学生内省驱动下的生成课堂

江苏省南通中学 李维坚

学生内省驱动下的生成课堂

江苏省南通中学 李维坚

汉语中“省”这个字是个多音字，而数学的学习与这个字息息相关。省（xǐng）：一者，吾日三省吾身，注重学习的反思反省；一者，注重自我的内省驱动。省（shěng）：减少，精简，不断优化数学思维方式。

高中数学教学是一个多维、渐进、多层次的空间序列。千姿百态的生成性资源产生于师生的知识、思维、智慧、情感等多种因素的交织互动。有些优质有效资源是可遇而不可求的，它稍纵即逝。假如教师能按照学生认知的曲线、考虑思维的张度、情感的特征，在围绕教学目标精心预设的基础上，开展学生内省驱动下的生成课堂，以个人扎实的基础和灵动的教学机智将那些意料之外的包含价值的生成资源敏锐捕捉，并合理有效地纳入教学现场，组织新的教学流程，则能让课堂教学更贴近每个学生的实际状态，能让学生兴致高涨、思维盎然，能让师生、生生有效互动，创造的火花不断涌现，新的思路、不同的见解层出不穷，这样的生成课堂才见其精彩有效之处。

一、珍视学生内省驱动中的错误悬念，诱导真知灼见

内省驱动下，学生犯些错误是正常的，因为学习本身就是一种通过反复思考招致错误缘由并逐渐消除错误的过程。既然学生犯错误是一种普遍且无法回避的事实，我们就应该理性对待生成的错解，主动探知出错的原因，深层次地挖掘错解的教学功能，这样才有助于提高数学课堂的教学效率。建构主义认为学习过程重在质变的过程，而非单一的量变过程，这一过程中就包含了错误的出现、错因的分析、错解的更新。数学教学的一项重要内容就是“纠错”，纠错能力又是数学能力的一个重要构成。在不断的纠错过程中，思维的正确性、严谨性、完整性和批判性就生机勃勃地发展起来了。在动态生成的数学课堂中，解题思路、解题方法瞬息万变，灵感不断，很多是师生各自或彼此受到启示的即兴之作，但因受到年龄特征、心态情绪、知识储备、思维模式等各种因素的影响，一些偏颇的想法、缺陷，甚至错误都有出现的可能，但这不妨碍这些错误资源的价值利用度。

比如在讲授《线性规划》这节课时，面对两个关于x，y的二元一次不等式，求解第三个关于x，y的二元一次代数式的范围问题时，绝大部分教师都会面对学生的一种错误处理：将已知的两个不等式利用不等式的性质变形相加，得到第三个不等式的范围。这种处理一般求出的都是必要条件，放大了范围。如果教师仅仅宣布该解法的错误而不去挖掘错因，不去利用错解，那么就失去了一次很好的生成机会。错因的挖掘和分析可以让学生明确如何等价利用不等式的性质；而错解的利用则可以挖掘出除了线性规划以外的另一种方法：即将已知的两个关于x，y的二元一次代数式分别看为一个整体，用它们去表示第三个关于x，y的二元一次代数式。笔者讲授时，还让学生类比了平面向量基本定理，这个二元变量的转化过程本质上是一样的。虽然是教学目标为“线性规划”的课，但是笔者认为这样的生成并没有浪费时间，反而加深了学生对数学的理解，因而后来学生在面对2010年江苏省高考数学卷的一道填空题时，几乎无困难地解决了问题。因此教师应学会直面并审视错误，宝贵的教学资源也许正蕴含在这些错误资源之中。

二、捕捉瞬间直觉，激发思维灵感

教育家苏霍姆林斯基曾说：“教育的技巧并不在于能预见到课的所有细节，而在于根据当时的具体情况，巧妙地在学生不知不觉中作出相应的变动。”因此，教师应审时度势、顺势引导，把学生的直觉化成充满灵气和创造性的教学资源，让其在课堂中熠熠发光。倘若断然否定、视而不见、置之不理，就将错失一个绝佳的生成契机。

比如《几何概型（二）》这个案例：假设你家订了一份报纸，送报人可能在早上6:30～7:30之间把报纸送到你家，你父亲离开家去工作的时间在早上7:00～8:00之间，问你父亲在离开家之前得到报纸(称为事件A)的概率是多大？

笔者在第一个班授课时，当这个问题提出后，学生很快展开了思考。有4个同学说出了自己的答案，在他们的解答过程中，无一例外均是以长度为测度来进行计算的。4个人中有三个人的答案是错误的，但是一个同学的答案却是正确的。笔者当时心里咯噔了一下，怎么办呢？笔者在预设中从没想过这道题的一维解决方案，到底这个学生的答案是凑巧得出的还是有合理的理由呢？沉思片刻，笔者让这个学生说出了自己的式子。

