曼流形到拟Hermitian流形的光滑映照。若对M中任意的具有光滑边界的有界区域D,f是p-水平能量关于任意的水平变分向量场V的临界点(V的支集落在D中),则称f是CC-p调和映照。

3 p-水平应力能量张量

Baird-Eells引入了关于黎曼流形间映照能量泛函的应力能量张量场,并且证明了如果映照是调和的,那么它一定满足守恒律。下面考虑关于p-水平能量泛函的p-水平应力能量张量场,并且可以证明在某些特殊条件下,CC-p调和映照也满足守恒律。

定义2设f:(M,g)→(N,H(N),J,θ)是从黎曼流形到拟Hermitian流形的光滑映照。f的p-水平应力能量张量是M上的对称2-张量：

其中,(f*gθ)H(·,·)=〈πHdf(·),πHdf(·)〉。

对于任意给定的2-张量W∈Γ(T*M⊗T*M),可按如下方式计算W的散度：

证明根据散度的定义可知

利用引理1,分别计算式(2)等号右边第1、第2项可得：将上述两式代入式(2),整理可得：证毕。定义3如果div=0,则称f满足守恒律。

与黎曼几何中调和映照不同,只有在一些特殊条件下,CC-p调和映照才满足守恒律。比如当目标流形是Sasakian的,可得如下推论。

推论1如果设f:(M,g)→(N,H(N),J,θ)是从黎曼流形到Sasakian流形的CC-p调和映照,则f满足守恒律,即div=0。

4 单调不等式及Liouville型定理

假定(M,g)是一个带有极点x0的完备黎曼流形,并且M是连通的。所谓极点是指该点处的指数映照是微分同胚。记r(x)为关于x0的距离函数,首先利用积分公式推导出关于p-水平能量的单调不等式,再利用此单调不等式建立关于CC-p调和映照的Liouville型定理。

4.1 基本积分公式

设D为M上具有C1边界的有界区域。记υ为沿着∂D的单位外法向量场。对p-水平应力能量张量应用已知的基本积分公式[8],可得：Z

如果f:(M,g)→(N,H(N),J,θ)是从黎曼流形到Sasakian流形的CC-p调和映照,利用推论1以及积分公式(3)可推出：

4.2 p-水平能量的单调不等式及Liouville型定理

对任意给定的向量场X,Y,Z∈Γ(TM),记θX为X的对偶一形式,即θX(Y)=g(X,Y), θX的共变导数(∇MθX)(Y,Z)=〈∇MYX,Z〉。如果X=∇Mψ是M上某光滑函数的梯度,那么θX=dψ并且∇MθX=Hessg(ψ)。

下面将通过选取积分公式(4)中的特殊向量场,来建立关于p-水平能量的单调不等式。

定理3设f:(M,g)→(N,H(N),J,θ)是从带极点x0的完备流形到Sasakian流形的CC-p调和映照,如果存在正常数Λ使得

则对任意的0＜ρ1≤ρ2,有

证明由于目标流形是Sasakian且f是CC-p调和的,在式(4)中取D=B(t),

通过定义以及简单的计算可知：

由余面积公式以及定理中的式(5)可得：

由此可知。将上述不等式在区间[ρ1,ρ2]积分,从而有证毕。

引理2设f:(M,g)→(N,H(N),J,θ)是一个光滑映照。如果dfH=0,那么f(M)一定落在某根纤维中,这里的纤维是指N中沿Reeb方向T的积分曲线。

证明由于拟Hermitian流形(N,H(N),J,θ)上自然有一个1维的叶状结构,故对于M中的任意一点x,都存在f(x)的一个邻域V⊆N以及某个流形B使得π:V→B是一个淹没。这里不妨将U选取的足够小,满足f(U)⊆V。考虑复合映照π◦f:U→B,显然可以看出d(π◦f)=0当且仅当dfH=0。从而由引理条件可得d(π◦f)=0,即π◦f在U中是常值。因此,f(U)包含在某根纤维中。由于M连通,故f(M)一定落在某根纤维中。证毕。

定理4设f:(M,g)→(N,H(N),J,θ)是从带极点x0的完备流形到Sasakian流形的CC-p调和映照,记r为从x0出发的距离函数,如果存在正常数Λ使得

且则dfH=0,即f(M)落在N的一根纤维中。

5 结语

本文研究从黎曼流形出发到拟Hermitian流形的光滑映照。首先引入了相关的p-水平能量泛函,将在限制性变分条件下此类能量泛函的临界点称为CC-p调和映照。随后引入p-水平应力能量张量,并证明了任何从黎曼流形出发到Sasakian流形的CC-p调和映照都满足守恒律。最后,利用基本的积分公式推导出关于p-水平能量的单调不等式,利用此类单调不等式建立了能量增长性条件下CC-p调和映照的Liouville型定理。

对于本文中单调不等式成立的条件,目前的研究工作正在尝试用更加几何化的曲率条件代替。此外,除了能量增长性条件,也正在考虑尝试建立映照像有界或者满足无穷远渐进条件下的Liouville型定理。

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Liouville Type Theorem for CC-p Harmonic Maps

CHONG Tian
(School of Science,Shanghai Polytechnic University,Shanghai 201209,China)

The theory of pseudoharmonic and general pseudoharmonic maps plays an important role in studying pseudo-Hermitiangeometry.In spired by the previous work,p-horizontal energy and p-horizontal stress-energy tensor have been introduced.This stressenergy tensor becomes a useful tool to investigate theconservation law of CC-p harmonic maps and the basic integral formulae.Using the basic integral formulae,one can establish some monotonicity formulae for CC-p harmonic maps.Liouville type results follow immediately from these monotonicity formulae and the basic integral formulae under suitable growth conditions on the p-horizontal energy. These results become a useful tool to investigate the properties of pseudo-Hermitian geometry.

CC-p harmonic map;monotonicity formulae;Liouville type theorem

O186.1

A

1001-4543(2017)01-0043-06

10.19570/j.cnki.jsspu.2017.01.008

2016-09-18

种田(1988—),女,安徽马鞍山人,讲师,博士,主要研究方向为微分几何学。E-mail：chongtian@sspu.edu.cn。

上海第二工业大学校基金(EGD16XQD01),上海第二工业大学校重点培育学科(XXKPY1604)资助