运动多平台加权辅助变量时差连续定位算法

骆卉子，曲长文，徐征

(海军航空工程学院 电子信息工程系， 山东 烟台 264001)

运动多平台加权辅助变量时差连续定位算法

骆卉子，曲长文，徐征

(海军航空工程学院 电子信息工程系， 山东 烟台 264001)

针对已有时差(TDOA)定位模型通常需要引入一个恒定中间变量而不适合运动多平台连续定位的不足，推导了三维空间中无需中间变量的TDOA定位模型并在此基础上提出了一种加权辅助变量(WIV)连续定位算法。该算法首先推导代入TDOA测量值后新定位方程的误差项，求得误差项的协方差后将其用于构造最优辅助变量(IV)矩阵，并采用总体最小二乘(TLS)算法的估计值计算次优IV矩阵。仿真结果表明，所提WIV算法能够有效实现运动多平台TDOA连续定位。

定位；多平台；时差；三维空间；加权辅助变量；总体最小二乘

0 引言

无论在军事还是民用领域，位置信息是人们获取电磁辐射源信息时首先考虑的因素。无源定位具有隐蔽性好、作用距离远等优点，已成为目标定位领域的重要手段。现代无源定位系统常采用运动多平台作为定位平台[1-2]，因其机动灵活性强、具有信息融合能力且可实现侦察平台与攻击平台一体化。此外，高精度的时差(time-difference-of-arrival,TDOA)定位体制[3]在这些系统中得到广泛应用。

具有闭式解的无偏算法是已有TDOA定位算法的研究重点，此类算法需要得到伪线性定位方程，然而TDOA方程的高度非线性导致难以利用简单数学变换得到其伪线性方程。文献[4]提出了两步最小二乘(weighted instrumental variable,WLS)定位算法，需要引入目标到参考平台的径向距离作为中间变量与待估目标状态一起构成扩维状态向量，中间变量的引入导致算法需要两步求解过程，增加了算法的复杂度。此后，对该算法的推广应用及改进成为研究主流[5-8]。然而，上述算法只适用于运动多平台单次TDOA定位，当利用观测量的累积来连续定位时，目标到参考平台的径向距离时刻在变化，不存在恒定的中间变量，因此无法直接应用上述算法。文献[9-10]提出利用递推最小二乘(recursive least squares, RLS)平滑上述算法的单次定位结果来实现连续定位，定位性能不够理想。尽管非线性滤波算法[11-12]也可用于TDOA连续定位，但需初始状态估计，在能获得闭式解的情况下通常不采用此方式。

文献[13]推导了一种直接关于目标位置的时差单次定位模型，在修正该模型并将其推广到连续定位场景后，文献[14]提出了一种无需中间变量的约束加权最小二乘(constrained WLS, CWLS)连续定位算法。该算法将文献[13]所推导的模型简化到二维空间中，实际上，时差观测量反映的是观测平台与目标在三维空间中的相对位置关系。此外，该文献所提CWLS算法复杂度高，不利于工程应用。

针对上述问题，本文推导三维空间中无需中间变量的TDOA定位模型，在此模型提出加权辅助变量(WIV)TDOA连续定位算法，最后对所提算法性能进行了理论分析与仿真验证。

1 TDOA定位模型

(1)

式中：

tij=ti-tj,i≠j,i,j=1,2,…,N；

i=2,3,…,N.

ti2的存在使得模型中存在冗余信息且分母为时差不利于推导，由定义易知ti2=ti1-t21，将其带入式(1)并在方程两边同乘以ct21ti1(i=3,4,…,N)可得式(1)的修正式是

(2)

2 加权辅助变量定位算法

WIV算法可以视作对最小二乘(least squares, LS)算法的改进，下面首先给出TDOA定位的LS解。k时刻TDOA测量值ri1可表示为

(3)

εk=gk-Aku.

(4)

当获得k时刻观测量时可利用前k时刻观测量来改善定位精度，此时定位方程可写为

ε=g-Au,

(5)

ATAuPLE=ATg.

(6)

(7)

εk=Cknk，

式中：

Ck=(c1,c2)；nk=(n21,n31,…,nN1)T；

c1=(c11,c21,…,c(N-2)1)T；

c2=diag(c12,c22,…,c(N-2)2)；

i=1,2,…,N-2.

