高中生导数学习的困难及其教学策略

吕娜 李三平

摘 要：“导数及其应用”不仅是高等数学微积分的核心内容之一，而且我国在2003年进行了新课改后，将这部分内容也列入到了高中数学的课程中。尤其是在近几年的高考试卷中，常常作为压轴题出现，分值大，题目灵活性强。大部分学生得分低，有些老师对这部分内容的教学也表现出无力感。本文分析了高中生学习导数时的困难，并提出了相应的教学策略。

关键词：高中生；导数；困难；教学策略

导数的发现不仅将数学研究推向一个新的高峰，对数学领域外的自然领域，以及现代科学技术也起到了促进作用。2003年我国进行的新课程改革，在《普通高中数学课程标准（实验稿）》中将“导数及其应用”加入到了高中数学课程中。

通过跟踪一些学生学习导数时的情况，并和一线教师的交流发现，学生在学习导数时存在不同方面的问题和困难。

一、 学习导数时的困难分析

（一） 导数概念理解的困难

导数概念的引出是一个由平均变化率到瞬时变化率的过程，这种“无限逼近”的思想是学生以前没有接触过的。但是，大部分学生认为导数学习就是“套公式做题”，对于导数概念的理解非常模糊。有的学生认为，导数内容很抽象，即使不理解也无所谓，仅仅是对导数的定义进行死记硬背。还有的学生认为，导数就是某一区间上的平均变化率

。

此外，教师在导数的教学过程中，也将重点放在计算和练习上，忽略了导数概念的生成过程，导致学生对导数概念的探究失去了兴趣和积极性。

下面展示学生在做一道关于导数概念题时的一种做法。

例1 已知函数f（x）=12x4-23x3+4，求limΔx→0f（2+Δx）-f（2）2Δx。

解：因为f′（x）=2x3-2x2，所以，原式=f′（2）=8。

可以看出，由于学生只是对导数定义的死记硬背，所有当导数定义的形式稍微有一些变化时，便不能很好地应对。

（二） 导数几何意义理解的困难

导数的几何意义是指切点处切线的斜率，它是每年高考的常考内容。通常从两个方面进行考察：一是已知切点求切线方程；二是已知切线方程求切点参数的值或曲线方程。在此类问题的考察中，学生易将“过点A的曲线的切线方程”和“在点A处的切线方程”混为一谈，把前者的A点也直接作为切点来处理。

如，辽宁省2014年的一道高考题时，学生就出现了这样的问题。

例2 若存在过点O（0，0）的直线l与曲线f（x）=x3-3x2+2x和y=x2+a相切，a的值是

。

学生1：因为点O在曲线f（x）=x3-3x2+2x上，所以直线l与y=f（x）相切于点O。

则k=f′（0）=2，直线l的方程为y=2x。

又因为直线l与y=x2+a相切，所以x2-2x+a=0满足Δ=4-4a=0。

所以a=1。

学生2：当点O（0，0）不是切点时，无法与导数的几何意义构造起来。

可以看出学生片面地理解了“存在过点O（0，0）的直线l与曲线f（x）=x3-3x2+2x相切”。事实上，这里有两种可能：点O是切点或点O不是切点。

（三） 导数应用的困难

导数是研究函数的有力工具，它的应用十分广泛。高中阶段导数的应用主要体现在讨论函数的单调性以及函数的极值等方面。

（1）单调性问题

单调性是导数几种应用中最基本也是最重要的内容，因为函数极值和最值得考察都离不开单调性。利用导数讨论函数单调性或求函数的单调区间是导数最重要的应用之一。学生在利用导数解决函数单调性时存在以下两方面的问题。

