2016年中考“抽样与数据分析”专题解题评析

郭 威，孙东梅，孟祥静

（1.吉林省长春市第八十七中学；2.吉林省教育学院）

2016年中考“抽样与数据分析”专题解题评析

郭 威1，孙东梅1，孟祥静2

（1.吉林省长春市第八十七中学；2.吉林省教育学院）

“抽样与数据分析”需要学生了解在现实生活中有许多问题应当先做调查研究，收集数据，再通过分析体会数据中蕴含着的信息，从而做出判断；了解对于同样的数据可以有多种分析的方法，需要根据具体问题选择合适的方法；通过数据分析体验随机性，体会统计方法的意义，发展数据分析观念，感受随机现象；形成从统计角度分析和解决问题的能力.

中考试题；抽样与数据分析；数据观察；数据分析

数据分析是统计的核心.具有数据分析意识，掌握一些分析数据的方法和模型是现代人的生存之本，也是社会生活的必备素养.近年来考查关于数据分析观念的试题呈现出弱化计算、重视对统计量的意义和统计本质的理解，以及利用数据结果进行评估、预测、决策，更加关注对学生数学基本素养的考查.主要体现在：理解各种统计图表的本质特征及内在联系；从数据中提取信息并进行简单的推断；利用样本提供的有关数据，通过分析和处理对总体做出预测，并能根据统计结果做出合理的判断和决策，从而解决社会生活中的实际问题.本文针对2016年全国各地中考试题中“抽样与数据分析”部分的考查进行归纳总结，供大家参考.

一、关注“抽样与数据分析”的基础知识和基本技能

2016年全国各地中考试题中，对“抽样与数据分析”的基础知识和基本技能的考查主要包括对基本统计量的简单计算、应用及对调查方式的选择.考查统计量简单计算的同时，侧重考查对统计量意义的理解，所选择的问题背景多为学生身边所熟悉的社会热点话题，试题多以选择题和填空题为主.

1.选择恰当的方式收集数据

结合具体问题情境，选择合理的抽样方式是学习统计知识的起点和基础.2016年全国各地中考试题中，抽样方式的考查，多以具有时代背景和教育意义的问题为载体创设问题情境，直接考查普查和抽样调查的概念.

例1（江苏·盐城卷）下列调查中，最适宜采用普查方式的是（ ）.

（A）对我国初中学生视力状况的调查

（B）对量子科学通信卫星上某种零部件的调查

（C）对一批节能灯管使用寿命的调查

（D）对“最强大脑”节目收视率的调查

答案：B.

例2（山西卷）以下问题不适合全面调查的是（ ）.

（A）调查某班学生每周课前预习的时间

（B）调查某中学在职教师的身体健康状况

（C）调查全国中小学生课外阅读情况

（D）调查某校篮球队员的身高

答案：C.

【评析】例1、例2题目背景均为社会热点话题，虽然呈现方式不同，但都是对调查方式的考查.对调查方式的考查，有助于引起教师对统计过程的关注，引导学生经历简单的数据统计全过程，有利于培养学生学数学、用数学的意识.解决此类问题要抓住普查与抽样调查的优、缺点.普查优点是详尽系统，缺点是费时费力，有时具有破坏性；抽样调查优点是简单快速，缺点是有一定的误差率.调查方式的选择需要将普查的局限性和抽样调查的必要性结合起来，具体问题具体分析，普查结果准确，所以在要求精确和难度相对不大、实验无破坏性的情况下应选择普查方式，当考查的对象很多或考查会给被调查对象带来损伤破坏，以及考查经费和时间都非常有限时，普查就受到限制，这时就应选择抽样调查.

2.平均数、众数、中位数和方差

综观近几年全国各地的中考试题，数据的分析和处理逐渐成为中考试题的一个重要考点，平均数、众数、中位数、方差是初中数学统计知识的重要内容.2016年全国各地中考试题中，既考查了统计量的简单计算，同时又侧重于对统计量意义的理解与运用，突出培养学生的数据分析观念.

例3（福建·漳州卷）一次数学考试中，九年级（1）班和（2）班的学生数和平均分如表1所示，则这两班平均成绩为________.

表1

答案：82.6.

例4（海南卷）某班7名女生的体重（单位：kg）分别是35，37，38，40，42，42，74，这组数据的众数是（ ）.

（A）74 （B）44

（C）42 （D）40

答案：C.

例5（湖南·怀化卷）某校进行书法比赛，有39名同学参加预赛，只能有19名同学参加决赛，他们预赛的成绩各不相同，其中一名同学想知道自己能否进入决赛，不仅要了解自己的预赛成绩，还要了解这39名同学预赛成绩的（ ）.

