基于数学核心素养“真、善、美”下的“空间几何体的体积”教学

颜波

数学的核心素养有“真、善、美”三个维度：理解理性数学文明的文化价值，体会数学真理的严谨性、精确性；具备用数学思想方法分析和解决实际问题的基本能力；能够欣赏数学之美，喜欢数学，热爱数学.笔者根据核心素养三个维度的理念设计和实践了“空间几何体的体积”的教学.现整理出来与同行切磋和探讨.

一、教学实录

师：在相距为h的两条平行直线l1、l2之间，一条长a为的线段在平面内从l1上沿不同路径运动到l2上，可以形成什么样的图形？生1：矩形.生2： 也可以是平行四边形.生3： 还可以是不规则的图形（上黑板画出图1（3））.师：说得好！图形是丰富多彩的.考虑一下，它们的面积分别是多少？生1：ah.生2：ah.生3：……（回答不出来！）生4：还是ah.因为图1（3）与图1（1）都是由相同长度的线段平移而得到的.形象地说，相同长度、相同“根数”的细木条“摆成”了图1（1）、图1（3），面积当然相等.师：很好！线动成面.你能准确地描述这一结论吗？生4：两个等高的平面图形，若在所有等高处的水平线段长度都相等，那么这两个平面图形的面积相等.师：类比这个结论，空间几何体有类似结论吗？生5：两个等高的几何体，若在所有等高处的水平截面的面积相等，那么这两个几何体的体积相等.师：举个实例看看.生5：（先将桌上的一摞书堆放成长方体，然后推成平行六面体，又随意推成任意形状）这些几何体的体积相等，原因就是距离桌面等高处的每个水平截面（每一页纸）面积都相等.

师：太棒了！同学们是否知道，他道出了在数学史上颇有影响的一个原理——祖暅原理.祖暅是我国齐梁时代的数学家（祖冲之的儿子），他不仅首先提出了这一原理，还成功地将其应用于球体积的推算.祖暅原理在西方文献中称为“卡瓦列利原理”，在1653年才由意大利数学家卡瓦列利提出，对微积分的建立有重要影响.看来数学家并不神秘，只要我们善动脑筋，照样可以发现，可以创造.（学生脸上露出得意的神色，尤其生5，昂首挺胸，喜形于色！）师：想想看，祖暅原理能帮我们做什么？生6：求几何体的体积.师：对.我们已经知道哪些几何体的体积？生6：正方体的体积V=a3，长方体的体积V=abc，也就是V=Sh.师：以长方体体积为基础，我们能得到什么几何体的体积？生7：柱体.师：什么柱体？棱柱还是圆柱？还是任意柱体？生7：任意柱体.由于柱体是由一个平面图形沿某一方向平移形成的空间几何体，只要该柱体与长方体底面积相等、高也相等，就意味着每一“等高”处的截面面积相等.根据祖暅原理，它们的体积相等.（学生知道我好问为什么，索性把理由也说了）

师：很好！（板书：V柱体=Sh）这样一来，我们就解决了所有柱体的体积问题.下面该研究什么几何体的体积了？生8：锥体、台体.师：关于锥体，你们是否已经掌握了某一类锥体的体积公式了？生9：圆锥的体积V锥体=13Sh.师：怎么得来的？生9：倒沙实验.用同底等高的圆柱和圆锥形容器，将圆锥形容器中的沙子倒入圆柱形容器中，三次恰好倒满，所以V柱体=13V锥体=13Sh.

师：实验是直观的，帮助我们发现了不少结论，这一方法很重要.但它的缺点也是显而易见的，那就是有误差，甚至会得出一些错误结论.要使人心服口服，还需要严密推理.同学们，你们能把这一结论V锥体=13Sh证明出来，让人心服口服吗？

学生利用祖暅原理自主探索，也有学生互相讨论和合作交流.（1）试图找一个符合祖暅原理条件的几何体，未果.（2）受V柱体=13V锥体启发，将圆柱中挖去一个圆锥，剩余部分的几何体的体积V剩应是圆锥体积的2倍，因此剩余几何体的任一平行于底面的截面面积如果都是圆锥等高处截面面积的2倍（此时，学生已经将祖暅原理作了推广），问题就能得到解决，但是由于h=0（即底面）时的截面面积没有2倍关系，又告失败.学生处于困惑中，急切地想知道到底该怎么办？（此时是启发教学的绝佳时机）师：圆锥困难，为什么不试试其他锥体？也许能找到突破口.生10：其他锥体，我们不知道它的体积啊！师：我们不是知道柱体体积吗？试试看，柱体与锥体是否有联系？

