数学史渗透到“近世代数”教学的探索研究

胡俊美　张红梅　郭秀英　赵士欣　郭志芳

摘 要 数学史与数学教育的有机融合是近世代数教学改革的一个新视角，本文以群论为例，阐述了数学史融入群论教学的必要性，从实践层面提出了数学史融入到群论教学的主要途径，说明了数学史在揭示数学本质、启发学生思维以及培养学生探索创新能力上的重大作用。

关键词 近世代数 群论 数学史

中图分类号：G424 文献标识码：A DOI：10.16400/j.cnki.kjdkx.2017.01.052

1 群论教学现状

美国学者比德维尔曾说：“课堂中，我们学习数学时常常会将自己置身于一座孤岛之中，每天一次去岛上领略数学，深入研究那些纯粹、洁净、逻辑严谨、脉络清晰，毫无杂质的角落。我们认为数学是封闭的、呆板的、毫无情感的，且一切已经发现好了的。它完全存在于课本或教师的头脑中，只需去挖掘与吸收”。①

这是对传统数学课堂的精辟论述，群论课堂也是如此，教材和教师很少关注数学知识的发现背景与形成过程，而把更多的精力投入到知识点的连贯性与逻辑上，使学生感觉定义或定理的出现非常突兀，更不知道其缘何出现，有何作用。群论以高度抽象化和符号化的特点令许多学生望而生畏，甚至产生厌烦心理。

在群论教学中渗透数学史知识，介绍数学知识产生的历史背景能够提高学生学习兴趣，明确学习动机；追溯数学概念和思想方法的发展演变过程有助于加强学生对相关知识点的理解掌握，培养其逻辑思维能力和推理能力；介绍数学家的奇文轶事能够活跃课堂气氛，激发学生探索精神与创新精神。

2 群论概念中数学史的渗透

教材中数学概念大都是直接给出的，以群的概念为例，张禾瑞的《近世代数基础》中这样定义群：②

一个不空集合G对一个叫做乘法的代数运算来说作成一个群，假如

I. G对于这个乘法来说是闭的；

II. 结合律成立：a（bc）=（ab）c，对于G中任意三个元a，b，c都对；

III. 对于G中任意两个元a，b来说，方程ax=b和ya=b在G中都有解。

這个定义简洁而抽象，早已失去了群概念的本来面目，学生更不知道它是如何出现的，此处教师可介绍群论的三个来源，③即经典代数、数论和几何。

2.1 经典代数

19世纪以前，代数学的主题一直是解方程。大约在公元前1600年，巴比伦人找到了二次方程的求根公式；1540年左右，意大利人费罗、菲奥尔，特别是塔尔塔利亚和卡尔达诺的工作为三次和四次方程的根式解画上了圆满的句号。在接下来两个世纪的时间里，代数学的中心任务一直都是求五次及五次以上方程的根式解，这就是拉格朗日在1770年的论文中所做的工作。拉格朗日通过考虑方程根的有理函数开辟了置换理论研究的先河，虽然他只是谈到了置换，并没有考虑置换的“演算”（比如没有考虑它们的合成及封闭性），但可以说他的工作中已经表现出群（作为置换群）的概念的雏形。而置换群与代数方程之间的关系的完全描述是伽罗瓦在1830年左右给出的，这一工作在若尔当的鸿篇巨著《置换与代数方程专论》才得到整理与发展，进而置换群这个具体群成为群论的主要研究对象。

2.2 数论

有限阿贝尔群主要来源于数论中的计算问题，很长时间以来一直表现得比较隐晦。然而随着置换群理论的发展，它们对抽象群概念的形成起到了重要的推动作用。1761年，欧拉的幂剩余理论的论文是早期阿贝尔群思想的源泉。1801年，高斯的《算术研究》问世，他的幂剩余和割圆方程理论包含了关于循环群的深刻定理。特别地，在研究整系数二元二次型时，他把具有同一判别式的二元二次型按照一定等价关系加以分类，而这些等价类的集合在某种乘法之下构成有限阿贝尔群。尽管高斯本人并没有提出阿贝尔群的概念，不过，这是群的概念的数论来源。此后，经过狄利克雷、库默尔、克罗耐克等人的努力最终得到显阿贝尔群的概念，并在此基础上逐渐形成一套独立的理论。

2.3 19世纪60年代，置换群向几何学上的推广产生了变换群的概念，特别是运动群

此处只是简单介绍群的概念的三个来源，使学生体会到数学概念的产生并非一蹴而就，很多经历了几代数学家数十年，甚至上百年的努力才逐渐形成，经历了从具体到抽象的蜕变。在学完群的概念之后，有兴趣的同学可以查阅相关的原始文献，从中寻找发现群的雏形，激发其探索意识和创新意识，培养其研究能力。

