2016年中考“综合与实践”专题命题分析

刘永东

（广东省广州市天河区教育局教研室）

2016年中考“综合与实践”专题命题分析

刘永东

（广东省广州市天河区教育局教研室）

结合数学课程标准的目标和内容要求，梳理2016年全国中考试卷中有关综合与实践类试题，从数学六大核心素养和创新意识方面进行分类命题分析，总结该领域内容的命题特征和教学导向，为中考备考高效复习活动提供参考.

中考试题；综合与实践；命题分析

一、认知课标

《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《标准》）中对7～9年级“综合与实践”学习领域给出了六个实例（例74～例79）.其中，“直觉的误导”是让学生体会数学结论完全凭借直观是不行的，还需要通过演绎推理来验证.“从年历中想到的”是让学生学会观察生活、开放性的抽象思考和质疑，体会模型思想.“包装盒中的数学”是引导学生体验完整的问题解决过程，启发学生寻求解决未知问题的思路，突出应用意识.“看图说故事”是创设多样情境，激发学生思考解决问题的多样性和合理性.“利用树叶的特征对树木分类”是培养学生的数据分析意识，体会通过数据分析抓住本质.“利用几何图形研究代数问题”是在培养运用几何知识推导代数式的同时，帮助学生建立几何直观.

《标准》对该领域给出这些帮助教师理解、澄清困惑的实例，不仅仅呈现案例的设计思路及教学建议，更是给予命题者和教师这样的认知：一是要提“好问题”，即设置能让学生发现和提出问题的实际问题情境，让学生经历设计、实施和解决问题的过程，体验建立模型的过程；二是提好“问题”，即结合实际问题情境，逐层递进提出问题，让学生通过对有关问题的分析、探讨和解决，了解所学知识（包括其他学科知识）之间的关联，理解知识的综合应用，体验数学抽象、逻辑推理和模型应用，发展创新意识.综合两方面的认知，不难发现：不管是提“好问题”还是提好“问题”，均是指向《标准》提出的抽象、推理和模型的三个基本思想，以及应用意识和创新意识.

二、考向分析

为体现《标准》的引领作用，命题者在该领域特别关注问题、过程和综合三个方面的考查.一般是在数学内部知识的综合、数学与其他学科的综合、数学与生活实际的综合三个方面去设置具体情境，考查学生从数学的角度去发现和提出问题，进而在分析和解决问题的整个过程中考查学生数学活动经验的积累程度.

2016年全国各地中考试题在该领域的命题的确为一线教师深入研究《标准》和教材提供导向.观察109份中考试卷命题的呈现形式和考查内容，呈现出选材丰富、综合设计、稳中求变、兼顾创新、关注过程、注重思想、回归《标准》等特点.题型三者兼顾，倾向于填空题和解答题，题量和分值保持稳定，选择题、填空题，分值在2～4分之间，多数是考查学生综合能力和数学素养的解答题，包括压轴题，分值在8～14分之间，试题分值与全卷总分值的比在15%左右.命题者以问题为载体，注重对问题性、过程性、应用创新性的考查，特别是注重考查学生拥有探究未知知识的方法和能力.发现更加注重“四基”和“四能”的考查，更加强调考查学生数学思维的灵活性，以及对具有内在关联、学科综合和实践应用问题的解决能力.

三、分类扫描

本领域中，提出的问题综合性大，应用意识强，对指向基本思想的命题问题设计，又主要反映在数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力、模型思想的核心概念上.为了便于对命题中的好问题进行扫描、阐述，笔者基于六大数学核心素养进行简单分类：把关于数感、符号意识的问题归为数学抽象，把空间观念和几何直观归为直观想象，推理能力即为逻辑推理，模型思想即为数学建模，运算能力即为数学运算，数据分析观念即为数学分析，并突出创新意识单列扫描，分类寻找相关试题进行命题分析陈述.由于本领域的考查是基于其他三个领域的内容命制，容易和这些领域中的综合性内容相混淆.为突出教师阅读和思考，本文对一些与其他专题易混淆的试题不列举说明.

1.数学运算

数学运算主要是指依据运算法则进行正确的运算.具体表现在理解运算对象，掌握运算法则，探究运算思路，形成程序化思维.培养运算能力有助于学生理解运算的算理，寻求合理、简洁的运算途径解决问题.常见的考查形式主要是定义新运算类型的试题.

例1（广东·广州卷）定义新运算：a*b=a（1-b），若a，b是方程的两根，则b*b-a*a的值为（ ）.

（A）0 （B）1

（C）2 （D）与m有关

答案：A.

