类比推理在小学数学教学中的有效实施摭谈

杜建军

[摘要]类比推理作为一般的合情推理方法，是一种重要的数学思想，在小学数学教学中被大量应用。在经历类比推理的过程中，让学生感悟运用类比推理的价值。运用类比推理得到的结论是或然的，但不能因为类比中存在或然现象而否定类比推理对于思维培养的价值。

[关键词]类比推理 小学数学教学 有效实施

在数学教学中发现，学生有时会对某个知识点有“似曾相识”的感觉。如果我们能抓住学生的这种感觉，适时启迪学生进行比较和联想，往往学生能在相似思考中获得所需的方法或结果，从而轻松地解决问题。这里其实是在运用类比推理。

在具体教学中如何由旧知识迁移类比到新知识，如何通过恰当的问题沟通新旧知识间的联系，如何引导学生实现类比推理、感悟推理思想呢？带着这些困惑，笔者翻阅了近几年的听课笔记，结合读书及平时的教学实践，从中窥探一些现象与问题，进行以下思考。

一、怎样引导学生运用类比推理进行思考

数学教育家波利亚说：“类比就是一种相似。”应用类比的思想方法，关键在于发现两类事物间相似的性质，因此，观察、比较与联想是类比的基础。我们在运用类比法进行教学时，要从具体的问题情境出发，提供先行组织者材料，引导学生寻找相似的类比问题，通过观察、比较、联想，沟通新旧知识间的联系，从而引发学生进行类比思考并大胆猜想，再通过举例验证，最后得出结论。在经历类比的过程中，感悟运用同类比推理的价值。

1.引导回顾旧知，搜索类比对象

在涉及运用类比推理教学时，我们首先要根据学生所学新知或所要解决问题的具体特点和规律，寻找与它在特征或思考方法上相类似的对象。这样的对象须是学生已经学会的旧知识或经验。如在教学小数、分数的运算顺序及运算律时，我们可以将整数运算顺序、运算律作为类比对象；在教学正方形的周长或面积计算时，将刚学过的长方形的周长或面积计算作为类比对象。而在教学圆柱的体积公式推导时，在实验操作方法上可和圆的面积公式推导的操作方法进行类比。同时该问题还与长方体和正方体的体积计算有一些相似点，这些是启迪学生感悟圆柱体积计算的基础，特别是长方体和正方体的体积计算公式“底面积×高”，对探索圆柱的体积计算方法起着重要作用。这样就找到了学习圆柱的体积计算的合适类比对象。

寻找类比对象，可以通过创设一定的问题情境，让学生在教师的启发下进行。随着学生学习经验的积累以及他们对运用类比法解决问题价值的体会，学生会逐渐学会自觉寻找合适的类比对象。

教学中，可以通过提出以下问题引导学生寻找类比对象：

（1）目前遇到的这个问题你见过吗？你觉得解决这个问题需要用到我们以前学过的哪些知识？

（2）你觉得这个问题与以前学过的哪些问题相似？你觉得解决这个问题所用的方法与以前解决哪个问题所用的方法相似？

2.观察比较.沟通联系

我们经常听到学生说，这个问题与我们以前学过的某个问题很像，其实学生正在进行类比联想。有了这样油然而生的联想，学生能比较深入地沟通新旧知识问的联系，在观察、比较中区分问题属性的异同，并找出它们类似的特征，从而使学生加深对新知识的理解。

平面图形和立体图形有很多的相似点。平面图形的边和立体图形的面可以进行比较，平面图形的面积和立体图形的体积也可进行比较。比如，在教学体积单位时，我们可以这样引导：为了便于比较不同物体表面或图形的大小，我们统一了面积单位。那么，为了比较不同物体或立体图形的大小，我们应该怎么办呢？让学生在类比思考下明白同样需要对体积单位进行统一，这种共同的需要便是它们的联系点。再如，1平方厘米与1立方厘米，它们都是以长度单位1厘米为基础，这样就可以将面积单位和体积单位联系起来，进一步找到它们的联系点。在教学长方体的体积计算公式推导时，可以与长方形的面积计算公式进行类比。另外，在同一类图形中，也有很多相似点。如我们在教学正方体的认识时，就可以直接引导学生沟通正方体与长方体之间的联系，正方体是特殊的长方体，它们在面、棱及顶点的数量及特征上相同或相似。通过这些联系点，就能很好地将两个问题联系起来，在观察、比较的基础上逐步弄清问题的实质。教学时，我们一般可以提出如下问题：

你觉得要解决的问题与已解决的原问题在哪些方面相似？它们的共同点是什么？

3.类比推理，形成猜想

有了以上对类比问题的确定及对两个问题间相似点的把握，我们便可引导学生在联想的基础上进行大胆猜想，实现知识的迁移，初步得出结论，这是类比推理过程中极为重要的一步。类比联想是引发类比推理的动力，尽管此时得出的结论不一定正确，但学生在这个过程中进一步沟通了新旧知识间的联系，促进了学生推理能力的发展和思维品质的提升。此时我们应鼓励学生大胆地将猜想的结果在组内或全班表达出来，不能因为有些学生的猜想结果与正确结论不一致而否定学生的思维方法。其实，在这个过程中，学生真正在开动脑筋积极思考、在类比思考中提出猜想，这恰好反映了他们对解决问题所做的努力。因此，我们仍应对学生通过类比提出猜想而给予鼓励。

