模型思想在小学数学教学中的方法论价值

曾玉华，郑 果

（湖南第一师范学院 数学与计算科学学院，湖南 长沙 410205）

模型思想在小学数学教学中的方法论价值

曾玉华，郑 果

（湖南第一师范学院 数学与计算科学学院，湖南 长沙 410205）

模型思想的本质就是让学生体验从实际背景中抽象出数学问题、构建数学模型、利用已有的经验解决问题的过程。模型思想不仅仅是一种基本的数学方法，更是一种解决问题的策略，它广泛地应用于认识问题本质规律、提高数学化能力、解决实际应用问题、培养数学创新思维等各方面，具有重要的数学方法论价值。

小学数学；模型思想；方法论；价值

引言

《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称“新课标”）指出“重视学生已有的经验，使学生体验从实际背景中抽象出数学问题、构建数学模型、寻求结果、解决问题的过程。”“在数学课程中，应当注重发展学生的数感、符号意识、空间观念……模型思想”[1]，并明确提到了“数学模型”“模型思想”。在新课标的十大核心概念中，“模型思想”是唯一以“思想”命名的，可见，发展模型思想是小学数学教育教学的重要目标之一。

早在上世纪70年代初，美、英等国就已将数学模型学习作为小学教育的重要内容，并且成为统一数学课程的一个组成部分。就我国而言，从20世纪80年代起，数学界才开始关于数学模型和数学建模的研究，相关课程只有在大学才开设。自新课标实施以来，在小学数学课堂中，笔者发现很多教师对数学模型、数学建模、模型思想等概念还较陌生，理解也很肤浅。因此，我们基于数学方法论的角度，从数学学科的本质出发，对小学数学课堂的模型思想进行深入探究，分析数学模型思想的概念、特点及其方法论价值，有助于提高小学数学课堂教学质量，有效促进小学数学教育教学的改革和发展。

一、相关概念的界定

（一）数学模型

对于数学模型的概念，众多学者有着不一样的认识。张奠宙教授认为，广义地讲，数学中各种基本概念和基本算法，都可以叫做数学模型。狭义的解释，只有那些反映特定问题或特定的具体事物系统的数学关系结构才叫做数学模型[2]。因此，小学数学课本中的公式、定律、算法、函数、方程、概念等等都可以视作数学模型。

（二）数学建模

数学建模是构建数学模型的全过程（包括表述、求解、解释、检验等）。小学阶段研究的数学建模，是基于儿童视角，聚焦数学本质，让学生从现实原型或具体事例出发，发现并找出内在规律，通过数学符号将其转化为具体的数学模型并进行解释和运用，从而解决现实生活中存在的一系列实际问题的过程。

（三）模型思想

模型思想，是指首先将所研究和考察的实际问题化为数学问题，构造出相应的数学模型，然后对数学模型进行研究，使原来考察的现实问题得以解决的一种“数学化”[3]。

二、模型思想在小学数学教学中的方法论价值

数学方法论主要是研究和讨论数学的发展规律，数学的思想方法以及数学中的发现、发明与创新等法则。模型思想作为小学数学教学中一种基本的数学思想方法，具有重要的数学方法论价值。

（一）认识问题本质规律

世界上万事万物都存在其内在的规律，人们可对部分事物通过发现规律并加以总结，通过数学符号将其转化为具体的数学模型，从而解决现实生活中存在的一系列现实问题。洞穿表象，发现规律，刻画模型，解决问题，这就是模型思想的精髓所在。例如，18世纪初普鲁士的哥尼斯堡，有一条河穿过，河上有两个小岛，七座桥把两个岛与河岸联系起来。一个步行者怎样才能不重复、不遗漏地一次走完七座桥并回到出发点，这就是著名的“哥尼斯堡七桥问题”。数学家欧拉在亲自观察了哥尼斯堡七桥后，冥思苦想，不断探索，但一直未能成功，整整花了将近一年的时间，找到了这个问题的本质规律，巧妙地把它转化成一个一笔画的几何问题，建立了解决问题的数学模型，最终破解这个难题。正是这个小小的数学模型，后来却开创了拓扑学这一新的数学分支。借助数学模型，数学生物学家们还发现了一些十分有趣的自然规律。他们解释了为什么世界上有的动物的尾巴布满条纹而身上却布满斑点，但是没有哪只动物的尾巴布满斑点而身上布满条纹。

