把握组题导向,达成高效目标*

广东高州中学(525200) 刘均锋

把握组题导向,达成高效目标*

广东高州中学(525200) 刘均锋

高三数学复习以诊断式教学为主.我们只有组好题、设计好探究练习,才能全面有效地诊断学生的学习状况,有针对性地指导学生学,提高复习效率.在复习中如何设计变式训练题,达成高效复习目标呢?本文结合多年教学实践,从习题设计导向上谈谈我的体会.

一、在易混淆处对比设问,让学生辨清概念

两件(或两件以上)性质比较相近的事物放在一起对照比较,最易发现它们的相同点和不同点.高中数学有很多容易混淆的概念、公式、定理、解题方法等,教师可在这些地方设计对比练习,让学生去辨析.例如在复习导数几何意义时,我们设计练习:(1)曲线y=x3在点P(2,8)处的切线方程为___;(2)曲线y=x3过点P(2,8)的切线方程为___.

学生在解题时往往忽略“过P点的切线”与“在P点处的切线”的区别,教师在此处设问,可以让学生加深印象.

二、在思维“盲区”设问,扫除学生知识运用“误区”

部分学生学习一知半解,导致解题时不分情况乱套公式、定理的现象较普遍.为此我们在设计练习时,有意识地设计一些公式定理不适用时的情况,让学生提高认识,扫清思维“盲区”.

例如在复习均值不等式时,变量为正与等号成立的条件是学生思维的“盲区”.我们设计如下练习:

(2)y=2−3x−4x(x＞0)的最大值是___;

(3)y=2−3x−4x(x＜0)的最小值是____;

(4)y=sin2x+4sin2x的最小值是___;

通过对比,让学生在用均值不等式求最值时加深对“一正二定三相等”的认识,同时对不适合用均值不等式求最值时的情况(如(4)、(5))学会换元转化为利用函数单调性处理.

三、在一题多变中,培养学生发散思维

根据高考数学“源于课本,高于课本”的命题原则,教师在教学或复习过程中可以利用书本上的例题和习题,进行对比、联想,采取一题多变的形式进行教学,这是提高学生数学学习兴趣和发散思维能力的有效途径.例如在函数的单调性这一知识的复习教学中,我们让学生先做课本例题:

此题旨在巩固函数单调性的概念及证明方法,但我认为教学中不应只停留在直接利用定义或导数法证明这一知识层面上,要引导学生步步深入,积极思维,全方位进行开发探究.充分利用这一难得的“变式”契机将单调性定义及应用推向高潮.我们设计变式练习如下:

变式二:判断并证明函数

(旨在培养学生普遍联系的辩证思维及化归思想)

的单调性.(旨在培养学生综合思维能力,变形转化技巧,进一步深化对单调性的理解)

的值域.

通过对上述“问题链”的分析与思辨,学生对单调性知识的理解与灵活应用必然更进一层.

四、在一题多解中,培养学生思维灵活性

学生2:(分离变量法)“由于这个函数是分数的形式,分子分母都在变,所以我考虑把分子(或分母)中的一个变形为常数,就可以比较容易地观察出函数值的变化了.”

学生3:(导数法)“这个函数的图像画不出来,且定义域为R,我考虑用导数先研究下函数的单调性,然后再求值域.”

通过这三种解题方法,我们以题带面复习了“函数的定义域、值域、性质”、“三角函数的有界性”等知识,加深了知识间的沟通,同时也培养了大家解题的转化策略,体现了函数与方程的思想在数学中的作用.

正当我准备往下讲时,一位学生突然叫了起来:“老师,还可以用斜率来做!”

“不行的,用斜率的话其中一个cosx应该改成sinx!”看到大多数学生都在点头,赞成后面那位学生的意见.

“是啊!改一下的话学生就不难发现用斜率来做了!”我心想.尽管这节课时间已经很紧了,但我还是依然停下来让那位学生继续往下说.

图1

这个学生运用转化及数形结合的思想方法解出了此题,令大家恍然大悟.

