放慢教学，等待童心—整体设计小学数学研究作业，弥补知识点的散状割裂

江苏省苏州市金阊外国语实验学校 刘东卫

放慢教学，等待童心—整体设计小学数学研究作业，弥补知识点的散状割裂

江苏省苏州市金阊外国语实验学校 刘东卫

吴亚萍老师提出：“数学教材大多是把数学知识的整体划分成一个个知识点，以‘点’为单位，按知识点的难易程度来编排教学内容，要求教师根据知识‘点’的安排在‘课’时单位内进行教学。……教师只围绕‘点’就事论事……学生缺乏对数学知识形成发展过程来龙去脉的了解和把握。……更令人担忧的是，数学教学异化为单一解题教学的现象进一步被强化。……教师局限于‘点’进行备课的习惯方式，导致教师忽视‘点’背后的知识整体之间的结构关系。……于是，教学中割裂知识整体之间丰富内在关联的现象，也就在情理之中了。……”为此，笔者探索整体设计小学数学研究作业的实施，以此来弥补知识点的散状割裂。

一、放慢进度，以教材内容为基础适当补充知识的“来龙”

从知识点的数量上来看，教材给学生的理解应用制造了一定的困难；从编排意图来看，编者旨在整体呈现三角形和特殊四边形的面积计算方法，便于“转化”思想的渗透。吴老师犀利指出：教材的呈现方式把“结果形态”的符号化知识不加转化地直接搬进教材。作为一线教师深有同感，此几何单元忽略了四边形分类与图形特征之间的内在联系；三角形、四边形的“内角和”度数证明的动手操作，对面积计算推导的推波助澜。面积概念内涵的理解，对“平行四边形面积计算为什么与底和高有关”“三角形、梯形面积计算为什么要除以2”这两个问题的回答至关重要。

为弥补教材的“忽略”，笔者在教学平行四边形的认识之前，补充了研究作业，课题为：①根据三角形按边、角分类，对四边形进行分类；②根据你的分类剪三角形、四边形若干个（提示：三角形剪不少于3个，四边形不少于8个）；③利用你剪的三角形、四边形，动手操作证明三角形和四边形的内角和是多少度。以下为学生的研究过程，我们可以看到学生将边的特征会与角的特征综合思考进行分类，如：

四条边相等自然会想到四个角也相等，“正方形”呼之欲出，在课堂教学反馈时，教师利用吸铁小棒教具，让学生聚焦边的特征，即一个空心的四边相等的四边形。在搭建小棒的过程中，四边形的易变特性凸显，如果任意拉动四条边，学生就会发现四边形内角有对角相等的规律。孩子们惊呼：是菱形嘛！又有学生感叹：那不也是平行四边形嘛！由此我们可以感悟：学生对于“下位概念”的认知优先于“上位概念”，如果就事论事地教学“下位概念”的内涵与外延，其实是在重复孩子的原有学习状态，“枯燥感”不言而喻。因此笔者非常崇拜吴老师提出的观点：寻找图形的特性和共性的过程，……有利于促进学生形成具有穿透力的敏锐眼光，……还要补充一句：教师的教学热情被孩子们的灵光闪现而点燃！

二、给足时间，以学生的起点为本体设计“因人而异”的研究作业

就上一论点的结尾，放慢教学进度的目的在于给足学生研究的时间，这个时间的充裕不能片面地说是把课堂的40分钟还给学生。如果这些研究课题能在若干个40分钟内解决，那是不现实的。笔者以自己任教学生的实际起点为本，不断调整研究作业的实施。如右图是两位学生的研究作业，完成得十分出色，而她们都是性格内敛的女孩，在课堂中羞于大胆发言，表明观点。如果把研究作业设置在家庭作业中，那么这些不张扬的孩子们更能通过文字图形尽情研究，展现自己的才华。笔者发现整个班级至少有三分之一的孩子是适合家庭研究作业的。以上左图是小赫同学在研究了三角形、四边形的内角和后，拓展了六边形内角和的研究。笔者问她：“为什么不研究五边形的内角和？”她说：“在动手操作移拼的过程中无法拼出两个周角，六边形正好能实现。”小顾同学提示：“因为四边形可以分割成两个三角形，一个三角形的内角和是180°，那么四边形内角和就是180°×2=360°；以此类推，五边形可以分割成四边形和三角形，那么五边形内角和是180°+ 360°=540°。何必再用剪拼的方法拓展证明呢？”这样的生生互动，让大家热血沸腾。小顾又说：“老师，我忽然想到等差数列的公式可以通过多边形内角和的规律进行验证，我也明白了奥数老师教的公式了，根本不需要背嘛！”

