基本不等式的应用及存在的误区

2017-03-09广东省德庆县香山中学谢树文

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广东省德庆县香山中学谢树文

基本不等式：a>0、b>0,当且仅当“a=b”时等号成立。该不等式在高中数学中占有重要的地位，它也是高考常考的热点内容之一。其应用十分广泛，既可以用于求函数的最值及证明不等式，也可以求实际问题的解。应用时有的是直接运用，有的是以间接运用，还有的需要进行适当的变形才能运用。下面列举几个例子予以说明。

一、直接运用基本不等式求函数的最值

对于形如（x＞0，k为正常数）的函数，可以直接运用基本不等式求解。

例1已知x＞2,求函数的最小值。

解：因为x＞2，x-2＞0，故+2=2×2+2=6,当且仅当,即x=4时，等号成立。由此，当x＞2时，f(x)的最小值是6。

二、间接运用基本不等式求函数的最值

有些函数的已知条件没有直接给出正值，必须进行分类讨论，间接运用基本不等式求解。

例2已知 x≠0 ，求函数的值域。

分析：此题中只知x≠0 ，不符合基本不等式的应用条件，应对变量x作分类讨论，间接运用基本不等式求解。

解：因为 x≠0,所以x<0,或x>0；

（1）当x>0时,3x＞0,f(x)=3x+，当且仅当,即时等号成立。由此，当x>0时，f(x)取得最小值2。

（2）当x<0时，-x>0,f(x)==-(-3x+)≤-2=-2,当且仅当-3x=-,即x=-时等号成立。由此，当x< 0时，f(x)取得最大值-2。

综上所述，当x>0时，f(x)=3x+的值域是[2,+∞)；当x<0时，f(x)=3x+的值域是（-∞，-2]。

三、通过变形运用基本不等式求解

对于形如f(x)=x+,x–a<0，k>0的函数，由于已知条件不满足a>0与b>0的形式，必须作适当变形后才能应用基本不等式求解。

例3 已知x<2,求函数f (x)=的最大值。

分析：因为x<2,故x–2<0,不符合正值的条件，不能直接应用基本不等式求解，必须作适当的变形。

解：因为 x<2,故 x–2<0,2–x>0，因此f(x)=x–2+=–[（2–x）=–2×2=–4,当且仅当2–,即x=0时，f(x)取得最大值–4。所以当x=0时，函数f (x)=的最大值是–4。

四、基本不等式在不等式证明中的应用

有些不等式用常规的作差法很难证明，对于形如0,k>0）的不等式，可以运用基本不等式去证明。

例4 已知a、b均为正数，且a+b=1，求证：≥9。

分析：本题条件和结论中，变量的次数是一个要注意的特征。条件中a、b次数为1，而结论中a、b次数为-1，可以利用1的代换，从平衡a、b的次数入手。

证明：因为a、b均为正数，且a+b=1，

所以=2=4+2+1=5+2≥5+2×2=5+4=9。

五、基本不等式在实际问题中的应用

实际问题中，有些是求图形的周长、面积的最大值，或者是求营业额、利润的最大值，这些问题都可以运用基本不等式求解。

例5 某村计划建造一个室内面积为800平方米的矩形蔬菜温室。在温室内，沿左右两侧与后侧内墙各保留1米宽的通道，沿前侧内墙保留3米宽的空地。当矩形温室的边长各为多少时，蔬菜的种植面积最大？最大种植面积是多少？

分析：本题是几何问题，可先用代数式表示出矩形的面积再进行化简，然后再运用基本不等式求解。

解：设矩形温室的长为a米，宽为b米，则ab=800平方米。蔬菜种植地的长为（a-2）米，宽为（b-4）米，蔬菜种植地的面积为S=（a-2）(b-4)=ab-4a-2b+8=808-2(2a+b)≤808-2=808-2×80=648平方米;当且仅当2a=b即a=20米，b=40米时，等号成立。即当矩形温室的边长分别为20和40米时，蔬菜的种植面积最大，最大面积为648平方米。

在教学实践中，笔者发现不少学生在运用基本不等式时存在各种问题，下面举例说明。