2016年中考“事件的概率”专题命题分析

2017-03-29吴增生

中国数学教育（初中版） 2017年3期

关键词：法求橘子概率

吴增生

（浙江省仙居县教育局教研室）

2016年中考“事件的概率”专题命题分析

吴增生

（浙江省仙居县教育局教研室）

2016年的中考对事件的概率考查体现了《义务教育数学课程标准（2011年版）》的基本要求：考查随机事件及其概率的意义、简单随机事件的概率计算，以及用频率估计概率及概率的应用.还出现了统计与用列举法求简单随机事件概率融合的试题.2017年本领域的命题趋向是整体稳定，但在数据分析观念的考查上可能会出现创新性的试题，创新点放在“数据的随机性”上，创新题的切入点可能是频率与概率的关系、抽样合理性、数据分析方法和结果的评价三个方面.在复习中要注重基础，让学生领会“数据的随机性”.

中考试题；事件的概率；命题研究

一、考点分析

事件的概率属于统计与概率领域，研究的是随机现象的规律.概率与统计一起，在发展学生的数据分析观念中起着不可或缺的作用.在《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《标准》）中，将数据分析观念解释为：了解现实生活中有许多问题应当先做调查研究，收集数据，通过分析做出判断，体会数据中蕴含着信息；了解对于同样的数据可以有多种分析的方法，需要根据背景选择合适的方法；根据数据分析体验数据分析的随机性.一方面，对于同样事情每次收集到的数据可能不同；另一方面，只要有足够的数据就可能从中发现规律.

从中可知，数据分析观念的基本要求是：（1）体会数据中蕴含着信息；（2）根据问题的背景选择合适的数据分析方法；（3）通过数据分析体验数据随机性.而事件的概率的主要教育价值在于“通过数据分析体验数据的随机性”.例如，一个不透明的袋子里有红球和白球若干（除颜色外没有差别），在看不见袋子中球的数量的情况下，可以采用摸球试验的方法获得数据,基于数据推测袋子里球的情况.袋子中红球和白球的数量是确定的，每次摸出的结果可能是红球也可能是白球，得到的数据是不一样的，但只要摸球试验次数足够多，则可以大致估计出袋子中红球和白球个数的比例，这样的估计结果也有可能出错，但当试验次数足够多时，出现这种例外的可能性比较小.在科学实验中，经常要分析某种因素对结果的影响，虽然在不同的试验中，这个因素对结果的影响程度是不同的，但只要收集到足够的数据，则就可以比较可靠地推断出这一因素对结果的影响水平.

本质上，统计和概率都是研究随机现象的学科，只不过角度不同，统计和估计概率是用基于数据的方法归纳地推断随机现象的规律，而计算概率则是通过理论模型来推断随机现象的规律.简单随机事件（古典概型）中的概率计算属于计算概率，即通过列举一次试验中简单随机事件的所有可能结果和指定事件包含的结果，用指定事件包含的结果数占总结果数的比例来确定指定事件的概率，这时，我们要对简单随机事件的背景（如质地均匀的骰子）了如指掌，并且明确假设（一次试验中出现的结果为有限个，每一种结果发生的可能性相同），给出概率的定义（指定事件包含的结果数占可能的总结果数的比例）.当我们对事件的背景不甚了解时（如抛一枚瓶盖，凹面朝上的概率），我们只能依据数据，参照数据产生的背景给出估计，这就是用频率估计概率.用频率估计概率，是联系统计和概率的桥梁，也是让学生体验“数据的随机性”的良好教育资源.

“通过数据分析体验数据分析的随机性”的具体要求是：了解随机现象和随机事件，知道随机事件在每一次试验中可能发生也可能不发生，但发生的可能性是有大小的，而这种可能性大小可以通过大量独立重复试验获得数据，通过分析事件结果出现的次数与试验的总次数的比值来描述.对于简单随机现象（古典概型——一次试验的结果只有有限个，每一个结果发生的可能性大小相同），可以用列举法列出一次试验中所有可能的结果得到数据，用指定事件包含的结果数与总结果数的比值来刻画指定事件发生可能性的大小；对于非简单随机事件，则需要通过大量重复独立试验来获取数据，通过数据分析，用频率估计概率.设μn是n次独立重复试验中事件A发生的次数，P是每次试验中事件A发生的概率，对于任意给定的ε＞0，，这里就是在n次试验中事件A出现的频率.所以，大量独立重复试验中，频率稳定于概率，不是频率等于概率，也不是频率以概率为极限，而指的是当相互独立的试验次数足够多时，频率偏离概率的可能性越来越小，频率依照概率收敛于概率，即.也就是说，无论试验次数有多大，频率偏离概率的情况还是可能出现的，但只要试验次数足够多，则出现这种情况的可能性就能任意小.