（A）平均数 （B）中位数

（C）方差 （D）众数

答案：B.

例6（河南卷）表2记录了甲、乙、丙、丁四名跳高运动员最近几次选拔赛成绩的平均数与方差.

表2

根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择（ ）.

（A）甲 （B）乙

（C）丙 （D）丁

答案：A.

【评析】例3、例4、例5、例6分别考查平均数、众数、中位数和方差，例3与例6均以表格形式呈现数据，例3考查加权平均数，例6考查平均数与方差的实际意义.例4呈现的是原始数据，考查众数的概念，例5结合实际背景考查中位数的意义.解决此类问题的关键一是能准确从统计图表中获取数据信息，这是正确计算统计量的前提；二是利用统计量来分析比较，并归纳原始数据所蕴含的统计信息；三是要理解几种统计量的特点（平均数的大小与一组数据里的每个数据均有关系，其中任何数据的变化都会引起平均数的变动；众数则着眼于对各数据次数的考查，其大小只与这组数据中的部分数据有关；中位数仅与数据排列位置有关，某些数据的变动对这组数据的中位数影响不大；平均数、众数、中位数这三个集中量标反应集中趋势，而作为差异量标的方差则反应数据的离散程度）.

二、注重借助统计图表，获取、运用数据信息

统计图表是表示数据的重要方法.每一种统计图表都有各自的特点，在实际问题中有不同的应用.2016年全国各地中考统计图表的考法主要表现为：根据统计图表之间的区别与联系，读图获取信息，释图分析数据，按照要求画图来解决问题.让学生经历数据的描述与分析，感受数据整理与表示的必要性.

1.直接从统计图表中读取信息

统计图在初中统计部分内容中占据了较大的篇幅.读图、释图、作图和评图是衡量学生关于统计图理解的四个重要方面.解读统计图表是我们学习统计初步知识的基本要求.2016年全国各地中考试题中，大部分地区都考查了学生读图的能力，即利用统计图获取信息的能力.

例7（四川·南充卷）某校共有40名初中生参加足球兴趣小组，他们的年龄统计情况如图1所示，则这40名学生年龄的中位数是（ ）.

图1

（A）12岁 （B）13岁

（C）14岁 （D）15岁

答案：C.

例8（湖南·邵阳卷）在学校演讲比赛中，10名选手的成绩统计图如图2所示，则这10名选手成绩的众数是（ ）.

图2

（A）95 （B）90

（C）85 （D）80

答案：B.

例9（山东·威海卷）某电脑公司销售部为了定制下个月的销售计划，对20位销售员本月的销售量进行了统计，绘制成如图3所示的统计图，则这20位销售人员本月销售量的平均数、中位数、众数分别是（ ）.

图3

（A）19，20，14

（B）19，20，20

（C）18.4，20，20

（D）18.4，25，20

答案：C.

例10（山东·烟台卷）某射击队要从甲、乙、丙、丁四人中选拔一名选手参赛，在选拔赛中，每人射击10次，然后从他们的成绩平均数（环）及方差两个因素进行分析，甲、乙、丙的成绩分析如表3所示，丁的成绩如图4所示.

表3

图4

根据以上图表信息，参赛选手应选（ ）.

（A）甲 （B）乙

（C）丙 （D）丁

答案：D.

【评析】以上四道例题分别利用条形图、扇形图和折线图呈现数据，重点考查学生从统计图表中获取信息的能力，以及在数据的图象表征和数值表征中是否能真正掌握数据分析的方法.例7利用条形统计图得到各数据的个数，然后找出第20个数和第21个数，再根据中位数定义求解；例8从折线统计图中得到数据最多的个数，由众数的定义得出众数；例9由扇形统计图得到的信息，结合众数、中位数及平均数的定义得出结论；例10从统计表中获取信息得到甲、乙、丙三人成绩的平均数和方差，从散点图中获取丁10次成绩及其成绩稳定程度，经过简单计算得到丁成绩的平均数，由此比较四人成绩的高低和稳定程度并得出结论.解决此类问题首先要关注常见统计图的特点，折线图不仅能刻画某一对象的变化趋势，还能描述某一点的具体数值；扇形统计图反应部分在总体中所占的百分比；频数分布直方图能够显示各组频数分布的情况，并易于显示各组数据之间频数的差别.其次是在理解不同统计图的特点的基础上从统计图中准确获取相关数据，读图、识图成为解题关键.