例2（四川·巴中卷）定义新运算：对于任意实数m，n都有m☆n=m2n+n，等式右边是常用的加法、减法、乘法及乘方运算．例如，-3☆2=（-3）2×2+ 2=20．根据以上知识解决问题：若2☆a的值小于0，试判断方程：2x2-bx+a=0的根的情况．

答案：方程有两个不相等的实数根．

【评析】两题的命题方式均是把新定义运算和一元二次方程的相关知识相结合，例1通过新运算转换所求的代数式，进而利用方程根的含义或根与系数关系式求解.例2把新运算融合在不等式中，通过解不等式得到a的取值范围，再由根的判别式得出结论.要求学生具备一定的数式运算能力，在理解新运算的情境中，根据法则正确地进行运算，体悟新运算的算理，转换、化归为熟悉的运算方式，回归到已有解题模型中解决问题.例1原型是：若a，b是方程的两根，求b-b2-a+a2的值.例2原型是：若22·a+a＜0，试判断方程2x2-bx+a=0的根的情况.类似的考查还有：广东省梅州卷第7题，湖南省岳阳卷第8题，湖南省郴州卷第24题等.

2.数学抽象

数学抽象是指舍去事物的一切物理属性，得到数学研究对象的思维过程，具体表现在获得数学概念和规则；提出数学命题和模型；形成数学方法与思想；认识数学结构与体系.主要包括：从数量与数量关系、图形与图形关系中抽象出数学概念及概念之间的关系，从事物的具体背景中抽象出一般规律和结构，并且用数学语言予以表征.特别反映在数感、符号意识和空间观念的培养上.数感主要是理解或表述具体情境中的数量关系，符号意识主要是能够理解并运用符号表示数、数量关系和变化规律，以及使用符号进行运算和推理得到一般性结论.空间观念主要是指根据物体特征抽象出几何图形等.

例3（四川·凉州卷）观察图1中正方形四个顶点所标的数字规律，可知，数2 016应标在（ ）.

（A）第504个正方形的左下角

（B）第504个正方形的右下角

（C）第505个正方形的左上角

（D）第505个正方形的右下角

图1

答案：D

例4（河北卷）如图2，已知∠AOB=7°，一条光线从点A出发后射向OB边.若光线与OB边垂直，则光线沿原路返回到点A，此时∠A=90°－7°=83°.当∠A＜83°时，光线射到OB边上的点A1后，经OB反射到线段AO上的点A2，易知∠1=∠2.若A1A2⊥AO，光线又会沿A2→A1→A原路返回到点A，此时∠A=_____.

……

若光线从点A发出后，经若干次反射能沿原路返回到点A，则锐角∠A的最小值=_______.

图2

答案：76°，6°.

【评析】两题均是考查数形结合思想.例3的结构非常简洁，又能让学生清晰意图，通过形的特征，转换为数的特征，进而建立与数2 016的联系求解，突出考查使用符号进行运算和推理而得到具有一般性的结论，在数感上更加强化.例4考查三角形外角等性质的应用，需要借助学生的动手画图，寻找图形中的角的关系，进而寻求规律，突出考查学生理解并且运用符号表示数、数量关系和变化规律.命题上的创新有助于引导教学，让师生明白理解符号的使用是数学表达和进行数学思考的重要形式，从而建立符号意识.但笔者认为，简单的从数和形的角度考查学生探索规律的实践能力，有利于学生的学习，而不宜把探索规律与一些繁杂的图形或数式相结合，加大难度的同时，找不到考查的方向.类似地，还有四川省内江卷第12题，四川省广安卷第16题，云南卷的最后一题，等等.

3.数据分析

数据分析是统计的核心.具体表现在收集和整理数据，理解和处理数据，提取信息与构建模型，合情推断和解释结论，概括和形成知识.

例5（北京卷）调查作业：了解你所住小区家庭5月份用气量情况．

小天、小东和小芸三位同学住在同一小区，该小区共有300户家庭，每户家庭人数在2～5之间，这300户家庭的平均人数均为3.4.小天、小东、小芸各自对该小区家庭5月份用气量情况进行抽样调查，将收集的数据进行整理，绘制的统计表分别为表1、表2和表3．

表1：抽样调查小区4户家庭5月份用气量统计表（单位：m3）

表2：抽样调查小区15户家庭5月份用气量统计表（单位：m3）

表3：抽样调查小区15户家庭5月份用气量统计表（单位：m3）

根据以上材料回答问题：小天、小东和小芸三人中，哪一位同学抽样调查的数据能较好地反映出该小区家庭5月份用气量情况，并简要说明其他两位同学抽样调查的不足之处．

答案：小芸，两位同学不足之处略.

