数学推理，从经验理解到智慧实施

李菁

[摘 要] 初中数学教学中，把对数学推理的理解从狭隘的解题运用经验层面，拓宽到数学与生活相联系的智慧层面，是让学生真正形成数学推理能力的关键. 数学教师需要对推理经验理解进行梳理，并上升到理论层面，这需要从两种基本形式把握数学推理的实质，并通过数学活动与问题解决来培养学生的推理能力.

[关键词] 数学推理；经验理解；智慧实施；培养途径

“推理是数学的基本思维方式，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式. ”这是《义务教育数学课程标准（2011版）》对数学推理所作出的界定. 对这个界定有两层理解：

（1）推理是思维方式；

（2）推理在学习与生活中经常使用.

因为数学推理形成于数学课堂而延伸于学生生活，因此数学推理是数学学科核心素养的重要组成部分，这是一个基本的认识.

实际教学中，由于数学推理的普遍存在——利用数学知识解题，常常有着丰富的推理过程，因此教师对数学推理的理解与实施常常是经验性的，而这个经验通常又只是在纯粹的数学知识学习与解题运用中形成，因此经验的理解必然带有狭隘性，真正能从数学走向生活的推理其实并不多见.

据此，笔者以为，数学推理要从经验的角度走向智慧的实施. 本文试以初中数学教学为例，略谈笔者的浅显观点与做法.

数学推理的经验认识与智慧理解

经验视角下，数学推理是基于数学逻辑从一个命题获得另一个命题的过程，比如最简单的“两直线平行，同位角相等”这一命题，就是一个带有逻辑推理的命题，因为两直线平行，所以同位角相等，“因为……所以……”就是一种逻辑关系. 同时，这个命题又是相关问题解决的推理依据，即因为两直线平行，同位角相等，所以……在初中数学教学中，像这样的推理比比皆是. 我们不妨从学生的学习感受角度来看学生对数学推理的态度. 可以发现，相当一部分学生因为感觉数學抽象、难学，因而感觉数学学习并无太多的乐趣，在这种情况下可以断定，学生对数学推理没有多大兴趣. 而事实上，数学推理是数学最基本的特征之一，是数学学科异于其他学科的重要表现之一. 数学推理之所以没有获得学生的兴趣，很大程度上是因为数学教师没有用更好的形式来实施数学推理教育，而其本质原因是因为教师对数学推理的理解过于经验化.

与经验理解相对的是智慧理解. 这里倒不是说经验与智慧是对立的，事实上，经验常常是智慧的源泉，但是囿于经验则与智慧的距离会越来越远. 而笔者所理解的智慧理解，实际上也不外乎理论与实践的结合. 笔者总认为，作为数学教师，需要对一些基本概念进行理论上的把握，像数学推理这样重要的数学概念，需要理解其内涵与外延，需要从具体的实例、概念角度建构对其的理解.

理论研究表明，数学推理其实与判断、命题等基本概念相关. 所谓判断，是指对客观事件作出肯定或否定的思维形式；所谓命题，就是表示判断的语句. 这样的理论其实并不复杂，因为无论是面对数学命题还是生活中的事物，人们总会有肯定或否定的想法，也总会通过语言（语句）表达出来，于是判断与命题就是学习或生活中的常见情形. 于是数学推理也就有了学科和生活意义. 在学习或生活中，基于一个或几个命题，推出新的命题的过程就是数学推理的过程，这样的理解异于经验性的理解，因为其更具概括性，而这恰恰是理论的价值. 进一步的理念研究表明，数学推理本身就是一种数学思想，也是一种数学方法，其在数学学科中的价值体现为服务于数学证明，在生活中的价值体现为服务于学生对生活事物的观察与判断.

这里不妨来看看当前初中生在生活中运用推理的能力. 仔细观察可以发现一个悖论：一个数学极为优秀的学生可以在数学证明题中给出严丝合缝的证明过程，但在生活中却有可能对一件简单的事物做出完全不合逻辑的判断，譬如在聊天终端中对明明有逻辑漏洞的信息的转发等. 这说明学生从数学学习中形成的推理能力其实并没有有效迁移到生活中. 在笔者看来，这样的数学推理教学即使不能说是无效的，至少也是不完整的.

初中阶段的数学推理教学，需要追求从数学到生活的完美演绎.