《标准》对事件的概率的具体内容要求是：（1）能通过列表、画树形图等方法列出简单随机事件所有可能的结果，以及指定事件发生的所有可能结果，了解事件的概率.（2）知道通过大量的重复试验，可以用频率来估计概率.

综上所述，事件的概率领域命题时，首先要重视考查《标准》中提出的具体内容的要求，即必然事件、不可能事件、随机事件的意义，列举法求简单随机事件的概率，了解怎样用频率估计概率；其次要重视考查“基于数据推断随机现象规律”的思想方法，考查学生对“数据分析的随机性”的感悟水平.

二、2016年试题命题思路分析

1.2016年全国各地试卷中的数据分析

为了分析2016年全国各地中考试卷中“事件的概率”试题的权重、考试内容、试题类型、试题背景，从全国各地的试卷中抽取了55份试卷进行分析，结果如下.

（1）事件的概率领域在整卷中的平均权重不大.

在抽取的55份试卷中，除了2份试卷没有考查到事件的概率外，其余试卷均考查了事件的概率.事件的概率的平均权重为3.12%，占比不大.试题难度分布主要以简单题和中等难度题为主.

（2）突出重点，重视列举法求概率的考查.

在55份试卷中，绝大多数试卷考查了列举法求概率，也有部分试卷考查了随机事件的意义，3份试卷中考查了用频率估计概率.总的来说，符合《标准》的具体内容目标要求.从2016年试卷中，可以发现出现了一些统计与概率相结合的试题，考查学生综合的数据分析能力和基于数据的推断能力，这可以导向平时教学重视学生数据分析素养的培养，具体如表1所示.

表1：试题考查知识点及题型分布

（3）试题的背景.

数据分析要有背景，数据分析的本质是通过数据分析推断背景的状态.例如，用样本估计总体，根据背景选择合适的数据分析方法（包括选择合适的统计量分析数据，在简单随机现象中根据一次试验的可能结果与指定事件的可能结果关系计算指定事件的概率，用频率估计概率等）.在所抽取的55份试卷中，大多数以实际问题或游戏为背景，也有部分是以数学知识为背景，还出现了结合统计问题考查事件概率的倾向，要求学生在统计分析的基础上用列举法求概率.因为统计问题基本上都具有实际背景，因此数据处理时把这类试题归入到实际背景问题中.事件的概率试题的背景分布如表2所示.

表2：试题类型及背景分布

需要指出的是，分析数据的目的是推测背景的状态，数据分析是为了解决实际背景中的随机问题而采用的思维活动，即便是概率的公理化理论也是用抽象的理论模型研究现实背景中的随机现象，而不是为了解决抽象的数学问题.数据分析与数学推理不同，前者是基于数据的推理，后者是基于抽象概念和命题的推理.

在2016年各地的中考试卷中，出现了一些把事件的概率与代数或几何问题拼凑在一起的试题，如下.

有一枚均匀的正方体骰子，骰子各个面上的点数分别为1，2，3，4，5，6，若任意抛掷一次骰子，朝上的面的点数记为x，计算，则其结果恰为2的概率是（）．

这有悖于概率论研究随机现象的本质，是需要纠正的.

2.典型试题分析——2016年命题的基本走向

（1）重视核心概念的考查.

“事件的概率”领域涉及到的核心概念有：必然事件、随机事件、不可能事件；事件的概率的意义.2016年全国各地的中考试卷中，随机事件的相关概念辨析和概率的意义的辨析，基本上都是以简单的选择题、填空题题型出现的.

例1（浙江·台州卷）质地均匀的骰子六个面分别刻有1～6的点数，掷两次骰子，得到向上一面的两个点数，则下列事件中，发生可能性最大的是（）.