【评析】对现实生活中的问题先做调查研究，收集数据，进而分析做出判断，是常规的统计知识考查.此题突出抽样调查和分析数据的方法以及解决问题能力的考查，在命题上有变化，淡化统计图的制作和读图，仅仅是要求学生读表，正确选择平均数3.4去对调查进行数据分析，通过表格数据的显性和隐性设置（显性是小天的样本容量过少，隐性是小东和小芸的样本平均数分别是2.87与3.4），在简单问题中不仅仅是考查数据分析的随机性体验，还在于对同样的事情收集数据不同的合理性体验，该题对数据分析是统计的核心理念一览无遗.

4.直观想象

直观想象是指借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化，利用图形理解和解决数学问题.具体表现在建立数与形的联系，利用几何图形描述问题，借助几何直观理解问题，运用空间想象认识事物.主要包括借助空间事物的位置关系、形态变化、运动规律，利用图形描述、分析数学问题，构建数学问题的直观模型，把复杂的数学问题变得简明，进而探索解决问题的思路.

例6（山东·青岛卷）如图3，以边长为20 cm的正三角形纸板的各顶点为端点，在各边上分别截取4 cm长的六条线段，过截得的六个端点作所在边的垂线，形成三个有两个直角的四边形．把它们沿图中虚线剪掉，用剩下的纸板折成一个底为正三角形的无盖柱形盒子，则它的容积为__________．

图3

例7（江西卷）如图4，六个完全相同的小长方形拼成一个大长方形，AB是其中一个小长方形的对角线，试在大长方形中完成下列画图，要求：①仅用无刻度直尺；②保留必要的画图痕迹.

（1）在图4（1）中画一个45°角，使点A或点B是这个角的顶点，且AB为这个角的一边；

（2）在图4（2）中画出线段AB的垂直平分线.

图4

答案：如图5所示.

图5

（1）∠BAC=45°；（2）OH为所求.

例8（福建·龙岩卷）如图6，图6（1）是某公交公司1路车从起点站A站途经B站和C站，最终到达终点站D站的格点路线图（8×8的格点图是由边长为1的小正方形组成）．

（1）求1路车从A站到D站所走的路程（精确到0.1）；

（2）在图6（2）、图6（3）和图6（4）的网格中各画出一种从A站到D站的路线图（要求：①与图6（1）路线不同、路程相同；②途中必须经过两个格点站；③所画路线图不重）．

图6

随着社会人口老龄化和疾病谱的改变，老年人慢性非传染性疾病的患病率高，其生活不能自理且卧床患者比例呈上升趋势。目前，社区卫生服务中心收治的对象90%以上是久卧病患，家属及保姆或陪护工等已成为他们的主要照顾和护理者(照护者)。调查发现，照护者们普遍缺乏防压疮的翻身护理知识和技能。由于照护者们对易发生压疮的这类高危人群未能正确及时掌握有效的防压疮翻身护理技能，导致发生压疮病例增多。因此，如何有效减少压疮的发生，对久卧病患照护者进行防压疮翻身护理培训值得社区护理工作者的探索。1年多来，我们加强对照护者们防压疮翻身护理技能的指导和培训，使照护者们防压疮的护理能力明显提高，现报道如下。

（2）有七种画法（略）.

【评析】很多教师认为，空间观念主要是指根据物体特征抽象出几何图形，根据几何图形想象出所描述的实际物体.然而，想象出物体的方位和相互之间的位置关系，描述图形的运动和变化，以及依据语言的描述画出图形等也是空间观念的重心.如例6，按照要求找点，进而作图和剪拼形成直棱柱的立体图形，主要考查了直棱柱的特点以及正三角形的性质等知识，命题上突出了依据语言的描述进行动手操作，想象平面图形与几何图形相互之间的关系，不仅如此，高的求法多样，考查学生在实践中充分应用所学知识的综合性.例7的最大亮点是用无刻度的直尺画图，需要对复杂图形中的长方形之间存在的角度关系有深刻的认识，包括对特殊三角形、四边形的想象能力的考查.在结构上，两小问之间有关联，是一个递进的思考，比较简洁地考查学生对三角形与四边形之间相互转化的思维方式.例8的设计也很有特色，先给出一个示范，让学生借助表格利用勾股定理求解线段长度，得到无理数，在新的画图设计中，分割这个数的两个部分3和，由此想到先确定线段AD上的一部分为3，进而利用轴对称变换得到满足条件的一些图形，并且只需画出7个中的3个，已经达到考查思维能力的目的.