小学数学教材中的“鸡兔同笼”“烙饼问题”“植树问题”等都是典型的模型问题，内容本身十分有趣，符合学生的认知，同时贴近生活。教学中渗透模型思想，引导学生认识问题本质规律，往往都能达到良好的教学效果。部分小学数学教师在进行教学设计时往往对四维目标的认识不够，眼光仅局限于“知识与技能”目标上，从创设情境——探索新知——巩固练习，亦步亦趋。学生缺失了对于生活实物模型的认识以及探索规律、体会搭建模型的体验，有些设计中这些探索和合作仅拘泥于形式，没有真正深入实际去挖掘分析问题的内在规律，殊为可惜。

（二）提高数学化能力

数学的产生、发展本身就是一个“数学化”的过程。人类最初没有数的概念，从结绳记事、小木棍或小石块的组合慢慢产生数的概念，从点、线、面的运动变化逐渐产生几何体的概念，这就是“数学化”。数学的教与学通过“数学化”的方式来进行，让学生经历直观与抽象的嬗变，能够运用所学到的数学知识、技能以及方法，进一步观察、比较与分析现实生活中的实际问题，并在综合、类比、归纳的思辨过程中，发现其共性与规律，从而上升为数学的抽象与概括。“数学化”不仅将数学与有关的实际背景紧密联系起来，而且能使学生真正获得充满着生机与活力的数学知识，真正理解并学会运用这些知识。

在模型思想的培养过程中把数学与实际问题结合起来可以使实际问题数学化，而实际问题数学化是发现问题解决问题的方法和提高学生数学素质的一条有效途径。例如：求有一条边相等的两个长方形面积之和？模型实际上很简单，老师在教学过程中，引导学生经历从问题分析到类比推理，再到建立模型、解释应用的整个过程，并且不断赋予模型“生长”的力量，结合乘法分配律去分析，让带字母的分配律既根植于图形，又不局限于图形。它不仅可充分培养学生的“数学化”能力，而且展现了模型思想的无穷魅力。

当然，部分小学数学教师在教学中不明就里，碰到与生活实际相关联的问题，往往机械模仿，生搬硬套，不能由表及里，透彻理解问题实质，淡化了将“生活问题”进行“数学化”的处理过程。比如在某些问题计算的过程中仅仅强调计算方法的多样性，没有及时地理清模型搭建中的探究过程，缺少对算法多样化的规律和共性的分析与提炼，缺乏问题“数学化”的实质内涵。

（三）解决实际应用问题

在现代科技社会中，随着信息技术的发展，数学模型在数学学科中的地位显著提升，应用日益广泛，成功地解决了大量的实际问题。曾任世界数学联盟主席的D.Mumford在论述现代数学的趋势时说：“创建好的模型正如证明深刻的定理一样有意义。我想，承认这点，数学将会从中受益”。例如，随着计算机3D打印技术的发展，科学家已经能够模拟打印人体血管网，甚至人体器官，并临床应用于疾病治疗。数学模型还能使高速计算机在药物成分设计和染色体组织的分析方面得以广泛应用。美国等国家成功地利用超级计算机模拟代替核试验，使得设计周期大幅缩短，费用大大节约，安全可靠性得以提高。