2.利用统计图表提供的数据，进行计算和判断，解决实际问题

2016年全国各地中考试题中，不仅关注了学生读取统计图表中的信息、利用信息解决问题的能力，同时关注了学生综合运用统计知识解决简单实际问题的能力，对运用比较和综合统计图中的信息来做出推测和判断提出较高要求.

例11（甘肃·白银卷）2016年《政府工作报告》中提出了十大新词汇，为了解同学们对新词汇的关注度，某数学兴趣小组选取其中的A：互联网+政务服务；B：工匠精神；C：光网城市；D：大众旅游时代四个热词在全校学生中进行了抽样调查，要求被调查的每位同学只能从中选择一个我最关注的热词.根据调查结果，该小组绘制了如图5、图6所示的两幅不完整的统计图.

图5

图6

试根据统计图提供的信息，解答下列问题.

（1）本次调查中，一共调查了多少名同学？

（2）条形统计图中，m=______ ，n= ______；

（3）扇形统计图中，热词B所在扇形的圆心角的度数是多少？

答案：（1）因为105÷35%=300，

所以一共调查了300人.

（2）n=300×30%=90（人），m=300-105-90-45=60（人）.

所以在扇形统计图中，热词B所在扇形的圆心角是72°.

例12（黑龙江·大庆卷）为了了解某学校初四年级学生每周平均课外阅读时间的情况，随机抽查了该学校初四年级m名同学，对其每周平均课外阅读时间进行统计，绘制了条形统计图（如图7）和扇形统计图（如图8）.

图7

图8

（1）根据以上信息回答下列问题.

①求m值.

②求扇形统计图中阅读时间为5小时的扇形圆心角的度数.

③补全条形统计图.

（2）直接写出这组数据的众数、中位数，求出这组数据的平均数.

③如图9所示.

图9

例13（广东·茂名卷）为了解茂名某水果批发市场荔枝的销售情况，某部门对该市场的三种荔枝品种A，B，C在6月上半月的销售进行调查统计，绘制成如图10、图11所示的两个统计图（均不完整）.试结合图中的信息，解答下列问题.

（1）该市场6月上半月共销售这三种荔枝多少？

（2）该市场某商场计划六月下半月进货A，B，C三种荔枝共500千克，根据该市场6月上半月的销售情况，求该商场应购进C品种荔枝多少千克比较合理？

图10

图11

答案：（1）120÷30%=400（吨）.

答：该市场6月上半月共销售这三种荔枝400吨；

答：该商场应购进C品种荔枝300千克比较合理.

【评析】这组题目主要考查利用统计图表分析、比较数据，从而得出正确结论.三道题目都是从两种不同的统计图表中获取数据信息，结合实际意义进行计算，解决问题.解决此类问题要先关注两种内容相关的统计图的信息互补，既要精确读图获取数据，又要准确释图分析数据，以此处理信息做出判断.

三、突出统计思想的综合应用

《义务教育数学课程标准（2011年版）》要求学生了解利用数据可以进行统计推断，发展建立数据分析观念；感受随机现象的特点，面对一组数据能够引发的思考，能够推测可能的结果，以及自觉想到运用统计的方法解决有关问题.近几年全国各地的中考试题,都着重考查了学生应用统计的意识，即运用数据分析观念解决问题的能力，根据统计结果做出决策.

1.重视统计方法，用样本估计总体

用样本估计总体是统计学中非常重要的思想，也是统计应用价值的集中体现.数据分析需要借助于各种统计量，一种是刻画一组数据集中趋势的统计量，包括平均数、中位数、众数；另一种是刻画一组数据离散程度的统计量，主要是方差.2016年全国各地中考试题中，对统计量的考查主要表现为根据实际问题考查各统计量的意义、计算，从不同的侧面来选择统计量反映的总体情况，进行分析，做出决策.

例14（吉林·长春卷）某中学为了解该校学生一年的课外阅读量，随机抽取了n名学生进行调查，并将调查结果绘制成如图12所示的条形统计图.根据统计图提供的信息解答下列问题.

（1）求n的值.

（2）根据统计结果，估计该校1100名学生中一年的课外阅读量超过10本的人数.

图12

答案：（1）n=6+33+26+20+15=100.

例15（黑龙江·哈尔滨卷）海静中学开展以“我最喜爱的职业”为主题的调查活动，围绕“在演员、教师、医生、律师、公务员共五类职业中，你最喜爱哪一类（必选且只选一类）？”的问题，在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查，将调查结果整理后绘制成如图13所示的不完整的统计图，试根据图中提供的信息回答下列问题.