（A）点数都是偶数（B）点数的和为奇数

（C）点数的和小于13 （D）点数的和小于2

【评析】此题中，事件C是必然事件，事件D是不可能事件，事件A、事件B是随机事件，本质上是考查学生对随机事件的意义的理解，知道必然事件发生的可能性最大.

例2（广东·茂名卷）下列事件中，是必然事件的是（）.

（A）两条线段可以组成一个三角形

（B）400人中有两个人的生日在同一天

（C）早上的太阳从西方升起

（D）打开电视机，它正在播放动画片

【评析】此题则是从概念出发考查随机事件的意义的.

（2）着重考查列举法求概率.

用列举法求概率是初中阶段研究的重点概率模型，2016年各地的中考试卷中，既有用简单的选择题和填空题来考查，又有用简单题或中等难度的解答题来考查的.

例3（湖南·湘西卷）在一个不透明的口袋中装有6个红球，2个绿球，这些球除颜色外无其他差别，从这个袋子中随机摸出1个球，摸到红球的概率为（）.

例4（山东·济宁卷）如图1，在4×4正方形网格中，黑色部分的图形构成一个轴对称图形，现在任意选取一个白色的小正方形并涂黑，使黑色部分的图形仍然构成一个轴对称图形的概率是（）.

图1

例5（山东·滨州卷）有5张看上去无差别的卡片，上面分别写着0，π，，，1.333．随机抽取1张，则取出的数是无理数的概率是_______．

【评析】例3、例4是用选择题题型考查列举法求事件的概率，例5则是用填空题题型考查列举法求概率.因为用列举法求概率是一种结论封闭的计算，因此，此类试题用填空题或解答题题型考查可能更合适.解例5的主要障碍是无理数的概念，而不是求概率，这影响试题的效度，而且“看上去无差别”的表述也不够严谨，若改为“有5张相同的卡片，在其一面上写着这5个数.然后把有文字的一面朝下洗匀后，从中随机抽出一张，抽出的牌一面写着无理数的概率是______”，则命题效果也许会更好.

例6（江苏·无锡卷）甲、乙两队进行打乒乓球团体赛，比赛规则规定：

两队之间进行3局比赛，3局比赛必须全部打完，只要赢满2局的队为获胜队，假如甲、乙两队之间每局比赛输赢的机会相同，且甲队已经赢得了第1局比赛，那么甲队最终获胜的概率是多少（试用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）？

例7（山东·威海卷）一个盒子里有标号分别为1，2，3，4，5，6的六个小球，这些小球除标号数字外都相同．

（1）从盒中随机摸出一个小球，求摸到标号数字为奇数的小球的概率；

（2）甲、乙两人用这六个小球玩摸球游戏，规则是：甲从盒子中随机摸出一个小球，记下标号数字后放回盒里，充分摇匀后，乙再从盒子中随机摸出一个小球，并记下标号数字．若两次摸到小球的标号数字同为奇数或同为偶数，则判甲赢；若两次摸到小球的标号数字为一奇一偶，则判乙赢．试用列表法或画树状图的方法说明这个游戏对甲、乙两人是否公平．

【评析】例6和例7属于难度中等的解答题，考查学生用画表格和树形图的方法罗列简单随机事件的所有结果，以及指定事件中包含的结果数，根据古典概率的定义，用推理和计算的方法求事件的概率.

（3）频率与概率的关系的考查.

例8（北京卷）林业部门要考察某种幼树在一定条件下的移植成活率，表3是这种幼树在移植过程中的一组数据.

估计该种幼树在此条件下移植成活的概率为____．

表3

【评析】此题需要学生分析随着试验次数（种树棵数）的增加，幼树成活的频率是怎样变化的，感悟表中的数据中不同的列是不同的，说明在不同的试验中，幼树的移植成活率数据不同，但是，在大量试验中，从这些数据中表现出成活的频率稳定在0.88附近（不是越来越接近），因此，可以估计这种幼树在相同条件下成活的概率为0.88.尽管这种估计可能因为例外情况出现而导致不准确，但是频率偏离概率的可能性不大.而此题妙处在于要求学生自己通过观察发现频率稳定在0.88附近，给出0.88这个概率估计值，这需要学生理解什么是“频率稳定在概率附近”的条件下才能做出正确解答.