给足时间让孩子专注研究平面图形的内角和，为后续学习图形面积的计算提供了更广阔的思路。就如上右图小隽同学，她在研究三角形内角和的第一种方法，通过折的方法，将三个角拼合成平角。不要小看她的方法，这个方法给其他同学开拓了面积计算的推导过程。如右图是小枫同学受到启发后的验证，笔者利用他的思考过程引导学生互动：三角形的面积包含了两个相同长方形的面积，这个长方形的长和宽分别是三角形底和高的一半，即：因为S长方形=(a÷2)×(h÷2)，又因为S三角形=2S长方形，所以S三角形=(a÷2)×(h÷2)×2，化简后的三角形面积计算公式：S三角形=(a÷2)×h。

三、静心关注，以学生在过程研究中的“智慧火花”为教学资源进行深度开发

还是以面积计算推导为列，学生对“面积”的概念的理解还是有障碍的，特别是面积单位的理解还停留在表层。为此，笔者设计了研究作业：回忆长方形面积计算猜测平行四边形面积如何计算？前文中小隽的思考给了大家一个参考：平行四边形有斜边，是否能用“正三角形”作为面积单位来测量面积？这个猜想让我想到潘晓明老师关于平行四边形面积的教学案例中，提到有的同学认为平行四边形的面积与两条边有关，通过验证此猜想不成立，平行四边形的面积与一条边和它所对应的高有关。当时，我阅读后，对教师的处理与学生的辩驳一直都没有理解，在当时自己任教的班级里尝试后也感觉是“囫囵吞枣”。时隔四年，小隽同学给了我很大的启发，现在做以下梳理：由于面积单位是规定单位的正方形，即边长为1厘米、1分米、1米等的正方形，因此长方形的面积可以用正方形的方格纸直接测量；而平行四边形有半格现象，所以孩子会自然而然地想到改变面积单位的形状，用正三角形作为面积单位，可以得到整数个的面积单位。之后她又自我改变了思路，这样的面积个数与边的长度无关，无法通过长度的乘积得出面积单位的个数。除了用规定单位的正方形作为面积单位，在实际生活中还会用正圆来做面积单位解决实际问题。就如苏教版中一个练习：这样的8堆木材，一共有多少根？

笔者提示：这些木堆的横截面是梯形，木棍的横截面是正圆，并且有规律地平铺于梯形的表面，那么木棍的根数与梯形的面积有关。再请学生独立思考：求梯形面积所需的条件，上下底的根数以及层数。

四、开拓视野，帮助学生提炼数学知识的发展过程

通过阅读吴老师撰写的《新基础教育数学教学改革指导纲要》中关于三角形、平行四边形、长方形、梯形面积之间互相转化的指导，以及整体的归纳。忽然明白自己的“小打小闹”如果没有全局观的统领，那么孩子对数学知识的发展过程将是“一知半解”的。因此笔者布置了研究作业：运用转化的思想推导三角形、梯形的面积计算公式，其中两位学生的梯形面积推导值得一提，精彩在于中位线的认识与理解，对学生面积计算的推导证明有着推波助澜之力。梯形面积计算的方法得以拓展，即：中位线×高。

就以上观点综合所述，“急生活，让我们丢了生活”，那么操之过急的教学，会让我们迷失孩子本真。他们的“真心”需要我们教者放慢自己行走的速度，和“蜗牛”一起牵着走。