比如，在教学分数的基本性质时，可以直接引导学生回顾分数与除法的关系及除法中商不变的性质，让学生根据商不变的性质，直接类比猜想出分数的基本性质。由于分数的基本性质与商不变的性质在本质上是一致的，因此没有必要再花大量时间重新去探索其性质。

在进行这一步教学时，我们一般可以提出如下问题：

通过类比，你觉得今天所学的新问题有哪些特点（或性质）？你觉得可以用怎样的方法来解决这个问题？请你们大胆地猜想一下。

4.举例验证，明确结论

如在教学小数、分数的运算顺序、运算律时，我们先直接引导学生猜想：整数运算顺序、运算律在小数、分数中能否直接应用？不同意的同学，请举出反例，同意的请举例验证。学生在这样的过程中逐漸明白整数运算顺序、运算律在小数、分数计算中也同样适用，从而验证了结论的正确性。

通过举例验证，还为学生创造了回顾与反思的机会，让他们重新审视学习过程。如果通过验证发现的结论是错误的，恰好引导学生将所给问题引向新的思考，进一步修正猜想。这些过程都是学习中难能可贵的体验。

进行这一步教学时，一般可以通过提出如下问题引导学生思考：

（1）为了验证我们的猜想是否正确，同学们能找出相反的例子吗？如果找不到反例，请大家再举例验证一下。

（2）我们刚才是如何解决这个问题的？你是通过和什么进行类比的？

（3）在刚才解决问题的过程中，你觉得我们要注意什么？

二、怎样看待类比推理中的或然现象

类比推理是一种合情推理，采用类比推理出的结论可能不一定正确。在小学数学教学中，有以下几个例子值得注意。

如平行四边形面积计算公式推导的教学。平行四边形面积计算的教学是在学生掌握了长方形、正方形面积计算的基础上进行的，长方形的面积=底×高，因此学生在学习平行四边形计算时经常将此类比过来，认为平行四边形的面积等于底与其邻边相乘的积。在課堂上出现这种现象时，大多数教师往往是简单地对学生的猜想进行否定，甚至批评学生不应该这样猜想。我认为，猜想本来就是无所谓对错的，要允许学生在猜想的过程中出现与正确结论不一致的情况，我们要看到学生在这个过程中思维活动的闪光点，这正是让学生正确、全面认识类比推理的一个好机会。

教学中出现这样的现象时，我们可以尝试作如下引导：同学们刚才猜想平行四边形的面积等于底与邻边相乘，大家能大胆地与长方形的面积计算方法进行类比，可是，这样猜想出的结论一定正确吗？你能运用我们所学的知识进行验证吗？

这时有些同学会想起用数方格的方法进行验证，也可能会有同学用能活动的平行四边形学具通过改变平行四边形的高发现在变化的过程中其面积也在随着变化，从而发现刚才猜想的结论不正确。到这里，我们可以进一步作如下引导，出示两个不规则的图形（如下图）：

让学生思考如何通过测量求出这两个图形的面积。这时他们容易想到运用割补法将两个图形分别转化为长方形来计算面积。有了这样的铺垫，接着再引导学生思考：大家觉得平行四边形的面积计算能否运用类似的方法呢？从而再次将学生引导到转化方法的类比上。学生就会容易想到通过割补转化的方法，进一步将平行四边形转化为长方形，并引导学生猜想是否所有的平行四边形都能运用割补法转化为长方形来计算其面积。接着引导学生通过动手操作进行验证，得到平行四边形的面积=底×高，从而实现思考方法的正迁移。在这个过程中，学生会逐渐明白为什么不能用底与邻边相乘来计算平行四边形的面积，并感受到运用类比推理要选择好类比对象，对运用类比法解决问题的一般过程有了比较清楚的认识。

又如3的倍数的特征这部分内容教学。这部分内容是在刚刚进行2、5的倍数的特征教学的基础上进行的。2、5的倍数的特征都是通过看个位上数的特征得到的。因此，学生会很自然地通过类比进行猜想：3的倍数的特征可通过看个位上的数是否为3的倍数得到。这里我们也要让学生经过举例验证说明这个结论是不成立的。并进一步引导学生通过观察、归纳探索出3的倍数的特征。

通过以上分析，我们发现，运用类比推理得到的结论是或然的，必须等待我们通过进一步举例或证明来进行验证。因此，我们有必要从整体上把握各年级教材的编排体系，熟悉教学内容的前后联系，清楚哪些内容可以引导学生运用类比推理进行进一步学习，正确看待类比推理中的或然现象，不能因为类比中存在或然现象而否定类比推理的思维培养价值。

类比推理是学生进行数学学习的一种良好的思维方式。引导学生进行类比推理时，重在沟通新旧知识间的联系，引导学生进行大胆猜想，在活动过程中提升学生的思维能力。类比推理是一种重要的数学思想，它能诱发学生的学习、激发灵感，激起学生的学习兴趣，让学生体验到发现与创新的快乐。