广义Toda晶格方程的对称和精确解

李 红，王 鑫，李吉娜

（中原工学院 理学院，河南 郑州 450007）

广义Toda晶格方程的对称和精确解

李 红，王 鑫，李吉娜

（中原工学院 理学院，河南 郑州 450007）

本文主要研究了Blaszak-Marciniak结构方程广义Toda晶格方程的Lie对称和约化问题，并给出有理形式和指数形式的显式解.同时，给出序列的广义对称，进一步地证实其可积性.

广义Toda晶格；Lie对称；新显式解

1 引言

近些年，非线性离散孤子方程的研究引起研究者的广泛关注[1-4].连续孤子方程，可积非线性偏微分-差分方程等丰富了数学结构，例如，Lax对，无穷守恒定律，哈密顿结构，经典对称，广义或高阶Lie-Bäcklund对称[5-9]等等.其中，Lie对称[10]是寻求非线性偏微分-差分方程精确解的非常有效的方法之一，同时也可以预测可积性.

文献[11]在代数移位算子中采用r-矩阵形式，Blaszak和 Marciniak提出一个 m阶离散等谱问题：LmΨn=λΨn，Lm=Eα+m+uα+m-1Eα+m-1+…+uαEα,其中-m≤α≤-1，E是由Eun= un+1定义的移位算子.当m=3时，有如下形式的广义Toda晶格方程

令wn=0，上述方程可退化为著名的Toda晶格方程.大量丰富的数学结构均与这个方程有关，例如哈密顿结构，Miura-like规范变换，可积辛映射，无穷守恒定律，Darboux变换等等.

本文的目的是求方程（1）的Lie点对称，然后方程可以简化为一个普通的微分-差分方程，找到有理形式和孤子形式的显式解.最后，给出序列的广义对称，更进一步证实其可积性.

2 Lie对称和幂零Lie代数

首先，我们介绍含有一个参数的连续点变换

这里，无穷小生成元是

现在假设Blaszak-Marciniak晶格方程在这个变换下是不变的，也就是说

将方程（1）代入上式，得到

其中α，β，γ是任意参数，因此无穷小生成元是

生成元G1,G2,G3是

其交换算子如下：

这表明Lie代数是幂零的.

3 约化和显式解

接下来，根据特征方程的对称，我们得到相似变量和相似变换

通过两种情况可以得到对称约化方程.

1）当β≠0，令

方程（1）可以约化为

2）当β=0，γ≠0，令

方程（1）可以约化为

接下来得到β=0情况下的两个特解.

（i）有理解

其中a=α/γ，c1,c2,η0是任意参数.

（ii）孤子解

这里p,c0,c1,c2是任意参数，那么我们有

4 广义对称

在这一部分，我们通过Hereman等人提出的算法研究方程（1）的广义对称.首先，从生成元G2我们得到一个伸缩对称

un,vn和wn分别对应于关于t的二阶，一阶和三阶导数.也就是说，

接下来我们推导方程（1）秩为（3,2,4）的广义对称.秩为2,3和4的un,vn和wn的所有单项式构成形式如下

通过方程（1），可得

关于t的求导的单项式为

同样地，可得到

联合R3,R2和R4，可以得到如下广义对称

其中Dt是全导数，F1，F2，F3是方程（1）的右端项.接着就可以确定系数，且对称可以表示为

同样地，可以得到秩为（4,3,5）和秩为（5,4,6）的广义对称

同样地，上述方法可以直接推广到高阶广义对称，这里不在赘述.

5 结论

在本文中，我们通过经典的Lie对称方法得到广义Toda晶格方程的Lie对称和约化，并给出有理形式和孤立形式的特解.如同其他BM分层晶格方程，我们得到方程（1）也有广义的对称序列，并进一步证实其可积性.此外，一旦得到方程的广义对称，利用Sahadevan和他的同事的研究，就可以进一步得到主要对称性和遗传算子，下一步我们将深入研究这类问题.

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O175.2

A

1673-260X（2017）03-0003-03

2016-12-21

河南省高等学校重点科研项目(15B110012，17A110036);河南省科技厅项目（152300410227）