转动数学中的“魔环”

李风发

【摘要】圆是一种几何曲线，它非常简洁，而且很完美，在生活中得到广泛运用.圆和生活密切相连，形影不离.建立于1 500多年前的赵州桥、圆形钟表等等，这些都与圆结下了不解之缘.在高中数学的解题过程中，会经常运用到圆，把圆同其他知识巧妙地结合在一起，从而做到了化难为简，对数学产生了浓厚兴趣.这篇文章从以下几个方面来讲解圆在解题过程中的运用，掌握解题奥秘，做到迎刃而解，更加輕松地学习数学.

【关键词】高中数学；解题方法；圆的妙用

一、圆在距离问题中的运用

例1和点A（1，2）的距离是1，并且和点B（3，1）的距离为2的直线l有（）条.

分析这道题如果用代数的方法解答会非常的烦琐，而且解方程的难度非常大.这样我们可以借助“圆”来解答这道题.

我们通过画草图知道到点A（1，2）的距离为1的直线有无数条，它们是以点A为圆心，半径为1的圆的切线.同样的道理，到点B（3，1）的距离是2的直线也有无数条，它们是以B点为圆心，以2为半径的圆的切线.这道题所求的直线是这两个圆的公共切线，这样就把距离问题转变为判断两个圆的位置关系的问题.通过计算，我们可以得知A，B两个圆心间的距离为5<1+2，这就说明两个圆的位置关系是相交关系，所以，可以得知符合条件的直线就只有两条.

因此，把距离问题转化为两个圆的位置关系，就使问题变得非常简便，使运算量和解题过程更加简化，激发学习兴趣，起到了事半功倍的效果.

二、圆在方程根问题中的运用

例2方程4-x2=k（x-2）+3有两个不等的实根，那么k的取值是（）.

分析根据已知条件，得知方程4-x2=k（x-2）+3有两个不相等的实根，则说明方程组y=4-x2和y=k（x-2）+3有两个不等的解.要想这个方程组有两个不等的解，必须y=4-x2和直线y=k（x-2）+3有两个不同的交点.曲线y=4-x2表示的是半圆x2+y2=4，且y必须大于或等于0.而直线y=k（x-2）+3恒过点P（2，3），这样可以非常容易求得k的取值范围，求得取值范围是512

通过以上的例题，我们可以看出先要对题型进行转化，转化为圆的两个交点问题，这样就使复杂的方程问题变成了简单的圆交点问题，就会迎刃而解.

三、圆在不等式问题中的运用

例3已知，实数x，y满足x2+y2-4x+6y+11=0，而且不等式x-y+m<0，求实数m的取值范围.

分析首先，先对方程x2+y2-4x+6y+11=0进行变形，可以得出（x-2）2+（y+3）2=2，那么以变量x，y为坐标的点P（x，y）在以点C（2，-3）为圆心，半径为2的圆上.不等式x-y+m<0，变形为x-y<-m，那么就只确定x-y的最大值即可.假设x-y=a，它表示的是一组平行直线，圆心到这组平行直线的距离为|2-（-3）-a|2≤2，就可以求出3≤a≤7，因此，可以得知x-y的最大值为7，故而求得m<-7，从而就求得实数m的取值范围为（-∞，-7）.

通过这道例题可以看出，如果直接用解方程的方法去求解，会非常困难，而且会浪费很多宝贵时间.因此，可以寻找规律，把不等式转化成圆的形式，这样就转化为直线和圆的交点问题，就会使问题变得简单.

四、圆在函数最值中的运用

例4求函数y=sinx-1cosx-2的最大值和最小值.

分析通过仔细观察这道题，这道题可以联想到直线的斜率和圆的关系.这一直线过点A（cosx，sinx）和点B（2，1）这两点，且点A（cosx，sinx）在点O（0，0）为圆心、半径为1的圆上.假设过点B（2，1）的直线方程为y-1=k（x-2）.当这一直线和圆O相切的时候，k的值最大或者是最小.由此，|-2k+1|k2+1=1，从而求得k=0或者k=43.因此，函数y=sinx-1cosx-2的最大值为43，最小值为0.

从以上的例题，可以看出在求函数的最大值或者最小值的时候，可以根据条件进行转换，转化成圆和直线的关系的题型，当直线和圆相切的时候，就是最大值和最小值，从而利用圆非常巧妙的求得最大值或者最小值.

以上对距离、方程、不等式和函数最值等问题进行了阐述，这些问题在高中数学中是非常重要的知识点，在解决这些问题的时候可以联系到一个“魔环”的影子，也就是“圆”.通过利用圆的性质以及图形可以使问题变得非常简便，使一些烦琐的数学问题迎刃而解.在学习中，要充分认识到圆的重要性，发挥其重要魔力，真正掌握圆的几何性质.所以，在解决数学问题的时候，要充分与圆相结合，使复杂的问题变得简单形象，达到事半功倍的效果.

【参考文献】

[1]吴爱琴.高中数学《圆与圆的位置关系》高三复习课教学案例分析[J].新课程：中学，2013（12）：118.

[2]葛益平.抓住定义，事半功倍——例谈高中数学教学中圆的定义及其运用[J].中学数学，2015（19）：85-88.