①不理解导数与函数单调性关系

学生对于单调性和导数之间的关系不清楚，导致学生在理解用导数的正负判断函数单调性时会出现障碍。

②对函数单调性的充要条件不理解

學生对于导数和函数的单调性的关系中条件的充分性与必要性容易混淆。

同样的，以一些学生在考查关于单调性问题时的做法为例。

例3 求实数b的取值范围，使得函数f（x）=（x2-4）（x-b）在[-2，2]上递减。

解：f′（x）=3x2-2bx-4，

因为函数f（x）=（x2-4）（x-b）在[-2，2]上递减，

所以f′（x）=3x2-2bx-4<0在[-2，2]上恒成立，

所以，f′（2）<0

f′（-2）<0

8-4b<0

8+4b<0

解得：b>2或b<-2。

可以看出，学生错将f′（x）>0（<0）当做了y=f（x）单调递增（递减）的充要条件。而y=f（x）在区间A上单调递增（递减）的充要条件是f′（x）≥0（≤0），并且在区间A的任一子区间不恒为0。

（2）极值问题

学生在极值的学习时存在两个方面的问题。一方面，学生容易将f′（x0）=0作为可导函数f（x0）在x=x0处有极值的充分条件。另一方面，有的学生将函数极值和最值的概念混淆，把求得的极值作为了函数的最值。极值是指函数在某一点附近的最值，但它不一定是整个区间上的最值。考察函数最值时区间端点的函数值也需要考虑。

二、 针对高中生“导数及其应用”学习困难的教学策略

（一） 优化学习环境，提高学习的兴趣

兴趣是学习最好的催化剂，而要提高学生学习导数的兴趣，就要创设良好的数学学习环境，包括外部环境，如教学环境和内部环境，学生的心理状态等。长期以来，数学教学基本上是采用讲解法，学生的任务好像只是在听，他们无法真正地参与到课堂中。在导数教学中，要创设良好的外部环境，努力使教学内容与教学方式丰富饱满。

（二） 渗透数学史及相关数学故事，从而激发求知欲

学生之所以认为数学是枯燥的，是因为数学逻辑性，严谨性强，与丰富多彩的现实生活有所不同，缺乏人文色彩。在导数教学中，教师可以向学生们介绍数学史中关于微积分的故事，一方面，这种教学方式的改变会让学生感到焕然一新，提高学习导数的兴趣。另一方面，微积分的建立经过几百年，其中有很多小故事值得探究，向学生介绍牛顿等人探究微积分的历程，不仅可以提高他们的数学素养，还可以激励他们好好学习导数。

（三） 重视知识的生成过程，强调本质

知识的生成过程，实际上就是知识的来龙去脉。数学首先是一门科学，其次才是一门学科。而数学作为一门学科，它当中的内容是经过归纳，提炼，精简后得到的，而课程安排的学习过程和人类最初探索这些问题时的过程刚好是相反的。教师不仅要让学生知道结果，而且要懂得结果的产生过程、结果的意义，感悟数学的精神、思想和方法。“导数及其应用”作为高等数学微积分课程下放到高中数学中，应该更加注重知识的生成过程。导数是微积分的基础和核心，理解并掌握导数的概念，以及概念的生成所反映的数学思想方法，是学习这部分内容的关键。

（四） 提高数学符号的识别能力，解决语言转换的问题

大部分的高中生数学阅读能力差，在语言转换方面存在问题，导致在学习导数和解决导数相关的问题时存在很多的障碍，因此提高学生的数学阅读能力和语言转换能力是解决学生学习导数困难的一个重要的教学策略。

在学习导数的概念时，不仅要强调导数的语言表述，还要注重导数的符号表示，以及导数表达式的变形。同时教师要结合学生的实际生活，多举一些现实生活中的例子，把抽象的概念转化为学生容易理解的一般性概念。如让学生体会瞬时变化率时，不要将背景仅仅局限在瞬时速度上，可以多举一些学生熟悉的或生活中的例子，如国内GDP的增长率，出租车的收费关于里程的增长率……这样在函数知识的正迁移下，学生就可以比较容易地表示出一般函数f（x）在x=x0处的瞬时变化率。

参考文献：

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[4]宋宝和.变化率思想：高中开设微积分课程的价值[J].课程.教材.教法，2006，（09）：44-47.

作者简介：吕娜，李三平，陕西省西安市，陕西师范大学数学与信息科学学院。