利用勾股定理列方程在线段长度问题中的应用

深圳市南山实验教育集团南海中学(518054) 孙夏林

利用勾股定理列方程在线段长度问题中的应用

深圳市南山实验教育集团南海中学(518054) 孙夏林

在本人这几年的教学中,发现刚升上初二的学生对求线段长度的问题比较吃力,在这个阶段方法不多,所以有时无从下手.在这里,我就利用勾股定理列方程解决此类问题,做一个分析和归纳.

1.断树问题:

例1.如图,一棵大树被台风吹断,顶端落在离大树底部8米处,已知大树原长16米,求大树断开处的高度.

分析:此题问高度,设断开处的高度为X米,倒下部分为(16−x)米,根据勾股定理列方程X2+82=(16−X)2即可求出答案.此题是勾股定理的基本题型,方法是直接列方程求解.与之类似的还有旗杆问题,芦苇问题等等.

图1

图2

2.折叠问题:

例2.在直角三角形ABC中,∠B=90°,沿AD折叠后,使B落在斜边AC上,若AB=3,BC=4.求BD的长度.

分析:此题为折叠问题,折叠后构造出直角三角形,计算问题常需要借助方程思想方法解证.此外,本题求垂线段DE长度,三角形各边已知.还可利用等面积法列方程求高.

3.公共边问题:

例3.在直角三角形ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于D,AC=20,BC=15,求AD长.

分析:本题为常见的求直角三角形中线段问题,方法很多.但对于刚接触勾股定理的初一学生来说,他们较常用的是等面积法求斜边上的高CD,再在直角三角形ACD中利用勾股定理求AD.在学生充分思考后,我提出能否不先求CD而直接求AD,并引导他们思考图中各条线段的数量关系,最后有学生就发现,两个小直角三角形有公共的直角边CD,把这个作为桥梁,就可列出含有AD的方程求解了.

图3

变式1.已知三角形ABC,AB=63,BC=30,AC=51.求三角形面积.

分析:本题已知三角形三边求面积,就是先求高.由于不是直角三角形,等面积法不适用.然后学生发现这一题的图和例3很像,也是两个直角三角形有一条公共直角边,于是他们用刚才的方法尝试了一下,问题迎刃而解.

图4

变式2.在三角形ABC中,∠C=90°,点M在BC上,若AB=17,AM=10,BM=9,求AC,CM的长.

分析:本题和前两例类似,只不过两个直角三角形在公共直角边的同一侧了,方法还是利用公共直角边列方程.学生在做完前两个题时,大多数基本上能想到这种思路.

图5

变式3.在三角形ABC中,AB=AC=20,BC=32,BM=9,D是BC上一点,且.AD⊥AC,求BD的长.

分析:此题中,不再是两个三角形有公共直角边,而是其中一个三角形的直角边是另一个三角形的斜边,学生在观察思考后,发现只要是公共边就能列出方程,从而达到了思维的灵活性.