(8)

(1) 获得直到k时刻的观测矩阵A及观测向量g，求得目标位置的TLS解uTLS；

(3) 求得目标位置的WIV解

uWIV=(GTA)-1GTg。

根据不同时刻观测量相互独立的特点，采用式(9)计算uWIV可以大大降低了算法计算量。

(9)

3 仿真校验

为更好地体现本文所提算法的性能，现将已有常用算法进行优缺点分析，如表1所示。

表1 各常用算法的比较

对本文所提WIV算法的性能进行仿真分析。假设5个运动平台采用TDOA体制对地面固定辐射源定位，初始状态如表2所示，其中，位置分量单位为km，速度分量单位为m/s，观测时间为50 s。目标位于(100,200,0) km处。

表2 各平台初始状态

为衡量算法定位性能，定义算法对目标位置估计的评价标准为均方根误差(root mean square error, RMSE)及偏差(bias)，其定义为

(10)

(11)

将文献[9-10]算法(在下文中称为基于RLS的算法，单次定位算法采用TS-WLS算法)、WLS算法与本文所提WIV算法进行比较，其中，用TLS算法计算IV矩阵的算法称为WIV(TLS)算法，用LS算法计算的则记为WIV(LS)算法，算法比较结果如图1～2所示。σi取20 ns及100 ns，分别对应测量精度较高及较差的情况。

图1 算法性能比较(σi=20 ns)Fig.1 Performance comparison of algorithms (σi=20 ns)

图2 算法性能比较(σi=100 ns)Fig,2 Performance comparison of algorithms (σi=100 ns)

由图1，2可知在测量精度较高时，LS算法及TLS算法定位性能相当，导致2种形式的WIV算法性能相同。随着测量精度变差，在跟踪初期观测量较少时LS算法的偏差明显，导致定位性能较差，因此WIV(TLS)算法在跟踪初期性能明显优于WIV(LS)算法，验证了本文采用TLS算法计算次优IV矩阵的有效性。本文所提WIV算法性能要明显优于WIV(LS)算法及基于RLS的算法，因为WLS算法是有偏估计，而基于RLS的算法平滑本就不准确的单次定位解，只能在一定程度上改善定位性能，而不能有效利用时间积累来大幅提高定位性能。

为进一步说明算法性能，下面考察算法性能随TDOA测量误差标准差的变化趋势，取σi=20～200 ns，观测时间为20 s，其余参数如前所述，结果如图3所示。

图3 算法性能随σi变化示意图Fig.3 Schematic diagram of algorithm performance as σi changes

由图3可知，随着σi增加，除了WIV(TLS)算法性能稳健外，其余算法性能迅速变差，也进一步验证了当测量精度较差时次优IV矩阵的计算方法对WIV算法性能有较大影响。由图可知相比LS算法，本文采用TLS算法计算IV矩阵优势明显。

4 结束语

传统的TDOA定位模型需要引入恒定中间变量，适合单次定位，无法直接应用到运动多平台TDOA连续定位中，因为此场景中无法得到恒定中间变量。本文推导了三维空间中无需中间变量的TDOA定位模型，并提出了一种WIV算法，利用TLS算法来计算次优IV矩阵，算法复杂度低且性能较好。仿真结果验证了所提算法的有效性。

[ 2] 郁春来, 张元发, 万方. 无源定位技术体制及装备的现状与发展趋势[J]. 空军雷达学院学报, 2012, 26(2): 79-85. YU Chun-lai, ZHANG Yuan-fa, WAN Fang. Actuality and Development Trend of Passive Location Technical System and Equipment [J]. Journal of Air Force Radar Academy, 2012, 26(2): 79-85.

[ 3] LIANG Qi-lian, ZHANG Bao-ju, ZHAO Cheng-lin, et al. TDOA for Passive Localization: Underwater Versus Terrestrial Environment[J]. IEEE Transactions on Parallel and Distributed Systems, 2013, 24(10): 2100-2108.

[ 4] CHAN Y T, HO K C.A Simple and Efficient Estimator for Hyperbolic Location [J]. IEEE Transactions on Signal Processing, 1994, 42(8):1905-1915.

[ 5] HO K C. Bias Reduction for an Explicit Solution of Source Localization Using TDOA [J]. IEEE Transactions on Signal Processing, 2012, 60(5): 2101-2114.