（1）本次调查共抽取了多少名学生？

（2）求在被调查的学生中，最喜爱教师职业的人数，并补全条形统计图；

（3）若海静中学共有1500名学生，试估计该中学最喜爱律师职业的学生人数有多少？

图13

答案：（1）12÷20%=60.

答：共调查了60名学生.

（2）60-12-9-6-24=9.

答：最喜爱的教师职业人数为9人.如图14所示.

图14

答：该中学最喜爱律师职业的学生有150名.

例16（湖南·湘西卷）某校为了了解学生家长对孩子用手机的态度问题，随机抽取了100名家长进行问卷调查，每位学生家长只有一份问卷，且每份问卷仅表明一种态度（这100名家长的问卷真实有效），将这100份问卷进行回收整理后，绘制了如图15、图16所示的两幅不完整的统计图.

图15

图16

（1）“从来不管”的问卷有______，在扇形图中“严加干涉”的问卷对应的圆心角为______.

（2）试把条形图补充完整.

（3）若该校共有学生2000名，试估计该校对手机问题“严加干涉”的家长有多少人？

答案：（1）“从来不管”的问卷有100×25%= 25（份），在扇形图中“严加干涉”的问卷对应的圆心角为360°×20%=72°；

（2）由（1）可知“从来不管”的问卷有25份，“严加干涉”的问卷有100-25-55=20份.补全条形图如图17所示.

（3）2000×20%=400（人）.

图17

答：估计该校对手机问题“严加干涉”的家长有400人.

【评析】本组三道题目均是考查各统计量的意义，体现了通过分析样本的数据估计和推测总体，也从不同角度反应抽样调查的必要性和可操作性.例14对学生一年的课外阅读量进行随机抽样，通过对样本数据的分析，估计该校全体学生一年的课外阅读量超过10本的人数；例15不但围绕全校范围内随机抽取部分学生问卷调查进行用样本估计总体，而且要通过对统计量的理解来补全条形统计图；例16解决问题时在进行用样本估计总体的同时也需要理解扇形统计图中扇形面积与其对应的圆心角的关系.解决此类问题要结合具体情境理解、辨析不同统计量的作用，从而对统计量进行合理选择，并正确运用其解决问题.

2.关注统计全过程，借助数据信息做出预测和决策

统计中的各种统计图表是呈现和描述数据较为直观的方式，容易从中了解数据全貌，并面对一组数据进行观察、思考，进而分析数据背后蕴含的信息和规律，推测可能结果.2016年全国各地中考试题中，注重考查学生通过比较和综合统计图中的信息做出判断和预测，对学生的数据分析观念和统计的应用意识提出更高要求.

例17（湖南·岳阳卷）某学校环保志愿者协会对该市城区的空气质量进行调查，从全年365天中随机抽取了80天的空气质量指数（AQI）数据，绘制出如图18、图19、表4所示的三幅不完整的统计图表.试根据图表中提供的信息解答下列问题.

表4

图18

图19

（1）统计表中m=______ ，n= _______.扇形统计图中，空气质量等级为“良”的天数占______；

（2）补全条形统计图，并通过计算估计该市城区全年空气质量等级为“优”和“良”的天数共多少？

（3）据调查，严重污染的2天发生在春节期间，燃放烟花爆竹成为空气污染的一个重要原因，据此，试提出一条合理化建议.

答案：（1）因为m=80×25%=20，n=80-20-44-4-2-2=8，所以空气质量等级为“良”的天数占

（2）估计该市城区全年空气质量等级为“优”和“良”的天数共292天，补全统计图如图20所示.

图20

（3）建议不要燃放烟花爆竹.

例18（江西卷）为了了解家长关注孩子成长方面的状况，学校开展了针对学生家长的“您最关心孩子哪方面成长”的主题调查，调查设置了“健康安全”“日常学习”“习惯养成”“情感品质”四个项目，并随机抽取甲、乙两班共100位学生家长进行调查，根据调查结果，绘制了如图21所示的不完整的条形统计图.

（1）补全条形统计图.

（2）若全校共有3600位学生家长，据此估计，有多少位家长最关心孩子“情感品质”方面的成长？

（3）综合以上主题调查结果，结合自身现状，你更希望得到以上四个项目中哪方面的关注和指导？

图21

答案：（1）乙组关心“情感品质”的家长有100-（18+20+23+17+5+7+4）=6（人），补全条形统计图如图22所示.

图2 2

（2）

答：估计约有360位家长最关心孩子“情感品质”方面的成长.