5.逻辑推理

推理是数学的基本思维方式，逻辑推理是指从一些事实和命题出发，依据规则推出其他命题的思维，主要包括两类：一类是从特殊到一般的推理，推理形式主要有归纳、类比；一类是从一般到特殊的推理，推理形式主要有演绎.两类推理在解决问题的过程中有不同功能，它们相辅相成，前者探索思路，发现结论，后者则用于证明结论.

例9（甘肃·兰州卷）如图7，用一个半径为5 cm的定滑轮带动重物上升，滑轮上一点P旋转了108°，假设绳索（粗细不计）与滑轮之间没有滑动，则重物上升了（ ）．

图7

（A）π cm

（B）2π cm

（C）3π cm

（D）5π cm

答案：C．

【评析】该题考查了图形变换以及弧长公式的应用.重物的向上平移与点P的旋转具有相关性，通过定滑轮性质推理得到重物上升的距离等于滑轮上任意一点绕圆心旋转的弧长.此题的设置类似PISA问题情境设置，从物理学、生活常识以及直观的逻辑等不同角度考查学生读题、审题的阅读理解和简单的数学推理能力.

例10（江苏·连云港卷）我们知道：光反射时，反射光线、入射光线和法线在同一平面内，反射光线、入射光线分别在法线两侧，反射角等于入射角.如图8，AO为入射光线，入射点为O，ON为法线（过入射点O且垂直于镜面的直线），OB为反射光线，此时反射角∠BON等于入射角∠AON.

图8

问题思考：

（1）如图9，一束光线从点A处入射到平面镜上，反射后恰好过点B，试在图中确定平面镜上的入射点P，保留作图痕迹，并简要说明理由；

（2）如图10，两平面镜OM，ON相交于点O，且OM⊥ON，一束光线从点A出发，经过平面镜反射后，恰好经过点B.小昕说，光线可以只经过平面镜OM反射后过点B，也可以只经过平面镜ON反射后过点B.除了小昕的两种作法外，你还有其他作法吗？如果有，试在图中画出光线的行进路线，保留作图痕迹，并简要说明理由；

图9

图10

问题拓展：

（3）如图11，两平面镜OM，ON相交于点O，且∠MON=30°，一束光线从点S出发，且平行于平面镜OM，第一次在点A处反射，经过若干次反射后又回到了点S，如果SA和AO的长均为1 m，求这束光线经过的路程；

（4）如图12，两平面镜OM，ON相交于点O，且∠MON=15°，一束光线从点P出发，经过若干次反射后，最后反射出去时，光线平行于平面镜OM.设光线出发时与射线PM的夹角为θ( ) 0°＜θ＜180°，试直接写出满足条件的所有θ的度数（注：OM，ON足够长）.

图12

答案：（1）略；

（2）略；

（4）30°，60°，90°，120°，150°.

【评析】作为压轴题，与其他题的命题形式不一样.从学生熟悉的物理学现象入手（为了避免因物理学科知识的不理解或遗忘，用文字、符号、图形的数学语言进行描述），由此抽象出数学模型，把镜面对称和轴对称融合起来，通过镜面的位置变化，逐步递进地呈现问题和深入探究.第（1）小题可以转化成学生熟悉的最短路径问题，但又强调通过推理论证入射角与反射角相等以说明画法的逻辑性.第（2）小题增加一面镜子，除了运用原来的方法解决问题外，增加了新的方法，但呈现两维的特征.前两个问题，在以前中考中曾经见过，学生可能不陌生，但从第（3）小题开始，由特殊到一般进行问题拓展，方法不变，但思维结构增加了数学的逻辑推理和运算，只是难度并不是太大.而在最后一问上，呈现出思维的多变，考查学生从锐角、直角、钝角的角度去分类思考和推理验证，并突出了数学思想对解题的引领作用.

6.数学建模

数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学知识与方法构建模型解决问题的过程，主要包括：在实际情境中，从数学的视角发现问题、提出问题、分析问题、建立模型、求解结论、验证结果并改进模型，最终解决实际问题.它是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径，特别体现应用数学意识：利用数学的概念、原理和方法解释现实世界中的现象并解决问题；反过来，把现实生活中与数量和图形有关的问题抽象成数学问题，用数学的方法予以解决.而综合实践活动是培养应用意识很好的载体，其中，建立方程、不等式、函数等求解模型，进而求出结果并讨论结果的意义的试题比较常见，为与其他专题区分，此处不列举.

