2016年中考“抽样与数据分析”专题命题分析

2017-03-29崔英发孟祥静

中国数学教育（初中版） 2017年3期

关键词：统计图表客运量统计图

崔英发，孟祥静

（吉林省长春市第一○四中学校；吉林省教育学院）

2016年中考“抽样与数据分析”专题命题分析

崔英发，孟祥静

（吉林省长春市第一○四中学校；吉林省教育学院）

“抽样与数据分析”的内容包括：做调查研究，收集数据，通过分析做出判断，体会数据中蕴含着信息；了解对于同样的数据可以有多种分析方法，需要根据问题的背景选择合适的方法，通过数据分析体验随机性.2016年全国各地的中考试题，既关注了对“抽样与数据分析”基础知识和基本技能的考查，更加关注对学生如何面对数据，利用数据进行说理或决策能力的考查，体现对学生基本素养的关注.

数据分析；数学素养；统计图表；试题评析

一、考点分析

“抽样与数据分析”内容围绕如何收集、整理、描述和分析数据展开.初中阶段“抽样与数据分析”的主要内容分为三部分：一是数据的收集与表示，主要考查选择合适的调查方式进行数据收集，用合适的统计图表表示数据，解决简单的实际问题；二是数据的整理与初步处理，主要考查一组数据的平均数、中位数、众数、方差的计算，以及选择合适的统计量描述数据的集中程度和离散程度；三是借助调查做出决策，主要考查用样本估计总体的重要思想，以及用数据说理，解决实际问题的能力.

“抽样与数据分析”与其他初中数学课程内容有所不同，它往往与现实生活相联系，多以归纳推理和合情推理为主，注重对各种统计图表和统计量的合理使用，从而为统计决策提供科学依据.这些内容特点与现代社会对普通公民数据理解和分析能力的基本要求相一致.因此，“抽样与数据分析”内容具有较为重要的现实价值.

二、考点扫描

2016年全国各地中考试题对于“抽样与数据分析”的考查，除注重考查基础知识外，更加注重结合现实背景考查数据分析观念.通过对数据的收集、整理、描述和分析，做出合理的判断和决策，应用统计知识分析数据，解决实际问题，凸显了统计的应用价值.

考点1：数据的收集

普查和抽样调查是收集数据的主要方法.2016年全国各地中考试题对数据收集的考查，多以实际问题为背景，直接考查学生对普查和抽样调查的理解.

例1（山西卷）以下问题不适合全面调查的是（）.

（A）调查某班学生每周课前预习的时间

（B）调查某中学在职教师的身体健康状况

（C）调查全国中小学生课外阅读情况

（D）调查某校篮球队员的身高

答案：C.

例2（重庆卷）下列调查中，最适合采用全面调查（普查）方式的是（）.

（A）对重庆市辖区内长江流域水质情况的调查

（B）对乘坐飞机的旅客是否携带违禁物品的调查

（C）对一个社区每天丢弃塑料袋数量的调查

（D）对重庆电视台“天天630”栏目收视率的调查

答案：B.

【评析】运用合理的抽样方式收集数据是统计的核心内容.例1和例2都属于基础题，结合实际情境，考查学生对普查和抽样调查的理解.两道题目都用了选择题题型，通过设置不同的解决问题的方法，能有效地考查学生对调查方式的理解水平，考查学生直接运用知识解决问题的能力，简单处见灵活，具有较高的效度和信度.

考点2：数据的表示

数据的表示多借助于各种统计图表，初中阶段主要涉及到条形统计图、折线统计图、扇形统计图、频数分布直方图等，每一种统计图表都有各自的特点，在实际问题中都有不同的应用.2016年全国各地中考试题对数据的表示的考查，主要表现为：根据实际背景的需要选择合适的统计图表表示数据，考查对各统计图表特征的理解；根据统计图表之间的相互区别与联系，通过观察、比较、分析等方式考查读图、释图和画图的能力.

例3（浙江·温州卷）如图1，是九（1）班45名同学每周课外阅读时间的频数直方图（每组含前一个边界值，不含后一个边界值）.由图可知，人数最多的一组是（）.

图1

（A）2～4小时（B）4～6小时

（C）6～8小时（D）8～10小时

答案：B.

【评析】统计图表是数据表示的主要载体.了解不同统计图的特征，从中准确获取信息，是进行数据分析的关键.此题直接考查了从频数分布直方图中获得数据，并判断出人数最多的一组，设计较为自然合理.读懂统计图表，从不同的统计图表中得到必要的信息是解决问题的关键.

