基于学生默会知识的初中数学概念教学

张娟萍

（浙江省杭州市清泰实验学校）

基于学生默会知识的初中数学概念教学

张娟萍

（浙江省杭州市清泰实验学校）

概念教学中通过创造情境启发学生默会知识，由学生亲身经历概念形成的思维过程：抽取情境材料的本质属性，提出相关假设，检验假设，用符号语言表述概念.

默会知识；数学概念；概念教学

当前数学教学中，普遍重解题技巧轻概念生成，通常采用“一个定义、几项注意、反复练习”的方式进行，这导致了学生不理解概念的形成过程，死记硬背，机械模仿，一旦遇到新的情况就束手无策.由于学生不理解概念的内涵和外延，学习的内容都是散点，难以建立知识网络，学习负担更重.

实际上，教材呈现的概念经过了教学加工，它隐去了数学家曲折的抽象过程.只有学生亲身经历数学家的思考历程，自主探究概念在现实世界中的模型及形成过程，并用自己的语言表述概念，才能得到概念，并对概念及探究有亲切感和成就感，而这就是基于学生的默会认识.所谓默会知识，是一种常用却又不直接通过语言、符号清晰表达或传递的知识.相对于明确知识，其特点是：只能在实践行动中展现、被意会；强调实践参与，凸显人的认知主体性.当学生首次接触一个概念时，其实已有相应的默会知识，探索概念的任务驱动下，他会自觉搜索、联想自身的默会知识和经验，使新的知识在头脑中复活.

一、概念情境引入，启动默会知识

默会知识是对情境的一种直觉综合，具有显著的“情境性”.因此，要设计相关情境与学生已经拥有的前概念（以默会知识的形式隐含在头脑中）建立联系，以启动学生默会知识，激发其进入积极的思维状态.例如，“圆”的引入.学生对圆的默会知识是：生活中圆的形状，包含圆周及圆面.所以从学生生活实际体验设计情境：播放骑圆形轮子和三角形轮子的自行车动画，要求学生思考：三角形自行车为什么骑不动？利用圆形自行车轮与三角形车轮对比，探索“骑不动”的原因，引发学生搜索“圆与三角形”特征的默会经验.

1.从解决实际问题引入

引入学生熟悉的、亲身感受的生活经验，让学生经历、体验“从现实事物，到事物的本质（数和量）特征，再到数学概念的定义”的创造过程．

（1）基于生活经验，提供现实原型.

通过感性材料，引导学生提炼数学概念的本质属性.例如，教学“数轴”概念，引入横放的温度计，启发学生用直线上的点表示数.通过生活情境，启发学生对比默会知识与概念本质属性，让学生去“经历”发现概念的过程.

（2）实验情境，直观演示.

通过动手操作等实践，也包括观察、比较、体验等各种心智活动，体会概念特征.例如，关于“圆”的概念教学，让学生操作“用一段绳子画圆”，学生从中体验到定点、定长等本质元素.

（3）还原概念“进化”背景.

一个完美的数学概念是数学发展史中长期自然、合理“进化”的结果.例如，《九章算术》的内容，以解决人们生产、生活中的数学问题为背景：在“已知面积、体积，求其径长”的情况下介绍了开平方、开立方；用衰分术解决赋役的问题，得到正、反比例概念.教师在教学过程中应有意识地还原概念形成的原始背景，促进学生形成默会经验，用自己的方法“发现、猜想、证明”概念.

2.从已有知识的基础引入

数学知识是以概念为基础的强大演绎体系，很多概念之间都有着密切的逻辑联系.所以，对原有认知结构有逻辑关联的概念，可以通过逻辑演绎过程同化概念.其引入方式，取决于新、旧概念之间的关系.

（1）新概念是旧概念的属概念.

在旧概念基础上添加新的属性，如给出一组反映已知概念的、能够体现新概念本质属性的肯定事例，让学生通过对比、辨析和概括这些事例与其他事例不同的性质，清晰头脑中新概念的表象.

（2）新概念是旧概念的种概念.

在具体概念基础上学习高层次概念，其引入可以提供一些具体的、特殊的材料，学生已有知识不能支撑对所给材料的合理解释，促使学生“再创造”，从而激发学生自主建构新的概念.

（3）新、旧概念之间具有某种相似关系.

其引入需要运用类比或对比的方法，区分它们之间的异同.例如，类比分数的运算法则，引出分式运算法则；类比方程引出不等式等.

另外，基于“先行组织”的经验.例如，回忆研究“三角形”从定义、表示、元素（边、角、三线）、性质（从边、角、三线的位置、数量关系，面积、周长等角度）、图形关系（全等、相似、对称）、特殊图形（等腰、直角三角形）等方面展开，从而确定四边形的研究内容和方法.学生在经历概念的研究过程中，理清几何研究的一般方式.

3.从概念形成结构引入

一般而言，研究一个概念的基本结构是：引入、概念、性质、联系、应用.例如，研究有理数：由现实背景引入；概括有理数定义；用符号、图形表示有理数；根据分类标准对有理数进行分类；研究有理数性质等.

也可以根据知识的逻辑结构引入，如整式的乘法教学，按顺序：同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方、单项式的乘法、单项式乘多项式、多项式乘多项式、乘法公式.

二、概念抽象中应用默会经验

概念教学的核心是概括.在经历观察、分析实例后，要求学生概括和描述概念的本质属性、用自己的语言来表述概念.

例如，关于圆的概念的教学中，要求学生操作实践后用自己的语言来描述圆的概念.面对这个任务，学生需要搜索以前描述概念的经验，对照圆的两个本质元素“圆心和半径”进行表述.