例11（福建·漳州卷）如图13，是将一正方体货物沿坡面AB装进汽车货厢的平面示意图.已知长方体货厢的高度BC为米，现把图中的货物继续往前平移，当货物顶点D与点C重合时，仍可把货物放平装进货厢，求BD的长（结果保留根号）.

图13

例12（江苏·淮安卷）小华想测量位于池塘两端的A，B两点的距离，如图14，他沿着与直线AB平行的道路EF行走，当行走到点C处，测得∠ACF＝45°，再向前行走100米到点D处，测得∠BDF＝60°.若直线AB与EF之间的距离为60米，求A，B两点的距离.

图14

例13（湖北·十堰卷）在综合实践课上，小聪所在小组要测量一条河的宽度，如图15，河岸EF∥MN，小聪在河岸MN上点A处用测角仪测得河对岸小树C位于东北方向，然后沿河岸走了30米，到达B处，测得河对岸电线杆D位于北偏东30°方向，此时，其他同学测得CD=10米．试根据这些数据求出河的宽度为______（结果保留根号）．

图15

【评析】例11难度不大，但结合生活实际设计问题，学生可运用等角的锐角三角函数值相等解决问题，体现转换、化归思想，能引发学生去观察生活中的问题，进而抽象出数学问题加以思考和解决，内容和形式有新意.例如，例12、例13，这两道题同属一个问题，只是在考查方式上有些不同，后一道题加入方位角，通过沿河岸行走距离较短而加深对直观图形的理解难度，内涵更为丰富，但本质没有变.学生在作辅助线解决问题时，如果是分别在两平行线的一端点作垂线段补成矩形，则相对简洁，这里也考查了学生直观想象和数学模型的选择.三道试题均是在简单题中显现思维，较好地考查了学生的“四基”水平.

7.创新意识

创新是现代数学教育的基本任务，体现在学生自己发现和提出问题，进而独立思考、归纳概括得到猜想和规律，并加以验证.此类试题较多，仅仅是新定义概念考查的有：四川省成都卷第24题的大黄金数与小黄金数定义，山东省德州卷第23题的中点四边形定义，浙江省衢州卷第23题的垂美四边形，浙江省台州卷第23题的三等角四边形，浙江省舟山卷第23题的等邻角四边形，甘肃省兰州卷第20题的伴侣矩形，湖北省咸宁卷第23题的平行四边形的变形度，湖南省常德卷第16题的和点，湖南省益阳卷第11题的整点，湖南省长沙卷第25题的一带一路，湖南省株洲卷第18题的三角形的费马点，江苏省扬州卷第22题的叠弦三角形，等等.如果把问题探究类的试题算进该类，则就更多了，一般是“问题提出—问题探究—问题解决”，或是“观察猜想—数学思考—拓展延伸”，或是“感知—探究—应用”的设计方式，此类试题就是综合实践类的常见题型，在此不再赘述，仅举两例难度较为简单的、形式不同的试题加以说明.

例14（浙江·宁波卷）从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中有一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线.

（1）如图16，在△ABC中，CD为角平分线，∠A= 40°，∠B=60°.求证：CD为△ABC的完美分割线；

（2）在△ABC中，∠A=48°，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD为等腰三角形，求∠ACB的度数；

（3）如图17，在△ABC中，AC=2，BC=，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD是以CD为底边的等腰三角形，求完美分割线CD的长.

图16

图17

答案：（1）略；

（2）114°或96°；

【评析】该题图形简洁，学生似曾见过，却不一样.需要对加入的情境有很好的理解.先给出完美分割线的定义，进而分层设问.第（1）小题是根据所给条件进行证明，难度不大，理解了新定义即可完成；第（2）小题则是由定义蕴含的性质特征，利用等腰三角形的限制产生分类，已经是从“双基”走向了“四基”的考查，突出了数学思维在数学思想引领下的呈现.第（3）小题是从角的求解转向边长的求解，利用相似三角形三边对应成比例的性质，考查辨别题目已知和未知之间的关联，以此建立方程模型解决问题.三道小题涵盖了几何证明和几何中边长和角度的计算，考查面广，而且关系紧密.

例15（湖南·岳阳卷）数学活动——旋转变换.

（1）如图18（1），在△ABC中，∠ABC=130°，将△ABC绕点C逆时针旋转50°得到△A′B′C，连接BB′，求∠A′B′B的大小；

（2）如图18（2），在△ABC中，∠ABC=150°，AB= 3，BC=5，将△ABC绕点C逆时针旋转60°得到△A′B′C，连接BB′，以A′为圆心，A′B′长为半径作圆．

①猜想：直线BB′与⊙A′的位置关系，并证明你的结论；

②连接A′B，求线段A′B的长度.