例4（四川·内江卷）某学校为了增强学生体质，决定开放以下体育课外活动项目，A：篮球；B：乒乓球；C：跳绳；D：踢毽子.为了解学生最喜欢哪一种活动项目，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成了两幅不完整的统计图（如图2、图3），试回答下列问题.

（1）这次被调查的学生人数共有_______；

（2）试将条形统计图补充完整；

（3）在平时的乒乓球项目训练中，甲、乙、丙、丁四人表现优秀，现决定从这四名学生中任选两名参加乒乓球比赛，求恰好选中甲、乙两位学生的概率（用树状图或列表法解答）.

图2

图3

答案：（1）由扇形统计图可知，扇形A的圆心角是36°.

由条形图可知，喜欢A项目的人数有20人.

所以被调查的学生共有20÷10%＝200（人）.

（2）喜欢C项目的人数为200－（20＋80＋40）＝60（人）.

因此在条形图中补画高度为60的长方条，如图4所示.

图4

（3）画树状图如图5所示.

图5

或者列表如表1所示.

表1

从树状图或表格中可知，从四名学生中任选两名共有12种结果，每种结果出现的可能性相等，其中选中甲、乙两位学生（记为事件A）有2种结果，所以

【评析】此题的设计体现了鲜明的考法特点：题目的综合性较强，既考查了读图、释图和画图能力，同时还涉及到画树状图或列表求随机事件的概率；题目呈现形式简洁，问题背景为学生所熟悉，有利于学生的发挥，因而具有较好的信度和效度.

例5（河南卷）在一次社会调查活动中，小华收集到某“健步走运动”团队中20名成员一天行走的步数，记录如下：

对这20个数据按组距1 000进行分组，并统计整理，绘制了如图6、表2所示的尚不完整的统计图表.

表2：步数分组统计表

图6

试根据以上信息解答下列问题：

（1）填空：m= ______，n= _______；

（2）补全频数分布直方图；

（3）这20名“健步走运动”团队成员一天行走步数的中位数落在_______；

（4）若该团队共有120人，估计其中一天行走步数不少于7500步的人数.

答案：（1）m=4，n=1.

（2）如图7所示.

图7

（3）行走步数的中位数落在B组；

答：估计一天行走步数不少于7 500步的人数是48人.

【评析】此题结合学生熟悉的现实背景，通过样本选取、数据收集、数据表示、数据分析和得出结论的整个过程，考查学生的统计观念和对数据分析过程的理解，再现了统计调查的全过程，能让学生在解答问题的同时感悟统计的应用价值.

考点3：数据的分析

统计量是进行数据分析的重要依据.其中平均数、中位数和众数刻画了一组数据的集中趋势，方差、标准差刻画了一组数据的离散程度.2016年全国各地中考试题对统计量的考查主要表现为：直接考查各统计量的运算；根据实际问题，考查各统计量的意义；借助各统计量的计算和分析做出决策.

例6（广西·南宁卷）某校规定学生的学期数学成绩满分为100分，其中研究性学习成绩占40%，期末卷面成绩占60%，小明的两项成绩（百分制）依次是80分，90分，则小明这学期的数学成绩是（）.

（A）80分（B）82分

（C）84分（D）86分

答案：D.

【评析】此题直接考查学生对统计量意义的理解.以学生熟悉的计算学期成绩为背景，直接考查加权平均数的意义和计算.以选择题的形式直接考查统计量的计算，属于基础题.

例7（河南卷）如表3，记录了甲、乙、丙、丁四名跳高运动员最近几次选拔赛成绩的平均数与方差.

表3

根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择（）.

（A）甲（B）乙（C）丙（D）丁

答案：A.

【评析】题目考查统计量的合理选择和恰当运用，要求学生能结合具体情境辨析不同统计量的作用，从而选择恰当的统计量解决问题.此题考查了平均数和方差的意义.题目的背景清晰简洁，方便学生阅读理解，与单纯考查统计量的计算相比较，这样的考法更能考查出学生对统计量意义的理解，有较高的信度和效度.

考点4：数据的价值

发展数据分析观念是初中阶段统计学习的主要目标.要求学生面对一组数据能够引发思考，推测可能的结果，自觉运用统计的方法解决问题.近几年全国各地的中考试题,都着重考查了通过数据分析解决问题的应用意识.