多数学生画出三棱柱、四棱柱进行分割（没人画圆柱）.师：为了使问题简单，我们可选择……生：（齐）最简单柱体.师：什么柱体最简单？生11：正四棱柱.因为其中的平行、垂直关系多，线面关系也明显直观.生12：正三棱柱.从分割出棱锥这个角度讲，正三棱柱更好，图形更简单.师：你们的分析都很有见地，对正三棱柱的分析更有针对性，那我们就对正三棱柱进行“解剖”吧！学生将正三棱柱分割如图2.

师：棱锥 BA1B1C1和棱锥A1ABC显然是两个全等的几何体， 体积当然相等.现在只要能证明棱锥BA1B1C1和棱锥A1BCC1体积也相等，问题就解决了.生13：选择棱锥BA1B1C1中的面BB1C1，棱锥A1BCC1中的面BCC1，它们都在三棱柱侧面B1C内，且面积相等，任作一个平行于面B1C的截面DED1E1（上黑板作如图3），该面截棱锥A1-BB1C1的截面是△D1E1E，截棱锥A1-BCC1的截面是△D1DE，面积相等.显然，等高处的截面（平行于底面）面积均相等.根据祖暅原理，棱锥BA1B1C1和棱锥A1BCC1的体积相等.

师：利用他的“科研报告”，你们现在能向我汇报什么“科研成果”？生14：三棱锥的体积V三棱锥=13Sh.师：所有三棱锥？生14：现在只能说形如图3中三个三棱锥的体积是13Sh.

师：其他的三棱锥呢？推广一下，任意的锥体呢？生15：锥体的体积V锥体=13Sh.师：请你证给同学们看看.生15：（走上讲台，在黑板上作如图4）设三个锥体的底面积均为S，高均为h，与底面等高处（高均为x）的截面与相应底面是相似图形，且面积S′满足：S′S=（h-xh）2，S′=（h-xh）2S，可见只要x相同，S′就相等，即等高处的截面面积是相等的，根据祖暅原理，V锥体=13Sh.

师：现在的阶段性成果是V锥体=13Sh.下面再来研究台体的体积.生16：这次咱就不麻烦祖暅他老人家了！根据台体的定义，将台体补成锥体，大锥体体积减去小锥体体积就行了.师：想法很好.同学们都试试看.（大部分学生均能顺利完成）

师：又一成果出来了：V台体=13h（S+Ss′+s′）.在研究空间几何体表面积时发现正棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积之间的关系，这种关系让我们深刻地体会了数与形的完美结合.柱、锥、台体的体积公式之间是否有类似的关系？生17：类比一下，发现它们有类似的关系.（在黑板上写出：V柱体=sh

V台体=13h（s+ss′+s′）

V体=13sh）.

师：利用上面的方法，我们还能推导出球体的体积公式.同学们可以下去自己试着推导一下.

二、教后反思

1.辩证看待教材，对教材进行重组，注重数学“真”的一面.本節课的处理方式与教材有一定的差别.尤其体现在：锥体的体积公式.教材是将圆锥体积公式作为已知，用祖暅原理推出锥体的体积公式；笔者是从已知体积的柱体入手，分割出三棱锥并推出其体积，然后得出一般锥体的体积.

2.重视知识发生，重走探索发现之路，注重数学“美”的一面.本节课把重点放在公式推导方法的探索上.一是激发了学生探究数学的兴趣.二是提高了学生的数学思维能力.在探索过程中，经历了直观感知，观察发现，归纳类比，空间想像，演绎证明，反思与建构等思维过程.三是培养了学生不怕困难、团结协作、勇于探索的创新意识.

3.激发学生的兴趣，以学生为本，体现数学“善”的一面.在教学中，对学生循循善诱，让学生展示自己的真实想法，让学生喜欢上数学.

4.遗憾与不足.（1）祖暅原理之前的平面图形面积问题可有可无，直接设置适当的情境，也可以让学生得出祖暅原理.（2）没找到恰当的几何体来推导圆锥的体积公式.（3）由探讨圆锥的失败到对棱锥的探讨，过渡不自然.

总之，数学教学方法，因教学内容而异，因教师而异，因学生而异，但是均应以知识为载体，以思想方法为核心，以提高学生的能力和素养为目的.