（3）如图18（3），在△ABC中，∠ABC=α（90°＜α＜180°），AB=m，BC=n，将△ABC绕点C逆时针旋转2β角度（0°＜2β＜180°）得到△A′B′C，连接A′B和BB′，以点A′为圆心，A′B′长为半径作圆，问：角α与角β满足什么条件时，直线BB′与⊙A′相切，试说明理由，并求此条件下线段A′B的长度（结果用角α或角β的三角函数及字母m，n所组成的式子表示）.

图18

答案：（1）65°；

（3）当α+β=180°时，直线BB′是⊙A′的切线，

【评析】第（1）小题是常规的旋转变换，考查简单的旋转性质，是教材题目的改编，但第（2）小题通过设计特殊的旋转角度，使得图形特征更为特殊，增加并转向考查与圆有关的性质和计算.第（3）小题则把旋转角度一般化，在图形大致不变的前提下，不仅考查含字母的运算能力，而且增加了解三角形的知识技能运用.改编的本身就是体现一种解决问题的创新意识，虽然改编后的难度并不是很大，但突出了问题设计的层层递进以及思维的延展性，不仅启示教师抓住教材例、习题的功能，更应注重对这些题目的深层次思考和变化.

四、思考启示

1.综合实践的作用

当今的高中课程改革，提出加强高中生的自主学习，加强跨学科实践性活动的育人功能，这更突出说明了义务教育阶段综合与实践领域学习的重要性.例如，数学学科非常强调理性思维、批判质疑、勇于探究，反映出文化基础方面的科学精神.而“综合与实践”的实施是以问题为载体的学习活动，重在实践、重在综合，不是学生单纯运用具体知识的探索活动，而是学生综合运用其他三大数学领域等知识和方法解决问题的活动，是在观察、实验、猜测、验证、推理与交流等实践活动中形成对数学知识的理解和有效的学习.

可以说，综合实践的作用至少体现如下三个方面：一是内容素材贴近学生的生活现实、数学现实和其他学科现实，增强应用意识；二是突出核心内容之间的相互联系，体现学生学习数学知识的整体性；三是让学生通过实践活动感悟知识的形成和应用，提高解决问题的能力，增强创新意识.

然而，在平时的教学中，一些教师不愿意开展数学活动或课题学习活动，正是因为这种意识的淡化，导致综合实践活动的缺乏，影响到教师和学生去提好问题.而一个好问题，必须是不故设陷阱而容易接受的，体现通性、通法而不需要大量的技巧，有多种解题方法或者至少有多种思路，蕴含了重要的数学思想且可以导致一般化的、丰富的数学探索活动.当师生都不会提好问题，则教学效度就会受到影响，数学素养的培养就失去了方向.

2.命题解析的说明

数学核心素养是《标准》的重要的基本组成部分.《标准》指出：数学素养是现代社会每一个公民应该具备的基本素养，数学在培养人的思维能力和创新能力方面有不可替代的作用.数学核心素养是具有数学基本特征的、适应个人终身发展和社会发展需要的人的关键能力和思维品质.其中提出的六大核心素养，都是通过情境与问题、知识与技能、思维与表达、交流与反思四个方面表现出来的，这也是描述核心素养水平的四个维度，每个核心素养都有自身的独立性，在发现、提出、分析、解决数学问题和实际问题中，各自在不同环节中发挥不同的作用；同时，核心素养之间又具有整体性，它们是相互胶着、相互渗透的.例如，在直观想象中蕴含的抽象、推理、模型，在抽象概括中也离不开直观、推理模型，在数学建模的过程中，更需要直观、推理、模型交互发挥作用.

因此，前述基于数学核心素养的试题命题分析中，只是一种人为的简单分类，试题中会渗透多种素养的考查，特别是在综合与实践领域，更为明显.这种分类的命题解析，用意在于让教师清醒地认识到现阶段应以核心素养为课堂价值取向去优化教学设计，在实施中让学生在自主、合作、探究的学习方式中融入核心素养，把学生的兴趣作为生成和发展核心素养的推动力以激发教学创新.

3.命题解析的启示

2016年中考试题命题指向数学素养或能力的诊断，更多考虑了用核心知识点去考查学生数学核心素养水平或难度.一方面，通过创设合适的背景加强探究性，如生活背景，跨学科背景，纯数学背景等；另一方面，简化现实情境中问题的数学特征分析和结构表征，让学生运用数学事实、规则、算法和结构去发现可能的数学结果，进而设计和实施各种解题策略去求解数学结论，并回到原来的现实背景解释数学结果的合理性.同时，考虑设问的独立性、关联性和层次性，让各类学生达到他们可达到的高度.