[ 6] LIN Lan-xin, SO H C, CHAN F K W, et al. A New Constrained Weighted Least Squares Algorithm for TDOA-Based Localization [J]. Signal Processing, 2013, 93(11):2872-2878.

[ 7] RUI Li-yang, HO K C. Efficient Closed-Form Estimators for Multistatic Sonar Localization [J]. IEEE Transactions on Aerospace & Electronic Systems, 2015, 51(1): 600-614.

[ 8] YANG Kai, AN Jian-ping, BU Xiang-yuan, et al. Constrained Total Least-Squares Location Algorithm Using Time-Difference-of-Arrival Measurements[J]. IEEE Transactions on Vehicular Technology, 2010, 59(3):1558-1562.

[10] LEE K, OH J, LIM M, et al. Recursive Solution of Position Determination Problem Using Time Difference of Arrival Method [J]. International Journal of Control & Automation, 2014, 7(6):65-74.

[11] OKELLO N, FLETCHER F, MUICKI D, et al. Comparision of Recursive Algorithms for Emitter Localization Using TDOA Measurements from a Pair of UAVs[J]. IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems, 2011, 47(3): 1723-1732.

[12] 蔡宗平,牛创, 戴定成. 基于简化CKF的IMM算法[J].现代防御技术, 2015,43(6):99-103. CAI Zong-ping, NIU Chuang, DAI Ding-cheng. Interacting Multiple Model Algorithm Based on Simplified Cubature Kalman Filter[J].Modern Defence Technology, 2015,43(6): 99-103.

[13] BAKHOUM E G. Closed-Form Solution of Hyperbolic Geolocation Equations [J]. IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems, 2014, 62(21): 5652-5662.

[14] 徐征, 曲长文, 骆卉子. 无需中间变量的多运动站时差定位新算法[J]. 航空学报, 2014, 35(6):1665-1672. XU Zheng, QU Chang-wen, LUO Hui-zi. Novel Multiple Moving Observers TDOA Localization Algorithm without Introducing Intermediate Variable [J]. Acta Aeronautica et Astronautical Sinica, 2014, 35(6): 1665-1672.

[15] ZHANG Yun-jun, XU Guo-zhong. Bearings-only Target Motion Analysis via Instrumental Variable Estimation [J]. IEEE Transactions on Signal Processing, 2010, 58(11): 5523-5533.

[17] WENG Yang, XIAO Wen-dong, XIE Li-hua. Total Least Squares Method for Robust Source Localization in Sensor Networks Using TDOA Measurements [J]. International Journal of Distributed Sensor Networks, 2011(3): 1063-1067.

[18] 张贤达. 矩阵分析与应用[M]. 北京: 清华大学出版社, 2004. ZHANG Xian-da.Matrix Analysis and Application[M].Beijing:Tsinghua University Press, 2004.

Weighted Instrumental Variable Algorithm for Moving Multi-Platform TDOA-Based Continuous Localization

LUO Hui-zi, QU Chang-wen, XU Zheng

(Naval Aeronautical and Astronautical University,Electronic and Information Engineering Department, Shandong Yantai 264001， China)

Existing time-difference-of-arrival (TDOA) localization model usually needs to introduce an intermediate variable and thus is not suitable for moving multi-platform continuous localization. To solve this problem, a TDOA model in 3-D space is deduced which doesn’t need any intermediate variable and a weighted instrumental variable (WIV) is proposed based on it. The proposed algorithm first deduces the error item of the new localization equation after substituting the true TDOA for its measured counterpart. The covariance of the error item is deduced to construct an optimal instrumental variable (IV) matrix and the total least squares (TLS) algorithm is used for sub-optimal IV matrix calculation. Simulation results show the effectiveness of the proposed WIV algorithm for moving multi-platform TDOA-based continuous localization.

positioning(localization)；multi-platform；time difference of arrival(TDOA)；three dimensional (3-D) space；weighted instrumental variable(WIV)；total least squares(TLS)

2016-03-23；

2016-04-08 基金项目：泰山学者建设工程专项经费资助 作者简介：骆卉子(1985-)，女，山东烟台人。博士生，主要从事无源定位跟踪技术研究。

10.3969/j.issn.1009-086x.2017.01.022

TN953; TP391.9

A

1009-086X(2017)-01-0126-06

通信地址：264001 山东省烟台市二马路188号海军航空工程学院电子信息工程系电子对抗教研室

E-mail：jessica_lhz@163.com