（4）统计与概率的整合.

例9（湖南·邵阳卷）为了解市民对全市创卫工作的满意程度，某中学数学兴趣小组在全市甲、乙两个区内进行了调查统计，将调查结果分为不满意、一般、满意、非常满意四类，回收、整理好全部问卷后，得到下列不完整的统计图（如图2）．

图2

结合图中信息，解决下列问题.

（1）求此次调查中接受调查的人数．

（2）求此次调查中结果为非常满意的人数．

（3）兴趣小组准备从调查结果为不满意的4位市民中随机选择2位进行回访，已知4位市民中有2位来自甲区，另2位来自乙区，试用列表或用画树状图的方法求出选择的市民均来自甲区的概率．

例10（山东·烟台卷）网上购物已经成为人们常用的一种购物方式，售后评价特别引人关注，消费者在网店购买某种商品后，对其有“好评”“中评”“差评”三种评价，假设这三种评价是等可能的．

（1）小明对一家网店销售某种商品显示的评价信息进行了统计，并列出了如图3、图4所示的两幅不完整的统计图．

利用图中所提供的信息解决以下问题.

①小明一共统计了______个评价；

②试将图3补充完整；

③图4中“差评”所占的百分比是______；

（2）若甲、乙两名消费者在该网店购买了同一商品，试用列表格或画树状图的方法帮助店主计算两名消费者中至少有一名给“好评”的概率．

图3

图4

【评析】例9和例10是近年来逐渐形成的整合统计和概率类型试题，在考查相关知识的同时，努力尝试考查学生的数据分析观念.但试题中都设计了“不完整的统计图”，有人为造作之嫌，因为任何一次统计活动中不可能画出“不完整的统计图”，而且这种现象在统计试题中出现的频率很高，在今后命题中需要改进.

三、2017年命题趋势及复习建议

与《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》相比，《标准》基本保留了其中的主干内容，削枝强干，把重点放在了用列举法求简单随机事件（古典概型）概率和了解频率与概率的关系这两个方面，让学生通过用概率刻画事件发生可能性大小，进一步体会随机现象及其研究的基本方法.

1.试题考查的重点总体稳定

考查的重点是随机事件及概率的意义，用列举法求简单随机事件的概率，了解在大量独立重复试验中可以用频率估计概率.这是《标准》中内容目标所给定的，因此不会有大的变化.

2.可能的新方向

对“数据分析的观念”考查会进一步深化.在“事件的概率”这一领域中，数据分析观念主要是指“根据数据分析体验数据分析的随机性：一方面，对于同样事情每次收集到的数据可能不同；另一方面，只要有足够的数据就可能从中发现规律”.在今后的命题中，可能会对怎样考查学生“对数据分析的随机性的体会”的命题技术进行创新.

首先，基于频率与概率的关系可以命制探索性的试题；其次，也可以在抽样过程中融入数据随机性观念的考查，如让学生基于“总体中每一个个体被抽到的可能性大小相同”判断几种不同的抽样方案中哪一种最合理；第三，还可以是对数据分析结果的评价，如在若干次测量某圆柱形工件直径得到数据后，让学生选择适当的统计量估计工件的实际直径，最后问学生：这样的估计结果是否随着测量次数的变化而变化？通过数据分析结果的评价、观察，学生是否体会到，一种抽样分析的结论在下一次抽样分析中可能有变化，但是在多次重复抽样分析中会表现出较高的可靠性.“根据数据分析体验数据分析的随机性”可以实现统计与概率的深度自然融合，这是事件的概率这一领域命题创新的基本方向.

3.复习建议

事件的概率这部分内容不多，目标明确，历年考试的题型基本一致，即用简单的选择题或填空题考查随机事件的概念及概率的意义；重点考查用列举法求简单随机事件的（古典概型）的概率，这可以根据需要以不同的题型出现.而重视数据分析观念的考查，是今后命题创新的基本方向.因此，在复习教学中，首先要通过具体实例让学生领会随机事件的相关概念（必然事件、随机事件、不可能事件），知道随机事件在某次试验中既可能发生又可能不发生，且发生的可能性有大小，概率是用来刻画随机事件发生可能性大小的一种度量.其次，要让学生在理解简单随机事件两个条件的基础上理解其概率的意义，并通过适当的训练形成用列举法求事件概率的基本技能.第三，重视频率与概率关系的体验式学习活动教学设计，让学生在具体背景中理解什么是“频率稳定于概率附近”.

