恒成立问题的求解策略

杨道坦+杨英辉

恒成立问题是指题设中含有恒成立条件的问题，此类问题具有“变”中“不变”的特点，题型涉及函数的图像和性质，渗透着数形结合、转化与化归、函数与方程等思想方法，有利于考查学生的综合解题能力。本文对常见的恒成立问题的求解策略进行归类与解析，以飨读者。

一、构造函数法

例：设集合P={m|-1

A. PQ B. QP C. P=Q D. P∩Q=?

分析：不等式与函数关系密切。遇到不等式问题时，可考虑构造相应的函数来解决问题。

解：构造函数f（x）=mx2+4mx-4，对其函数类型进行讨论：

当m=0时，f（x）=-4<0恒成立；当m≠0时，f（x）=mx2+4mx-4<0恒成立m<0且?=（4m）2+16m<0，即-1

评注：构造函数法是解决不等式恒成立问题的常用方法。本题的易错点是容易忽略m=0的情况，习惯地将f（x）视为二次函数，从而出现漏解情形，容易错选为C。

一般情况下，这种题型的解题步骤是：先构造函数f（x）=ax2+bx+c。

ax2+bx+c>0恒成立a=b=0，c>0或a>0，?<0；

ax2+bx+c<0恒成立a=b=0，c<0或a<0，?<0。

变式研究：求使不等式mx2+4mx-4<0对任意实数m∈〔-1，1〕恒成立的条件。

分析：解此题时不要思维定势，应换位思考，把不等式mx2+4mx-4<0视为关于m的不等式。将所求范围的参数视作已知量，将已知范围的参数视作参变量，从而构成新的函数解析式。

设f（m）=mx2+4mx-4=（x2+4x）m-4，m∈〔-1，1〕

f（m）<0，m∈〔-1，1〕恒成立

解得-2-2

评注：本题看上去是一个不等式问题，但是经过等价转化，我们把它化归为一个非常简单的函数问题。一般情况下，构造函数f（x）=ax+b。

二、分离参变量法

例：已知c>0，设P：函数y=cx在R上为减函数，Q：关于x的不等式x+|x-2c|>1的解集是R，如果P和Q中有且仅有一个正确，求c的取值范围。

分析：若在等式或不等式中出现两个变量，其中一个变量（非参变量）的范围已知，则可以通过恒等变形将参变量和非参变量分别置于等号或不等号的两边，转化成求函数的值域问题。

三、构造恒等式法

例：设A、B是抛物线y2=2px（p>0）上异于原点O的两个不同点，直线OA和OB的倾斜角分别为α和β，当α，β变化且α+β=时，证明直线AB恒过定点，并求出该定点的坐标。

分析：设A（x1，y1），B（x2，y2）由题意得x1，x2≠0，又直线OA，OB的倾斜角α，β满足α+β=，得0

将y1+y2=，y1·y2=代入上式整理化简，得b=2p+2pk，此时直线AB的方程可表示为y=kx+2p+2pk，即k（x+2p）-（y-2p）=0。

等式k（x+2p）-（y-2p）=0是不随着k的变化而变化的恒等式，故，故直线AB恒过定点（-2p，2p）。

评注：解本题的关键是抓住A、B两点的“变”中有α+β= “不变”的特点，以等式为载体，构造关于k的恒等式，在恒等式中比较等式兩边的系数，列方程组进行求解。