在小学数学建模活动中，老师可以先让小学生解决他们在实际生活中遇到或见到过的问题，如帮妈妈上街买菜，网络购物或在线支付，自己设计喜爱的旅游路线，合理安排用餐和车辆，预测中奖的可能性等。老师带领学生从这些具体的生活体验出发，通过观察、分析、比较、综合、概括、抽象和必要的逻辑推理，提炼其本质，适时地上升为数学问题，总结出数量、单价、总价，速度、时间、路程等相互之间的关系式，构建出数学模型，解决具体的实际问题，然后再把它推广应用于更广泛的具体内容中去，形成初步的数学模型思想。通过数学建模，既能使小学生得到由现实问题抽象成数学问题的操作训练，又能让他们深切感受到数学的应用价值，增强数学的学习兴趣和应用意识，使儿童真正了解数学知识的发生过程，提高儿童分析问题和解决实际问题的能力。

（四）培养数学创新思维

创造性思维的核心就是发散思维。根据小学生思维的发展特点，数学教学渗透模型思想可以培养儿童从实际问题中发现规律、主动解决问题的能力，在主动思考解决问题的过程中锻炼他们的直观形象思维、发散思维。无论是在分析问题阶段、解决问题阶段还是验证问题阶段，学生的思维随着问题解决的渐进而一步步升华，充分调动了学生的自我思考性和对未知事物的创造性，并且这种创新思维的发生由浅入深、循序渐进。例如，传统的小学数学应用题教学，所给题目的条件和问题已经通过了筛选，呈现形式单一，结构封闭，内在完备无矛盾，所得结果往往也是唯一的。因此，解答应用题与解决实际问题存在很大的距离，探究性不强，学生的探究能力、创新思维得不到充分培养。小学数学应用题渗透模型思想，可极大地改变传统的教学法。首先是从现实生活背景中的实际问题中挖掘出全部有用的信息，探寻规律，构建为数学模型，接着用合适的数学方法对该模型进行求解，再回到现实中去检验。它充分体现了新课标对学生自主探究能力和创新精神的培养。

例如：一家修路的公司承包了一条长400米的高速公路。花了6天的时间修了高速公路的30%，继续按照这样的修路速度，还需要多久公司能修完这条路？

解法（1）：400÷（400×30%÷ 6）－ 6

解法（2）：（400－ 400× 30%）÷（400× 30%÷ 6）

解法（3）：1÷（30%÷ 6）－ 6

解法（4）：（1－ 30%）÷（30%÷6）

解法（5）：6÷ 30%－ 6

此题是小学数学中常见的行程问题，模型系统容易确定，但是路程和速度没有直接给出，教师抓住题目主干信息和问题实质，巧用一题多解的教学方法，构建了多样化的模型，在多种求解思路中让学生发现数学学习的趣味性，引导他们多角度、发散性地分析并解决问题，非常有利于学生创新思维的培养。

[1]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准：2011年版[S].北京：北京师范大学出版社,2013：5.

[2]张奠宙.小学数学研究[M].北京:高等教育出版社,2009：16.

[3]李明振.数学建模的认知机制及其教学策略研究[D].重庆：西南大学,2007：2.

Methodological Value of Modeling in Elementary Mathematics Teaching

ZENG Yu-hua,ZHENG Guo

（School of Mathematicsand Computational Science,Hunan First Normal University,Changsha,Hunan 410205）

The essence of the modeling idea is to allow students to abstract mathematical problems from actual backgrounds,build mathematical models,and solve problems using existing experience.The modeling idea is not only a basic method in mathematics,but also a strategy to solve problems.It is applied widely in finding the regularity,improving mathematical ability,solving the practical problem and cultivating innovative thinking in mathematics,which hasgreat methodological value in mathematics.

elementary mathematics;modeling idea;method theory;value

G622

A

1674-831X（2017）05-0023-03

2017-04-26

湖南省教育厅科学研究项目（15C0279）

曾玉华（1973-），男，湖南永州人，湖南第一师范学院副教授，博士，主要从事优化理论与方法、数学教育研究；郑果（1980-），女，湖南益阳人，湖南第一师范学院讲师，主要从事数学教育研究。

[责任编辑：胡 伟]