从推理的基本形式认识数学推理

初中数学中的推理有合情推理与演绎推理两种基本形式，合情推理在生活中其实非常常见，可以说人们在生活中所作出的大部分判断其实都是合情推理的结果，因为合情推理最基本的特征就是其判断过程逻辑性未必很强，其判断结果也未必准确. 尽管如此，合情推理在生活以及数学学习中的作用却非常大，因为合情推理其实是人们利用归纳或者类比的办法，借助生活或学习经验做出的直觉性判断，其价值正在于为“必然性”提供“或然性”基础. 而演绎推理则不同，其有着严格的推理程序，其结果具有必然性. 合情推理与演绎推理之间有着相辅相成的关系，数学教学让这种关系体现得越明显，那教学过程就越有效，学生也就越有可能获得数学智慧.

如教学“利用‘合并同类项和‘移项解一元一次方程”时，人教版教材提供了中亚细亚数学家阿尔—花拉子米的一本《对消与还原》的书籍，并以“对消”与“还原”为关键词引出了本课题. 从学习过程角度来看，学生的思维会在这两个关键词的引导之下逐步发展，而在具体事例提出之后，学生的数学推理过程常常是两种思维方式并存. 如教材给出的例题是：某校三年共买计算机140台，去年购买计算机的数量是前年的2倍，今年购买的数量又是去年的2倍，前年这个学校购买了多少台计算机？根据笔者的教学经验，学生刚刚接触到这个例题的时候，第一反应往往是根据其中的倍数关系及自己的数学学习经验去“计算”，这个计算过程又不是严格地用算式去计算，而带有试错的意味. 不少学生会用一个数字去尝试，然后根据尝试结果进行修正. 这样的思维过程其实很具跳跃性，正是合情推理的产物. 而待到教师引导学生从方程的角度去思考，利用未知数去建立等式的时候，则又是方程思想演绎的产物. 在这样的学习过程中，笔者以为需要给足学生时间，先让学生多做一些试错的合情推理，然后给出方程解决问题的思路，这样可以让学生对两种推理方式都有充分体验.

让学生同时体验合情推理与演绎推理，无疑可以促进学生的思维发展，因而可以认为是智慧的教学. 事实上，如果从数学史中发现合情推理与演绎推理的价值，可以发现在人们提出“三段论”（演绎推理的基本形式）之前，人们所用的推理方式多是合情推理，而在“三段论”被提出之后，数学及其研究就进入了理性时期，进入了逻辑时期，因此“三段论”常常被认为是数学发展的一个具有划时代意义的理论. 而学生的思维发展其实与历史发展经常具有某种相似性，初中数学是学生从合情推理进入演绎推理的重要时期，是默会的合情推理进入显性的演绎推理的重要阶段. 笔者以为，初中阶段的数学推理教学，一定要坚持从生活中来，到生活中去的思路，既要充分利用好学生在生活中形成的合情推理能力，并在此基础上引导学生能在合情推理与演绎推理之間有效转换，还要最终将这种推理能力反映到生活当中，这样，学生的推理能力就能在数学课堂上开花，在数学课堂之外结果，这才是真正有效的数学推理教学.

学生数学推理能力形成的基本途径

在初中阶段要帮学生形成良好的数学推理能力，笔者以为有如下两个基本途径：

一是精心设计数学活动. 当下的数学教学已经不是知识的传递，尤其是对于初中数学教学而言，数学活动已经成为学生获得数学知识的重要方式. 但需注意的是，本文所说的数学活动并不强调“活动”的形式，而是强调“活动”背后的思维含量，即强调合情推理与演绎推理有充分的用武之地，这也是数学活动保持数学味的关键. 方程教学中可基于等量关系到生活中寻找学生熟悉的事例，函数教学中基于数形结合过程的设计让学生体会数学是如何通过数与形去描述函数特征的，这才是数学活动的本质所在.

二是丰富数学问题解决的过程. 问题解决是数学学习中最核心的内容之一，问题解决的过程就是学生运用推理解决问题的过程，在这个过程中，学生对数学知识的回忆、挑选与运用是演绎推理运用的关键环节；而在此过程中，学生的合情推理往往又会发挥先导性作用. 这种具有跳跃特征的推理形式，往往是学生寻找解题方向的关键. 根据笔者对所教初一至初三十几位优秀学生的跟踪发现，这些学生在遇到复杂问题的时候，往往都是靠合情推理去寻找解题思路，而演绎推理更多的是帮他们判断合情推理是否正确的后续环节.

最后需要强调的是，推理能力的培养需要贯穿整个初中阶段，如果仔细分析可以发现，几乎每一个数学知识的教学其实都有数学推理的机会，就看教学中如何根据学生的实际情况去判断与把握了.