学生用自己的语言表述概念时，可能存在语言不够精炼、准确的情况，可在同伴举出正、反例证的澄清过程中得以修正和完善.在用自己的语言来表达概念（思维成果）的过程中，学生默会认知与概念的特征建立实质性联系，对照、提取概念的本质，然后用明确知识的语言、公式、图表等表达，促进默会知识的显性化.在学生经历概念形成的过程、参与新概念与默会知识之间的互动中，形成了使用默会知识的经验.

学生“表达”就需要有人倾听和反馈评价，课堂有限的时间内无法让每个人在全班表达，所以小组合作是最主要的途径.学生用自己的语言描述概念，在小组内氛围相对宽松，有利于激活个体的默会思维因素，同时也激励学生合作中发挥内隐学习机制的作用.

三、概念例证辨析，更新默会知识

学生初步建立了新概念，但认知结构还不稳定，形成的默会知识不清晰，需要用正例和反例对概念进行辨析.用明确知识的语言、符号来引导和表征学生默会的知识，以理清默会知识中概念的边界，从而内化并拓展为新的默会知识.

1.通过变式辨析

辨别概念内涵与外延，摆脱具体情境、非本质属性对概念本质的干扰.

2.通过否定例证辨析

肯定例证提供了有利于概括概念的关键特征，而否定例证能够促进学生对概念外延的区分.

3.通过比较辨析

对于近似的概念，学生常常容易混淆.这就要对概念加以分析、比较，使学生既看到概念的内在联系，又看到它们的本质区别.

例如，“三角形的概念”教学，很多学生对三角形的默会知识是“有三条边、三个角”的图形，这给三角形概念的建构带来了负面影响，如果让学生说过程，将各类错例呈现出来，当学生的表达不周密时，其他学生会用反例来加以否定，通过对比找出表达的漏洞，使概念逼近本质.“说”的过程是默会知识显性化的过程，比“画”更有利，因为就算学生能“画”三角形，但“说”往往漏洞百出，自以为说得很清楚了，但随着其他学生的质疑，不断调控思维逐渐趋于周密，从而领悟概念、表达严谨.学生在不断的纠正中，得到三角形概念，是一个再创造的过程.

4.通过实践检验辨析概念

例如，“概率统计”的教学片断.

由学生投硬币，将试验次数和正面朝上的次数填入表1.

表1

师：在相同条件下，“正面朝上”的概率是多少？请表达思考的经过及理由.

生1：正反各半，而表格中正好有0.5.

生2：是0.48，因为它的实验次数最多.

生3：应该是这四个数值的平均数.反映数据的平均水平.

师：根据什么来辨析选哪个数值呢？

生4：根据概念.在相同条件下，当重复试验的次数大量增加时，事件发生的频率就稳定在相应的概率附近.因此，实验次数越多，估计越准确，所以我们应该选0.48这个数值.

【点评】学生一些默会知识其实是模糊的，付诸于明确知识表达、相互质疑和交流，进一步澄清频率作为概率估计值的统计学意义.同时更新了原有的默会经验.

四、概念变式和应用，提升默会能力

在应用概念解决实际问题时，这种默会的或内隐的过程如何发生、怎样促进呢？

首先让学生独立思考，使学生置身于问题实际情境的任务中，学生必然会自觉搜索相应概念的默会认知.默会认知首先反映在“直觉”，在任务驱动的状态下，必须依赖于身体的辅助意识，内隐地对照和比较概念特征，辨析和转换情境的关键点，进行一系列的思维加工过程.

例如，在概念应用中，首先，让学生独立思考，获得原始的思维和体验.个体经过自己努力，会对研究内容有感情和责任意识，这种责任感极大地调动了默会知识的主体意识.其次，学生自主思考时，会自发产生讨论，这时引进小组合作，在组内暴露自己遇到的疑惑和挫折，交流、评价和论证，促进思维共享.第三，教师适时指导.教师要了解学生默会知识和能力，并设计机会让学生表达.

由学生说“过程”促进学生借助于明确知识的符号和语言来表达默会知识，并用明确知识的逻辑方式指导操作默会知识，从而对默会知识进行加工.学生暴露的不仅是“成功”的过程，同时也要展示“挫折”的过程，以及从“挫折”到“成功”的调控过程，还有提炼一般方法、分享经验.在此过程中提升默会能力.

五、概念系统化，发展默会认知潜能

总结、反思概念学习的内容及研究方法，促进默会认识机制完善.数学概念多，需分散在每节课中学，而概念间的逻辑性是很强的.因此，在总结阶段，要引导学生抓住概念的内在联系，整合所学概念，纳入到已有概念框架，形成概念的新的默会知识体系.根据新、旧概念内在的联系，连点串线，建立科学的概念网络体系.形成概念域和概念体系，完善默会认知结构.

数学概念的教学是一个反复多次、螺旋上升的过程.在实践情境中，任务驱动主体提取相关的默会知识和经验，通过明确知识的语言和符号表征，使难以言说的默会知识显性化，从而让内隐学习在语言层面下变得可控和有规则可循，用明确知识的策略指导学生对自身的经验不断重组，发挥默会认知潜能.

［1］赵绪昌.数学概念教学：原则与策略［J］.教育研究与评论·中学教育教学（学科教育），2015（9）：35-37.

［2］迈克尔·波拉尼.个人知识——迈向后批判哲学［M］.许泽民，译.贵阳：贵州人民出版社，2000.

［3］张娟萍.初中数学教学环节出声思考的策略［J］.人大复印报刊资料初中数学教与学，2011（8）：25-27.

2016—12—25

张娟萍（1972—），女，中学高级教师，主要从事数学思维研究.