五、在多题一法中,让学生掌握通法

多题一法是培养学生收敛思维的有效办法.多题一法能提高学生对通性通法的认识,达到举一反三、触类旁通、事半功倍的最佳效果.例如“换元法”通过引进新的变量,把分散的条件联系起来,隐含的条件显露出来,或者把条件与结论联系起来,从而化生为熟,化复杂为简单.它在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用.在复习中我们设计如下题组:

(1)函数y=cos2x+2sinx的值域为___;(整体换元,设t=sinx)

(2)不等式log2(2x−1)·log2(2x+1−2)＜2的解集是____.(整体换元,设t=log2(2x−1))

(6)已知x2+y2=4x,则x+y的范围是____(三角换元,设x=−2+2cosα,y=2sinα)

以上几题,把某个式子看成一个整体,用一个变量去代替它,目的是变换研究对象,将问题移至新对象的知识背景中去研究,从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化,变得容易处理.

六、设计探究练习,让学生学会归纳、发现与创新

数学探究是高中数学课程中引入的一种新的学习方式,有助于学生初步了解数学概念和结论产生的过程,初步理解直观和严谨的关系,初步尝试数学研究的过程,体验创造的激情,建立严谨的科学态度和不怕困难的科学精神;有助于培养学生勇于质疑和善于反思的习惯,培养学生发现、提出、解决数学问题的能力;有助于发展学生的创新意识和实践能力.高三复习也要引导学生围绕某个数学问题,观察分析数学事实,提出有意义的数学问题,猜测、探求适当的数学结论或规律,给出解释或证明.举例如下:

(1)【2015山东理11】观察下列各式:

分析:可从前四个特殊的等式中观察、归纳、总结出一般的规律:式子右边底都为4,指数与左式最后一组合数上标相同.故答案为4n−1.

(2)(2012年江西)观察下列各式:a+b=1,a2+b2=3,a3+b3=4,a4+b4=7,a5+b5=11,···,则a10+b10=___.

分析:观察发现其规律为从第三项起,每项等于其前相邻两项的和,所求值为数列中的第十项.据规律继续写出此数列为1,3,4,7,11,18,29,47,76,123,···,第十项为123.答案:123.

(3)某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数.

(1)sin213°+cos17°−sin13°cos17°;

(2)sin215°+cos215°−sin15°cos15°;

(3)sin218°+cos212°−sin18°cos12°;

(4)sin2(−13°)+cos248°−sin(−13°)cos48°;

请将该同学的发现推广为一个三角恒等式:

分析:如何找到常数?可从简单的入手,发现三角恒等式,再进行严格的论证、推广.

教学艺术的本质,不仅在于传授知识,关键在于激励,唤醒和鼓舞.求知欲是学生主动探究问题和深入研究问题的原动力,教师应该努力培养学生的求知欲.高三复习要通过题组教学,组织探究活动,满足学生的好奇心和表现欲,让学生主动发现问题,提出问题,解决问题,从而高效达成教学目标.

[1]何小亚:建构良好的数学认知结构的教学策略[J];数学教育学报; 2002年01期

[2]何小亚:《中学数学教学设计(第二版)》[M].科学出版社,2012(7)

图6

变式4.铁路上A,B两点之间相距25千米,C,D为两个村庄,DA⊥AB,CB⊥AB.已知DA=15千米,CB=10千米,现要在铁路上建一个土特产收购站E,若要使得C,D两村庄到E站的距离相等,则E站应建在距A站多少千米处?

分析:本题的两个直角三角形没有公共边,但它们的斜边相等,以此为切入点,学生也能列出方程解决问题,公共边到等边,思维进一步拓展.

图7

通过以上几个例子的分析,思考,学生基本上熟悉了方程法在解决几何问题上的作用,以后他们还会学到相似三角形,三角函数等更快捷的方法,但方程法的数形结合,几何代数化的思路,也开拓了学生的思维,提供了思维方向.

*本文为广东省教育厅强师工程课题《“立体引学”模式的探索与应用研究》(2012YQJK219)成果.