行列式及其性质的几何解释

杨先山

（长江大学 信息与数学学院，湖北 荆州 434023）

行列式及其性质的几何解释

杨先山

（长江大学 信息与数学学院，湖北 荆州 434023）

对行列式及其性质的几何意义进行研究，得到二阶行列式是平行四边形带符号的面积，三阶行列式是平行六面体带符号的体积，将其推广，引入超平行多面体和多个向量的向量积的概念，得到高阶行列式的几何意义是超平行多面体带符号的广义体积.最后，以二阶行列式为例，对行列式的性质进行了几何直观上的解释.

行列式；超平行多面体；向量积；面积；体积

行列式是理工科数学中的一个重要的工具性知识，不仅在代数中起着不可或缺的作用，而且在计算机科学，工程技术，经济管理等领域有着广泛的适用性.在线性代数教材[1,2]中对行列式的介绍大多都是“由定义到定理”式的层层推进，虽然严密，体现了数学逻辑性强和抽象性的特点，但复杂、晦涩的表达式也使得初学者对线性代数望而生畏.下面，笔者将对行列式的定义及常见性质给出几何直观的解释.

1 行列式的几何意义

证明 如图1所示，以行向量α1=(a11,a12)与α2=(a21,a22)为邻边构成的平行四边形OACB,记α1=a11i+a12j，α2=a21i+a22j，则α1×α2=(a11a22-a12a21)k，因此平行四边形OACB的面积

图1 二阶行列式的几何示意

图2 三阶行列式的几何示意

证明 如图2所示，以行向量 α1=(a11,a12,a13)，α2=(a21,a22, a23)，α3=(a31,a32,a33)为相邻的棱构成的平行六面体的体积

另一方面，α1·(α2×α3)=|α1||α2×α3|cosγ，γ为 α2×α3与α1的夹角，当α1，α2，α3构成右手系时γ为锐角，行列式符号为正，反之为负.

将二、三阶行列式的几何意义向n(n＞3)阶行列式类推，三维空间中的平行六面体和两个向量的向量积的概念推广到Rn中，引入如下定义：

定义1[3]Rn中m个行向量α1,α2,…,αm构成的形式为

的所有向量的集合称为由向量α1,α2,…,αm张成的超平行多面体，记作Hm.称α1,α2,…,αm为Hm的棱.由向量α1,α2,…,αm张成的超平行多面体Hm-1称为Hm对应于α1的底.记矩阵称为超平行多面体Hm的广义体积（面积）.

显然，如此定义的体积（面积）V(Hm)是二维、三维欧氏空间中面积、体积概念的推广，当α1,α2,…,αm线性相关时V (Hm)=0，α1,α2,…,αm线性无关时，体积V(Hm)≠0，称超平行多面体Hm的维数为m.

定义 2[4]设e1,e2,…,en是Rn中的一个标准正交基，Rn中的n-1个向量αi,=(ai1,ai2,…,ain)的向量积是一个向量，记作ψ或[α1α2…αn-1].

其中A1j(j=1,2,…,n)为ψ的(1,j)元的代数余子式.

容易验证ψ与α1，α2，…，αn-1都正交，且ψ的方向由α1，α2，…，αn-1顺次按右手法则确定.

引理1 |[α1α2…αn-1]|是由向量α1，α2，…，αn-1张成的超平行多面体Hn-1的广义体积（面积）.

当α1，α2，…，αn-1线性相关时，R(AAT)≤R(A)＜n-1，故|AAT|=0；当α1，α2，…，αn-1线性无关时，[α1α2…αn-1]2≠0，此时

上式中|[α2α3…αn]|是由向量α2α3…αn张成的超平行多面体Hn-1的广义体积，|α1|cosθ是向量α1在向量[α2α3…αn]上的投影，其绝对值恰好是超平行多面体Hn对应于α1的底上的高，符号与cosθ的正负一致.

2 行列式的性质[1]的几何解释

性质1 如果行列式中有一行元素全为零，则行列式等于零；有两行元素成比例，则行列式等于零；有两行完全相同，则行列式等于零.

从行列式的几何意义上看，如果行列式中有一行元素全为零，或有两行元素成比例，或有两行完全相同，则α1，α2，…，αn线性相关，此时由向量α1，α2，…，αn张成的超平行多面体的维数小于n，因此其广义体积等于零.

性质2 互换行列式的两行，行列式变号.

由定义2可知，如果互换α1，α2，…，αn中两个向量的顺序，则[α2…αn的方向恰好反向，因此[α1α2…αn]与α1的夹角θ变成α±π，余弦值变成原来的相反数，故其带符号的体积变号.

性质3 行列式与它的转置行列式相等.

记 α1=(a11,a12)，α2=(a21,a22)，β1=(a11,a12)，β2=(a21,a22)，则 det的转置行列式为见图3，按行列式的几何意义的绝对值等于平行四边形OACB的面积（记作S1）的绝对值等于平行四边形ODFE的面积（记作S2），

图3 行列式转置的几何示意

性质4 行列式的某一行中所有的元素都乘以同一个数k，等于用数k乘此行列式.

图4 数乘行列式的几何示意

见图4，将平行四边形OACB的一边OA伸长k倍变成OD，则平行四边形变成ODEB，其面积也扩大k倍.即det

性质5 若行列式的某一行的元素是两数之和，则等于两个行列式之和.

如图5所示，平行四边形OACD与平行四边形ADEC的面积之和等于平行四边形ODEB的面积.即

图5 行列式的和的几何示意

性质6 把行列式的某一行的各元素乘以同一数然后加到另一行对应的元素上去，行列式不变.

图6 行列式的性质6的几何示意

如图6所示，将向量α2+kα1的起点固定在原点，则对任意实数k，其终点D落在直线BC上，即平行四边形OAED与平行四边形OACB的OA边上的高相等，所以面积相等.另外，α1，α2与 α1，α2+k α1的相对方位一致，因此 det

〔1〕同济大学数学系.线性代数[M]．北京：高等教育出版社，2014.

〔2〕王萼芳,石生明.高等代数[M]．北京：高等教育出版社，2013.

〔3〕高立仁.超平行体的体积[J]．工科数学,1993,9(1):23～25.

〔4〕张沛和,周瑜.空间的矢量积及其应用[J]．嘉应大学学报(自然科学),2000(3):5～9.

〔5〕吕林根,许子道.解析几何[M]．北京：高等教育出版社，2006.

〔6〕李尚志.从问题出发引入线性代数概念(续)[J]．高等数学研究,2006,9(6):12～15.

〔7〕陈建华,蔡传仁.几何直观在线性代数教学中的应用[J]．工科数学,2002,18(1):87～90.

〔8〕谢琳,张静.从几何直观理解行列式与Cramer法则[J]．高等数学研究，2009，12(1):61～62．

〔9〕郭文献.实矩阵行列式的几何解释[J]．殷都学刊(自然科学版),1998(5):8～9.

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2016-12-17