四、模拟试题

1.骰子的六个面上分别标有1～6中的一个数字，掷两枚质地均匀的骰子，分别得到朝上一面的一个数字.下列事件是随机事件的是（）.

（A）得到的两个数字之和小于13

（B）得到的两个数字之和等于1

（C）得到的两个数字之和是奇数或偶数

（D）得到的两个数字之和是3的倍数

答案：D.

2.下列事件中，发生可能性最大的是（）.

（A）抛两次均匀的硬币，都是国徽图案一面朝上

（B）抛两次均匀的硬币，都是国徽图案一面朝下

（C）抛两次硬币，至少有一次国徽图案朝上

（D）抛两次硬币，国徽图案一面一次朝上，一次朝下

答案：C.

3.为了解学生在课外活动中喜欢篮球、足球、乒乓球、围棋、羽毛球、跳绳这六项体育活动中的哪些项目，拟采用抽样调查方式，你认为下列抽样方式中最合理的是（）.

（A）在七年级随机抽取50名女生进行问卷调查

（B）在八年级随机抽取50名男生进行问卷调查

（C）在七、八、九年级各指定一个班级进行问卷调查

（D）在全校学生中根据学籍号随机抽取50名学生进行问卷调查

答案：D.

4.某班级同学在课外进行了不同次数的摸球试验（袋子里有红、白两种只有颜色不同的球），每次摸出球后都把球放回，摇匀后再进行下一次摸球.表4是该班8个小组的摸球结果.

表4

如果袋子里共有10个球，试估计一下袋子里的白球数目大致是_________，你觉得你的估计一定正确吗？

答案：4个，估计不一定正确，只是很可能有4个白球.

5.小明测量一个圆柱体工件的直径得到以下10个数值（单位：cm）.

8.03 7.92 7.95 7.98 7.98

7.98 7.93 7.94 8.05 8.03

如果要取其中一个数据作为工件直径的估计值，则该估计值是__________，理由是___________.

答案：7.98，因为10次测量中得到结果是7.98的频率最大，为0.3，根据频率估计概率，随机从这10个数据中选择一个数据，7.98被选到的概率最大，因此选择7.98作为工件直径最可靠.

6.历史上，有些人曾经做过成千上万次的抛硬币试验，结果如表5所示.

表5

（1）根据频率估计概率的方法，你认为抛一枚硬币，正面向上的概率是多少？

（2）用简单随机事件概率的意义算一算，得到的结果与（1）中估计的结果一致吗？

答案：（1）0.5.

（2）一枚均匀的硬币，抛一次只有两种可能，正面向上或背面向上，而且这两种结果出现的可能性相同，根据简单随机事件概率的定义，可得这与上述用频率估计概率得到的结果相一致.

7.在如图5所示的电路中，有A，B，C，D四个开关，随机闭合三个开关，灯泡亮起的概率是多少（试用树形图或列表法列出所有可能结果并进行计算）？

图5

答案：画出树形图如图6所示.

图6

8.某水果批发公司用2元/kg的价格进来1 000箱橘子，每箱10 kg.由于进来的水果都有损耗，所以真正可以出售的水果不到10 000 kg.如果该公司希望这批橘子销售能获得5 000元毛利润，应该把销售价格定为多少？为了解决这个问题，首先要估计这10000 kg橘子中除去损耗后剩下多少橘子可以销售，因此需要估计损耗的橘子是多少.为此，该公司进行了抽样调查.

（1）有如下两种抽样方案，为了使每一箱橘子被抽到的概率相等，你认为哪一种比较合适？

①从仓库中最方便处打开若干箱进行逐个检查.

②把这批橘子每箱从1～1000编号，用电脑随机选择若干号码，打开相应的箱子进行逐个检查.

（2）该公司用合理的方式抽取了20箱橘子进行逐个检查，并在表6中记录了每个被抽查到的箱子里橘子的损耗情况.