例8（湖北·黄石卷）黄石农科所在相同条件下经试验发现蚕豆种子的发芽率为97.1%，试估计黄石地区1000斤蚕豆种子中不能发芽的大约有（）.

（A）971斤（B）129斤

（C）97.1斤（D）29斤

答案：D.

【评析】“用样本估计总体”是统计的重要思想.题目反映了抽样调查的必要性和可操作性，体现了通过分析样本的数据来估计总体，从而考查分析问题、解决问题的能力.此题以蚕豆种子的发芽率为背景，直接考查用样本估计总体.对“用样本估计总体”这一统计思想的考查已经成为当前中考命题的热点题型，具有一定的推广价值.

例9（山东·青岛卷）甲、乙两名队员参加射击训练，成绩分别被制成如图8、图9所示的两个统计图.

图8

图9

根据以上信息，整理分析数据如表4所示.

表4

（1）写出表格中a，b，c的值；

（2）分别运用表中的四个统计量，简要分析这两名队员的射击训练成绩.若选派其中一名参赛，你认为应选哪名队员？

（2）从平均成绩看甲、乙二人的成绩相等均为7环，从中位数看甲射中7环以上的次数小于乙，从众数看甲射中7环的次数最多，而乙射中8环的次数最多，从方差看甲的成绩比乙的成绩稳定.

综合以上各因素，若选派一名学生参加比赛的话，可选择乙参赛，因为乙获得高分的可能更大.

【评析】统计的核心目标是发展数据分析观念，能从统计的角度思考与数据信息有关的问题，通过收集、描述、分析数据做出合理的决策，认识到统计对决策的作用.题目借助于各统计量的特征，考查了合理做出决策的能力.通过分析数据做出决策，凸显了统计的应用价值.

三、近年来统计考法的对比分析

数据分析是统计的本质，《义务教育数学课程标准（2011年版）》对统计的要求没有明显变化，培养学生的数据分析观念仍是统计教学的核心内容.近几年中考对于统计知识的考查非常注重统计知识在实际问题中的应用，而不只是单纯的计算或绘图.2016年全国各地中考试题中对统计部分的考查与近几年相比，呈现出了较高的稳定性，考查内容、试题形式没有较大变化，继续突出了对统计的基础知识和基本技能的考查，对从统计图中获取信息做出判断和决策，提出了较高的要求，更加贴近生活.突出了对数据分析观念的考查.

例10（江苏·淮安卷）为了丰富同学们的课余生活，某学校举行“亲近大自然”户外活动，现随机抽取了部分学生进行主题为“你最想去的景点？”的问卷调查，要求学生只能从“A（植物园），B（花卉园），C（湿地公园），D（森林公园）”四个景点中选择一项，根据调查结果，绘制了如图10、图11所示的两幅不完整的统计图.

图10

图11

试解答下列问题：

（1）本次调查的样本容量是_____；

（2）补全条形统计图；

（3）若该学校共有3 600名学生，试估计该校最想去湿地公园的学生人数.

答案：（1）本次调查的样本容量是15÷25%=60；

（2）选择C的人数为60-15-10-12=23（人），补全条形图如图12所示.

图12

答：估计该校最想去湿地公园的学生人数约有1380人.

【评析】此题是近几年中考中比较常见的典型的统计试题，2016年在考查内容和试题形式上基本延续了2014年、2015年的考法.题目通过将数据表示为条形统计图和扇形统计图的双图互补来设置问题，重点考查了读图、释图、画图的能力，以及利用样本估计总体的思想.体现了对初中阶段统计的核心知识的考查.

例11（吉林·长春卷）某中学为了解该校学生一年的课外阅读量，随机抽取了n名学生进行调查，并将调查结果绘制成如图13所示的条形统计图，根据统计图提供的信息解答下列问题.

图13

（1）求n的值；

（2）根据统计结果，估计该校1100名学生中一年的课外阅读量超过10本的人数.

答案：（1）根据题意，得n=6+33+26+20+ 15=100.

答：n的值为100.

答：估计该校1100名学生中一年的课外阅读量超过10本的人数为385人.