试题中不仅仅是改编题，有不少是立足于原创，对初中数学教学具有积极的导向作用.例如，综合性避免了知识的碎片化，实践性避免了以套题型为主的机械训练.特别地，聚焦数学核心素养，关注解题通性、通法和淡化技巧，反映学生多样性、灵活性、独创性、开放性等的思考过程，并减少人为障碍与错误缺陷等.此外，今后命题还会有一种倾向，就是在考试时间充裕的情况下，以独立思考获得解决问题的思路，找到有效解决问题的办法，并用数学语言有条理的表达等.

基于此，教师在平时教学中需要通过数学活动或课题学习等综合实践的探究性活动，启发诱导学生应用数学知识，提升数学思维.不仅要关注问题的恰当选择和问题的展开过程，研制、开发、生成出更多来自教材改编或有创新性的问题，还要专注解决一个个教学痛点问题，并留意跨界学科思维的影响，有目的、有计划地让学生积累和展现数学活动经验，以此达成数学素养的培养.而数学一般性、严谨性和应用广泛性三个特点分别靠数学抽象、逻辑推理、数学模型这三大基本思想达成，由此，该领域的教学更应在数学思想的引领下开展，更应让学生积累“会用数学眼光看问题，会用数学思维思考问题，会用数学语言表达问题”的数学活动经验.简单地说，即会看、会想、会说.

总的来说，我们需要始终坚持重视夯实“双基”的教育传统，突出基本数学思想的教学引领，通过好问题的设置与探究，让学生在数学活动经验积累中提升数学素养.学海无涯，探索不易，教师合理布局初中三年的数学教学，通过好问题，把学“海”变为学“湖”，再缩小成学“池”，在池中夯实游泳技能，则他们将会是数学学海中的“游泳健将”.

五、试题编拟

试题并非覆盖该专题的所有内容，仅供教师参考.

1.对于实数a，b，定义一种新运算“⊗”为，这里等式右边是实数运算．例如，．则方程的解是_______.

答案：x=-5.

2.如图19，在三角形纸片ABC中，∠C=90°，∠B=30°，点D（不与点B，C重合）是BC边上任意一点，将此三角形纸片按照下列方式折叠.若EF的长度为a，则△DEF的面积为_______（用含a的式子表示）.

图19

3.某校计划在一块长为80米，宽为40米的长方形空地上修建一个长方形花圃.

（1）如图20，将花圃四周余下的空地修建成同样宽的通道，如果通道所占面积是整个长方形空地面积的一半，求出此时通道的宽；

图20

（2）在（1）中修建的长方形花圃中，要继续修建两个面积最大且相同的圆形区域（两个圆形区域没有公共部分）来种植某种花卉，求出两个圆心距离的取值范围.

（2）因为40-2a=20-20，所以圆形区域的半径为10-10时，面积最大.

设两圆圆心距为d，

当两圆只有一个公共点时，d有最小值，为（20-20）米，

当两圆分别与花圃的边相切时，d有最大值，d=80-2a-2r=80-2（30-10）-2（10-10）= 40米，

4.点A在数轴上对应的数为a，点B对应的数为b，且a，b满足|a＋3|＋（b－2）2＝0．

（1）求线段AB的长；

（2）点C在数轴上对应的数为x，且x是方程的根，在数轴上是否存在点P使若存在，求出点P对应的数；若不存在，说明理由；

（3）如图21，若点P在点B右侧，PA的中点为点M，N为PB的三等分点且靠近于点P，当点P在点B的右侧运动时，有两个结论：①的值不变；②的值不变，其中只有一个结论正确，试判断正确的结论，并求出其值．

图21

答案：（1）5；

（2）点P对应的数是-4.5或3.5；

5.如图22，在广场上，一盏路灯挂在一根10 m高的电线杆顶部（电线杆底部记为A），假设把路灯看作是一个点光源，身高1.5 m的女孩在离点A5 m的B处.若女孩绕着电线杆走一个圆圈，那么其人影扫过的是一个图形，求这个图形的面积.

图22

图23

答案：如图23，S为路灯位置，C为女孩顶部，则SA=10，AB=5，BC=1.5，女孩影子为线段BP.以下求解略，环形面积为30.166 m2.