3 群论内容中数学史的渗透

在介绍某一理论后，教师往往会辅以一些习题加深学生对知识点的理解，但深入浅出地介绍它们在现代数学以及其他学科的应用更能提高学生的学习兴趣。以“同构”为例，它是以公理化的形式给出来的，学生利用定义能够判断两个群是否同构，但同构在群论中起着什么作用呢，此时可以引入20世纪最伟大的数学成果之一——有限单群分类。③

我们知道，素数是只有平凡因子1和它本身的数。算术基本定理指出，每个正整数都可以唯一表示成素数的乘积。这说明了素数是构成正整数乘法的“原子”或者“积木块”。事实上，在群论中也存在类似的素数，这便是有限单群。一旦了解所有有限单群，就能通过群的扩张对所有有限群的性质、结构等进行行之有效的分析与研究，于是对有限单群的研究便成为理解有限群的重要桥梁。然而有限单群的数量浩如烟海，不可能对其进行一一考察，一种化繁为简、化无穷为有穷的方法就是用同构进行分类。2004年，分类最终完成，每个有限单群都属于且只属于下面一种类型：（1）素数阶循环群Zp（p为素数）；（2）5次及5次以上的交错群An；（3）李型单群；（4）26个散单群。这就是著名的有限单群分类定理，亦称庞大定理。第一，证明时间长久：1832-2004年，历时170多年。有限单群分类的历史可以追溯到19世纪30年代，经过漫长的发展时期之后，在上个世纪80年代的时候有人曾宣布分类已经完成，但是事实证明，在一些必要的环节上存在漏洞，而这一漏洞的弥补直到2004年才由阿什巴赫尔和史密斯发表出来。第二，参与者众多：几百位专家。来自全球几十个国家的几百位群论学家直接参与了有限单群分类的工作，其中有一百多位群论学家的论文是有限单群分类定理不可或缺的组成部分。第三，篇幅巨大，文章数多：有限单群分类定理的证明长达10000到15000页，它们以不同的形式和风格遍布在500多篇文章中，而且即使这500多篇文章也是从有限单群的近2000篇文章中精心挑选出来的，其中许多结果的证明长达一、二百页。

通过介绍群论中的最新发现成果和研究进展，不仅能提高学生学习兴趣，还能使他们从思想上摆脱学习无用论，课堂内容只不过是应付考试的错误思想，提高科研意识与拼搏意识。

4 数学史人物的楷模作用

在群论的發展演化过程中，一些核心人物起着决定性作用，他们或者是某一领域的集大成者，或者是某一研究思想和方法的奠基人，体现着当时数学活动的主流，在讲授数学内容时可穿插介绍数学家的生平轶事。

如英年早逝的挪威数学家阿贝尔21岁时终结了几个世纪以来的古老难题，即严格证明出一般五次方程没有根式解，在提交自己研究成果几次遭到搁浅，一贫如洗，病魔缠身的情况下仍坚持工作，享年27岁。无独有偶，天妒英才，法国数学家伽罗瓦的生命火花只绽放了21年，其“伽罗瓦理论”的发表久经挫折，没有得到同时代人的理解，但有人说伽罗瓦的去世，使数学工作的发展推迟了数十年。瑞士的欧拉堪称历史上最多产的数学家，一是子女众多，共育有13人，二是论文和著作众多，在61岁双目失明的情况下，其后长达12年的时间里他发表的作品并没有间断，在代数、数论、物理、天文、航海等多个研究领域做出了重大贡献。

通过在课堂讲解这些故事，不仅能够使学生了解数学家的生平、工作，拓展知识面，还能使其获得启发和灵感，激励自己努力学习。

5 结论

数学史是帮助学生认识数学、热爱数学、理解数学和研究数学的重要载体，因此在当下教师主要着眼于多媒体与板书相结合、建立网络教学互助平台等这些外在内容的同时，要加强学生对知识本质的把握，实现数学史的传播媒介作用，充分发挥数学史“为数学而历史、为历史而历史、为教育而历史”的三重功能。⑤

本文由国家自然科学基金项目（11501379）、河北省高等学校科学技术研究项目（QN2015244，QN2016011，QN2016140）、河北省教育厅社科研究2016年度基金项目（SD161045）资助

注释

① J. K. Bidwell， Humanize Your Classroom with the History of Mathematics[J]， The Mathematics Teacher，1993.86（6）：461-464.

② 张禾瑞.近世代数基础[M].北京：高等教育出版社，2010.

③ H. Wussing. The Genesis of the Abstract Group Concept： A Contribution to the History of the Origin of Abstract Group Theory[M].translated by A. Shenitzer， Cambridge， Massachusetts， London： The MIT Press，1984.

④ 胡俊美.有限单群分类的历史研究[D].石家庄：河北师范大学，2009.

⑤ 张红梅，刘会茹，曹志军.略论数学史研究的意义[J].科学大众，2008（4）：49.