【评析】题目充分地体现了命题立意围绕着数据分析观念.其亮点之处是改变了传统的“补图”的考法模式，给出了完整的统计图，直接考查学生从完整统计图中获取数据信息，并应用这些数据做决策的能力，尤其关注了统计的应用价值.“抽样与数据分析”这部分内容重在培养学生的数据分析观念，注重统计的全过程和统计思想，而不是仅仅关注补图与计算.题目在设计时首先给出了调查问卷的具体内容，目的在于突出数据的收集的重要性，要想能用样本更恰当地反映总体，数据要具有代表性，怎样实现这一目的，调查问卷设计得必须合理；然后借助于条形统计图表述数据，考查读图、释图的能力；最后考查了“用样本估计总体”的能力.

四、编拟试题

1.某个公司有15名工作人员，他们的月工资情况如表5所示.则该公司所有工作人员的月工资的平均数、中位数和众数分别是（）.

表5

（A）520，2000，2000

（B）2600，800，800

（C）1240，2000，800

（D）1240，800，800

2.甲、乙两个学习小组各有4名同学，在某次测验中，他们的得分如表6所示.

表6

3.图14是某市10月1日至7日一周内“日平均气温变化统计图”.在这组数据中，众数和中位数分别是（）.

（A）13，13 （B）14，14

（C）13，14 （D）14，13

图14

4.手机悦动圈是记录步行数和热量消耗数的工具，表7是孙老师用手机悦动圈连续记录的一周当中，每天的步行数和卡路里消耗数（热量消耗，单位：大卡）.

表7

孙老师发现每天步行数和卡路里消耗数近似成正比例关系.孙老师想使自己的卡路里消耗数达到300大卡，预估他一天步行约为_______（直接写出结果，精确到个位）.

5.在“全民读书月”活动中，小明调查了班级里40名同学本学期计划购买课外书的花费情况，并将结果绘制成如图15所示的条形统计图.根据相关信息，解答下列问题.

（1）这次调查获取的样本数据的众数是_______.

（2）这次调查获取的样本数据的中位数是_____.

（3）根据样本数据，估计该校1 200名学生中本学期计划购买课外书花费50元的学生人数.

图15

6.某学校为了加强学生的体育锻炼，开展了足球、篮球、排球和其他体育活动项目，每名同学只参加一项运动.该校学生会从全校学生中随机抽取了部分学生，对这些学生参加体育活动项目的情况进行了统计，并绘制了如图16、图17所示的两幅不完整的统计图.

（1）求学生会抽取的部分学生人数.

（2）此次抽取的部分学生中参加排球项目的人数为________，并补全条形统计图.（3）若该校共有学生800人，估计该校参加篮球项目的学生比参加排球项目的学生多的人数.

7.某中学准备搬迁新校舍，在迁入新校舍之前，同学们就该校学生如何到校问题进行了一次调查，并将调查结果制成了如表8、图18、图19所示的表格、条形统计图和扇形统计图（不完整），试根据图表信息完成下列各题.

表8

图18

图19

（1）此次共调查了多少名学生？

（2）将表格填充完整；

（3）将条形统计图和扇形统计图补充完整.

8.阅读下面材料：

春节是中国最重要的传统佳节，而为期40天的春运被称为“人类规模最大的周期性迁徙”.

2016年春运40天，全国铁路客运量3.25亿人次，同比增长10.2%；全国公路客运量24.95亿人次，同比增长3%；水路客运量4260万人次，同比下降0.6%；民航客运量5 140万人次，同比增长4.7%.2016年春运在正月初七达到最高峰，铁路春运再创单日旅客发送人数新高，达到1034.4万人次.

2015年春运40天，全国铁路客运量2.95亿人次，同比增幅10.4%.全国公路客运量24.22亿人次，水路客运量4284万人次，民航客运量4914万人次.

2014年春运40天，全国公路客运量32.6亿人次；民航客运量4 407万人次；全国铁路客运量2.66亿人次，增长约12%.其中，2月6日全国铁路客运量达到835.7万人次，比2013年春运最高峰日多发送93.1万人次.

根据以上材料解答下列问题：

（1）2016年春运40天全国民航客运量比2014年多_______；

（2）试选择统计表或统计图，将2014～2016年春运40天全国铁路、公路客运量表示出来.

9.“PM2.5”是指大气中危害健康的直径小于2.5微米的颗粒物，也称可入肺颗粒物.公众对于大气环境质量越来越关注，某市为了了解市民对于“PM2.5浓度升高时，对于户外活动的影响”的态度，随机抽取了部分市民进行调查.根据调查的相关数据，绘制的统计图表如图20、图21、表9所示.