6.某区中小学运动会期间，某校租用两辆小汽车（设速度相同）送8名学生到比赛场地参加运动会，每辆车限坐4人（不包括司机）．其中一辆小汽车在距离比赛场地15 km的地方出现故障，此时离截止进场的时刻还有42分钟．这时唯一可利用的交通工具是另一辆小汽车，且这辆车的平均速度是60 km/h，人步行的速度是5 km/h（上、下车时间忽略不计）．

（1）若小汽车送4名学生到达比赛场地，然后再回到出故障处接其他学生，试通过计算说明他们能否在截止进场的时刻前到达．

（2）试设计一种运送方案，使所有参赛学生能在截止进场的时刻前到达，并通过计算说明方案的可行性．

答案：（1）不能在限定时间内到达会场．

（2）方案1：先将4名学生用车送到会场，另外4名学生同时步行前往会场，汽车到会场后返回到与另外4名学生的相遇处再载他们到会场．用这一方案送这8人到会场共需时间约40.4分钟，40.4＜42.所以他们能在截止进场的时刻前到达．

方案2：8名学生同时出发，4名学生步行，先将另4名学生用车送到离出发点xkm的A处，然后让这4名学生步行前往会场，车回去接应后面步行的4名学生，使他们跟前面4名学生同时到达会场．他们赶到会场所需时间37分钟，所以他们能在截止进场的时刻前到达．

7.如图24，探究以下问题并给予解决.

（1）在图24（1）的正方形ABCD内，画出使∠APB=90°的一个点P，并说明理由．

（2）在图24（2）的正方形ABCD内（含边），画出使∠APB=60°的所有的点P，并说明理由．

（3）如图24（3），现在一块矩形钢板ABCD，AB=4，BC=3．工人师傅想用它裁出两块全等的、面积最大的△APB和△CP′D钢板，且∠APB=∠CP′D=60°．试在图24（3）中画出符合要求的点P和点P′，并求出△APB的面积（结果保留根号）．

图24

答案：（1）如图25，连接AC，BD交于点P，则∠APB=90°．所以点P为所求．

（2）如图26，以AB为边在正方形内作等边△ABP；作△ABP的外接圆⊙O，分别与AD，BC交于点E，F．上的所有点均为所求的点P．

（3）如图27，连接AC.以AB为边作等边△ABE.作等边△ABE的外接圆⊙O，交AC于点P.在AC上截取AP′=CP，则点P，P′为所求.过点B作BG⊥AC，交AC于点G，则，，.所以．

图25

图26

图27

［1］中华人民共和国教育部制定.义务教育数学课程标准（2011年版）［M］.北京：北京师范大学出版社，2012.

［2］康世刚，宋乃庆.论数学素养的内涵及特征［J］.数学通报，2015（03）：8-11，43.

图21

义务教育阶段统计与概率的学习，是过程、思想和观念的学习，目的是让学生体会统计和概率的基本思想.随机观念的培养以及概率意义的理解是个长期的过程，贯穿统计与概率教学的始终.本学段的概率内容还处在一个比较初级的水平，重点是学生求概率的方法仅限于列举法（包括列表法和画树状图法）或用频率估计概率，不要对学生做额外的知识要求（如概率乘法等有关知识）.

在基础知识的复习中，要注意把握重点，控制难度.对于基本概念，应注重其与具体问题的联系，帮助学生理解.概率有关的试题往往联系实际，在解决问题时，要注重阅读能力和建模转化能力的培养.在教学中，要注重解题方法，讲究实效.

总之，中考试题关于“事件的概率”的考查，难度适中，联系实际，稳中求变，适度创新，立足于基础知识、基本技能、基本思想和基本活动经验的考查，加深学生对随机现象的认识，提高学生问题解决的能力，培养学生的应用意识和创新意识.

参考文献：

［1］中华人民共和国教育部制定.义务教育数学课程标准（2011年版）［M］.北京：北京师范大学出版社，2012.

［2］吴增生.用数学发展智慧［M］.南昌：江西教育出版社，2016.

［3］黄邦杰.2015年中考数学试题“事件的概率”专题解题评析［J］.中国数学教育（初中版），2016（3）：34-39.

［4］王瑾，景敏，刘丹，等.2014年中考数学试题“事件的概率”分类解析［J］.中国数学教育（初中版），2015（1/2）：114-123.

［5］张琼，薛红霞.2013年中考数学试题分类解析：统计与概率［J］.中国数学教育（初中版），2014（1/2）：83-104.

［6］贾凤梅，薛红霞.2012年中考数学试题分类解析：统计与概率［J］.中国数学教育（初中版），2013（1/2）：70-84.

2016—11—22

刘永东（1971—），男，中学高级教师，衡阳师范学院客座教授，华南师范大学校外兼职硕士指导教师，中国数学教育杂志特约编辑，主要从事初中数学教材、教法和区域教学研究.