也谈数学建模从模型的假设培养学生的创新思维能力

蓝宗强

【摘要】数学建模实践是培养学生创新能力的平台，本文以实例入手，从模型假设对学生创新能力的培养进行了探讨.

【关键词】数学建模；培养；创新思维能力

全国大学生数学建模竞赛在我国自1992年第一次组织竞赛至今已经走过了25个年头.由于在创新人才培养中的地位和作用，数学建模正受到越来越多高校，特别是高职院校和大学生们的关注和重视，全国各高校的参赛队每年以超过20%的比例在增长，可以称为是目前全国最大规模的学生课外科技竞赛活动.

数学建模实践的每一步都蕴含着能力上的锻炼，在调查研究阶段，需要用到观察能力、分析能力和数据处理能力等；在提出假设时，又需要用到想象力、创新能力和归纳简化能力.可以说，数学建模实践对学生综合能力的培养是全过程的，即数学建模实践过程中的每一个环节都能培养学生的综合能力.

数学建模是联系数学与实际问题的桥梁，是数学在各个领域广泛应用的媒介，是数学科学技术转化的主要途径，数学建模在科学技术发展中的重要作用越来越受到数学界和工程界的普遍重视，它已成为现代科技工作者必备的重要能力之一.

本文结合作者多年来在高职数学建模培训教学过程中的体会，以实例的形式，阐述了模型的假设对学生创新思维能力的培养.

一、数学建模过程中合理而简化的模型假设必不可少

数学模型是对于一个现实对象，为了一个特定目的，根据其内在规律，做出必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构.

现实问题总是复杂的、具体的，是质和量、现象和本质、偶然和必然的统一体，根据对象的特征和建模目的，在问题分析基础上对现实问题进行必要的、合理的取舍简化，并使用精确的语言做出假设，这是建模至关重要的一步，如果不经过抽象和简化，人们对其认识是困难的，也无法准确把握它的本质属性.这是因为，一个实际问题往往是复杂多变的，如不经过合理的简化假设，将很难转化成数学模型，即便转化成功，也可能是一个复杂的难于求解的模型，从而使建模归于失败.模型假设就是根据实际对象的特征和建模的目的，在掌握必要资料的基础上，对原型进行的抽象、简化，把那些反映问题本质属性的形态、量及其关系抽象出来，简化掉那些非本质的因素，使之摆脱原型的具体复杂形态，形成对建模有用的信息资源和前提条件，并且用精确的语言做出假设，是建模过程关键的一步.但对原型的抽象、简化也不是随意的、无条件的，而是要善于辨别问题的主要方面和次要方面，准确而果断地抓住主要因素，抛弃次要因素，并且尽量将问题作均匀化、线性化、理想化处理，并且要按照假设的合理性原则进行，假设合理性原则有以下几点.① 目的性原则：从原型中抽象出与建模目的有关的因素，简化掉那些与建模目的无关的或关系不大的因素；② 简明性原则：所给出的假设条件要简单、准确，有利于构造数学模型；③ 真实性原则：假设条件要符合情理，简化带来的误差应满足实际问题所能允许的误差范围；④ 全面性原则：在对事物原型本身做出假设的同时，还要给出原型所处的环境条件.

二、合理的模型假设需要我们大胆创新

一方面现实对象是复杂多变且决定它的因素是多方面的，另一方面我们在利用数学模型来解决现实问题时，又希望问题能相对简化而易于处理.为解决这一矛盾，模型建立前对现实问题创新性的简化处理就显得尤为重要，而且是建模成功与否的关键所在.

合理的模型假设要求我们不能墨守成规，而是要有大胆的创新精神，充分发挥想象力和创造力，如讨论“人在雨中奔跑，人的淋雨量与奔跑的速度的关系”这一问题时，可以充分发挥想象力，将人体假设成长方体而使问题得到简化，避免了人体表面的复杂对建立模型带来的困难，创新思维能力在这里表现得淋漓尽致.