（3）无确切答案，结合自身情况或条形统计图，言之有理即可.例如，从条形统计图中可以看出，家长对“情感品质”关心不够，可适当关注与指导.

【评析】统计学是研究不确定性的数学，采用归纳思维方式，与确定性数学讲究“对错”不同，其标准以“好坏”论，但是统计问题的解决需要依靠数学中的确定数学.本组题目在问题提出过程中均体现了对这种不确定性的考查，要求学生体会数学在现实生活中的应用，分析、整理数据，对统计结果进行综合分析，给出合理解释，并正确运用其结果给出统计基础上的判断结果，体现统计问题中考命题立意的变化.在解决此类问题时，要通过对确定变量与随机变量、离散型变量与连续型变量进行对比来理解有关统计变量，并将数据视为一个整体找出其共同特征，对此做出定性和定量的统计分析，以此解答此类问题.

四、综合运用“统计与概率”的相关知识

2016年全国各地的中考试题中“抽样与数据分析”部分的考查，增加了一种新的考查方式，即统计与概率的综合问题.

例19（福建·龙岩卷）某中学需在短跑、长跑、跳远、跳高四类体育项目中各选拔一名同学参加市中学生运动会.根据平时成绩，把各项目进入复选的学生情况绘制成如图23所示的不完整的统计图.

图23

（1）参加复选的学生总人数为_______，扇形统计图中短跑项目所对应圆心角的度数为______；

（2）补全条形统计图，并标明数据；

（3）求在跳高项目中男生被选中的概率.

答案：（1）25人，72°；

（2）如图24所示.

图24

例20（湖南·邵阳卷）为了解市民对全市创卫工作的满意程度，某中学数学兴趣小组在全市甲、乙两个区内进行了调查统计，将调查结果分为不满意、一般、满意、非常满意四类，回收、整理好全部问卷后，得到下列不完整的统计图.

图25

试结合图中信息，解决下列问题.

（1）求此次调查中接受调查的人数.

（2）求此次调查中结果为非常满意的人数.

（3）兴趣小组准备从调查结果为不满意的4位市民中随机选择2位进行回访，已知4位市民中有2位来自甲区，另2位来自乙区，试用列表或用画树状图的方法求出选择的市民均来自甲区的概率.

答案：（1）因为满意的有20人，占40%，所以此次调查中接受调查的人数为20÷40%=50（人）.

（2）此次调查中结果为非常满意的人数为50-4-8-20=18（人）.

（3）画树状图，如图26所示.

图26

所以P（选择的市民均来自甲区）=

【评析】本组题目均是2016年全国中考中比较典型的统计试题，是统计与概率的综合问题，均考查利用题干所提供的原始数据，进行数据信息的正确使用和统计方法的正确选择.通过计算，分析发现数据所反映的本质，正确理解统计结果的意义及其所反映的统计含义，从而进行决策和判断，此类问题对统计思想和观念提出了较高的要求.解决此类问题要求对统计的基础知识和基本技能有较系统的整体把握.不仅要求从统计角度理解统计量，正确使用统计量，而且要具备分析数据特征的观察能力和计算反应数据各种定量指标的运算能力，更要具备根据实际背景正确选择各种指标进行分析、释义、判断和决策能力.

五、写在最后

对于统计知识的学习，应重视对统计技能的掌握，在收集数据的过程中，要熟悉统计表和各种统计图的制作方法和各自特点；在应用统计方法解决实际问题的过程中，逐渐形成一种行为的主动性，即形成数据分析观念；利用数据信息，通过计算、观察、分析、甄别，运用数学的思想，发现数据所反映的本质，从而理解统计结果所具有的实际意义，最后做出推测和判断.“抽样与数据分析”这一部分的中考试题越来越多地融入了生活气息，更加贴近生活实际，反映社会热点问题，更多地体现了统计的应用价值，成为学生发展数据建模能力、数据分析能力、数据挖掘能力，掌握数学思想方法的重要渠道，为学生适应社会生活培养必要的数学素养铺路搭桥.

［1］中华人民共和国教育部制定.义务教育数学课程标准（2011年版）［M］.北京：北京师范大学出版社，2012.

［2］李静.数学课程标准（2011年版）的关键词与初中数学教学［M］.上海：华东师范大学出版社，2015.

［3］孟祥静，朱航.全国数学中考考法分析评价报告（2016年版）［M］.长春：东北师范大学出版社，2016.

2016—11—03

郭威（1973—），女，中学一级教师，主要从事教育教学规律，中考命题，中考评价研究.