举例说明应用辅助角公式的注意细节

蔡英峰

从近几年数学高考试题来看，运用诱导公式以及和、差、倍角公式进行三角函数恒等变形，进而研究三角函数的性质问题，是各省高考的热点。

要想解决这一类问题，要用到如的“一角、一名、一次”形式，进而求解周期、最值、对称轴、对称中心以及判定函数单调性与奇偶性等函数综合性问题。但在最后的化简过程中一定要用到辅助角公式：（其中）。

例1.已知函数，求函数的单调递增区间。

解析：欲求函数的单调递增区间，必须先化简，其中，接着求出角的值。

有的学生说：“。”将这个结果代入检验，却发现解答错误。因为学生没有注意到公式中点（a，b）一定在角的终边上，即角的终边所在的象限和点（a，b）所在象限是一致的。因為点（a，b）在第三象限，所以相应的角也应在第三象限取值，即。所以，然后利用整体思想求单调区间。

解：依题意可知： ，则

所以函数的单调递增区间为：

这道题目可以变式成以下三种形式：

①将函数 变式成 的形式；

②将函数 变式成 的形式；

③将函数 变式成 的形式。

在做完以上题目后，笔者会综合知识，要求学生完成下面的例题。

例2.设函数的最小正周期为。①求实数的值；②若函数的图像是由的图像向右平移个单位长度得到，求的单调增区间。

解析：

①依题意可知：，故实数的值为。

②依题意可知：

由

解得

故的单调增区间为：

综上可知，辅助角公式：

（其中）

学生只有确定角的取值，才能正确解答此类题型：即角的终边所在象限和点（a，b）所在象限是一致的，所以角必须在相应的象限内取值。

（作者单位：江西省南昌县莲塘一中）