学会舍去也是一种创新.对于复杂多变的现实对象，我们必须忍痛割爱，从中舍去次要因素，抓住主要因素，进行必要的筛选；如果我们认定的主要因素还是很多的话，为了顺利建模，也应该，或者说至少是暂时不予以考虑而舍弃，等到最后在模型分析时再给予考虑，或者在本模型建立中根本不予考虑，如（航行问题）“甲乙两地相距750千米，船从甲到乙顺水航行需30小时，从乙到甲逆水航行需50小时，问船的速度是多少？”其实，船速、水速都是变化的，它们受到上游水流、风力等多方面因素的影响，但在这里，航行问题建立数学模型时，可以假设船速、水速为常数，这样我们舍去了很多非主要因素的影响而使问题得到简化.如果思想上保守是很難做到这点的.当然，简化处理过程中合理性原则还是必须要坚持的，否则，过分简单也同样会因为与实际相去甚远而使建模归于失败.一般地，做出假设时要充分利用与问题相关的有关学科知识，充分发挥想象力和观察判断力，分清问题的主次，抓住主要因素，创新性地舍弃次要因素.因此，学会舍去也是一种创新.

运用近似化处理更是一种创新.在我们选定的因素里，为建模需要，也常常要进行合理的简化，诸如线性化、均匀化、理想化等近似化处理，这也是满足建模所用数学方法必须的前提条件.当然，假设不能违背实际问题主要特征和建模目的.如“椅子能在不平的地面上放稳吗”这一问题，我们可以将原本不平的地面假设成地面高度连续变化，可视为数学上的连续曲面.这种处理方法就是连续化的近似处理，使原本不平坦的地面变成了连续曲面，从而可以利用连续函数的性质来讨论现实问题，使复杂问题简化了，达到了建模的目的.在充分发挥想象力和洞察力的基础上，创新性地提出合理的模型假设，对现实问题的数学解决起到了很关键的作用.

三、数学建模中模型假设示例展示

示例1椅子能在不平的地面上放稳吗？

注意：这里的“放稳”是指四脚着地，即椅脚与地面距离为零.

为了解决这一问题，我们不妨做如下模型假设.（1）四条腿一样长，椅脚与地面点接触，四脚连线呈正方形；（2）地面高度连续变化，可视为数学上的连续曲面；（3）地面相对平坦，使椅子在任意位置至少三只脚同时着地.

示例2存贮模型问题.

配件厂为装配线生产若干种产品，轮换产品时因更换设备要付生产准备费，产量大于需求时要付贮存费.该厂生产能力非常大，即所需数量可在很短时间内产出.已知某产品日需求量100件，生产准备费5 000元，贮存费每日每件1元.试安排该产品的生产计划，即多少天生产一次（生产周期），每次产量多少，使总费用最小.

通过问题分析我们发现，当生产周期短，产量小，贮存费少，但准备费多；生产周期长，产量大，准备费少，而贮存费多.

解决这一问题的关键在于做如下模型假设：（1）产品每天的需求量为常数r；（2）每次生产准备费为c1，每天每件产品贮存费为c2；（3）T天生产一次（周期），每次生产Q件，当贮存量为零时，Q件产品立即到来（生产时间不计）；（4）为方便起见，时间和产量都作为连续量处理.

示例3传送系统的效率问题.

工人将生产出的产品挂在经过他上方的空钩上运走，若工作台数固定，挂钩数量越多，传送带运走的产品越多.在生产进入稳态后，给出衡量传送带效率的指标，研究提高传送带效率的途径.

进入稳态后为保证生产系统的周期性运转，应假定工人们的生产周期相同，即每人作完一件产品后，要么恰有空钩经过他的工作台，使他可将产品挂上运走，要么没有空钩经过，迫使他放下这件产品并立即投入下件产品的生产.可以用一个周期内传送带运走的产品数占产品总数的比例，作为衡量传送带效率的数量指标，工人们生产周期虽然相同，但稳态下每人生产完一件产品的时刻不会一致，可以认为是随机的，并且在一个周期内任一时刻的可能性相同.

我们不妨做如下模型假设：（1）n个工作台均匀排列，n个工人生产相互独立，生产周期是常数；（2）生产进入稳态，每人生产完一件产品的时刻在一个周期内是等可能的；（3）一周期内m个均匀排列的挂钩通过每一工作台的上方，到达第一个工作台的挂钩都是空的；（4）每人在生产完一件产品時都能且只能触到一只挂钩，若这只挂钩是空的，则可将产品挂上运走；若该钩非空，则这件产品被放下，退出运送系统.

示例4森林救火问题.

森林失火后，要确定派出消防队员的数量.队员多，森林损失小，救援费用大；队员少，森林损失大，救援费用小.综合考虑损失费和救援费，确定队员数量.

记队员人数x，失火时刻t=0，开始救火时刻t1，灭火时刻t2，时刻t森林烧毁面积B（t），损失费f1（x）是x的减函数，由烧毁面积B（t2）决定.救援费f2（x）是x的增函数，由队员人数和救火时间决定.我们可以想象火势以失火点为中心，均匀向四周呈圆形蔓延，半径r与t成正比，因此，面积B与t2成正比，dBdt与t成正比.

为此我们可做如下模型假设：（1）0≤t≤t1，dBdt与t成正比，系数β（火势蔓延速度）；（2）t1≤t≤t2，β降为β-λx（λ为队员的平均灭火速度）；（3）f1（x）与B（t2）成正比，系数c1（烧毁单位面积损失费）；（4）每个队员的单位时间灭火费用c2，一次性费用c3.

示例5盘子清洗问题.

餐馆每天都要清洗大量的盘子，为了方便，某餐馆是这样清洗盘子的：先用冷水粗洗一次，再放入热水池洗涤，水温不能太高，否则烫手，也不能太低，否则清洗不干净.由于想节约开支，餐馆老板想了解一池热水能清洗多少个盘子，请你帮他建模分析这一问题.

事实上，盘子有大有小，材质也不完全相同，不同的洗涤方法对热水的利用也不相同，水池和空气的吸热也会导致水温降低.如果全考虑这些实际因素，问题会变得非常复杂而没有必要.不难发现决定洗涤盘子数量的是热水的温度，更换热水并不是因为水太脏了，而是因为水温不够热了.

为了解决这一问题，实现建模的目的，我们不妨做出如下假设：（1）水池、空气吸热不计，只考虑盘子自身的吸热，盘子的大小、材质相同；（2）盘子的初始温度与气温相同，洗涤完后的温度与水温相同；（3）水池中的水量为常数，开始温度为T1，最终换水时的温度为T2；（4）每个盘子洗涤时间T相同.

以上几个建模示例中的假设，既要考虑问题本身的特点，又要考虑在简化问题过程中假设的合理性和各种影响问题的因素间的相互作用.因此，数学建模中模型的假设不仅可以培养学生实事求是精神，更能突出对学生创新能力的培养.

高等职业教育的本质特征主要体现在培养目标和培养模式上，高等职业教育是为生产、服务和管理第一线培养实用型人才，而实用型人才必须坚持“以能力为中心”的培养模式，强调“以应用为目的”的原则，体现“联系实际，注重应用，重视创新，提高素质”的特色.而以数学建模中的模型假设为载体培养学生的创新思维能力恰好体现了高等职业教育的培养目标，可以使学生用创新的视野去解决实际问题，同时又在解决问题的过程中培养了创新思维能力.利用数学建模中的模型假设培养学生的创新思维能力是高职院校数学教学中值得研究的一个课题.

【参考文献】

[1]王冬琳.数学建模及实验[M].北京：国防工业出版社，2004.