生1：

笔者请生1具体阐述一下来龙去脉，可惜生1的表达让人不知所以然。笔者按捺住心中的疑惑，让学生一起来研究，同时赢得了时间，自己也开始了对这个解法的重新认识。观察这个式子，生1应该是从反面考虑这个问题的，也就是父亲拿不到报纸的概率是那么这个式子是什么意思呢？笔者积极地思考起来，忽然间豁然开朗了，感觉这个式子是很有道理的。此时笔者看到下面有学生举起了手，于是笔者请他发表自己的看法。

生2：父亲拿不到报纸的情况必须满足以下条件（笔者暗忖，和自己的想法差不多）：

（1）相对于送报人，送报人的时间是7:00～7：30之间，这个时间段占6:30～7：30这一个小时的

（2）相对于父亲，送报人送了报纸但是父亲却离开家的时间是在7:00～7：30，这个时间段占7:00～8：00这一个小时的

（3）相对于两者而言，送报人必须在父亲离开后送到，这样先后的概率又是

此时笔者心中很兴奋，但是新的矛盾又来了，笔者又很困惑，有三个问题需要笔者面对：第一：这个解答是走了正难则反的路，那么如果从正面走，能够直接加以解答吗？第二：这种方法能成为解决这类问题的通法吗？第三：笔者的教学任务还没有完成，教学目标还没有完全实现，即建立二维坐标系来解决这种二元变量的问题。

很短的时间内，笔者决定把第一个和第二个问题抛给学生，让他们课后去思考这两个问题，而把第三个问题在课堂上解决掉。

但此时对于为什么要建二维坐标系来解决这个问题，笔者显然没有很好的说服力。虽然后来用二维的思想，顺利地完成了后来的教学，但自己感觉很不满意。于是在去第二个班授课之前，根据第一个班的意外生成，还来不及总结这个意外的生成，笔者对教案做了调整。决定在这个送报的例题之前加入一个例题，换一种教学情景，把教学生长点建立在学生的认知冲突上，让学生在最近发展区内主动思考，积极探索，而不急于去拓展学生的认知结构。

从个人知识水平上来看，学生已学过测度是一维的几何概型的问题（比如长度），但却未遇见这类有关二元变量的几何概型问题，学生很自然会希望用一维的几何概型来解决此问题，因此生1、生2的理解虽然出错，但却是在情理之中的，而生3发现的分析又指出了生1、生2的破绽。在学生的思维陷入了强烈的矛盾冲突中，又苦于找不到解决眼前问题的办法之时，教师应充分发挥主导作用，合理利用这一认知冲突，提高学生的思维能力，让课堂有效生成。

笔者提示道：这里涉及两个变量x，y，而且你们已经用不等式将它们的关系表示了出来，满足而一维的数轴无法描述这两个变量之间的关系，那我们可以借助怎样的工具来刻画它们的关系呢？

在二元变量范围问题的刻画上，类比线性规划知识，学生联想平面直角坐标系是刻画x，y的关系的有效的数形结合的工具。画出平面区域后，概率为平面区域的面积比：

此时，学生拨开云雾见天日，认识到这是一个“面积比”的几何概型，原来的认知冲突得以化解，真正是知其然也知其所以然，这为学习刚才的送报人的例题奠定了深厚的基础，学生一维的定式思维被成功地拓展到二维的空间，此时在这个班对于送报人的这个问题，学生无一例外地选用了平面直角坐标系来解决这个问题。在学生内省驱动的课堂中，教师要善于从学生困惑的焦点、认识的冲突中去捕捉有效的信息，激发内需，发展思维，形成教学生长点，使课堂因为认知冲突资源而精彩。根据这两节课，笔者有很多生成性的收获，但是对于两课的预设心中还是存有很多的疑问，到底怎样才是更好的呢？

而对于留给第一个班的两个问题，笔者自己也做了思考，当然思考也是不太成熟的。

如果从正面考虑，父亲在离开家之前拿到报纸的情况分为以下三类：

（1）送报人在7:00前送到，那么父亲一定可以拿到报纸。此时相对于6:30～7：30这一个小时，概率是

（2）送报人在7:00～7：30之间送到报纸，而父亲在7：30之后离开，此时这个概率是

（3）送报人在7:00～7：30之间送到报纸，父亲也在7:00～7：30之间离开，而且父亲比送报人更晚离开，所以此时的概率是

思考后笔者发现，无论是课上学生提出的从反面解决还是从正面解决，都可以成为解决这类问题的一个通法，但是相对于二维的平面直角坐标系的解题方法来说，这种方法要求思维缜密，一个环节考虑不周，就很容易出错。而在第一节课上，生1凭借扎实的知识和迸发出来思维的火花，在极短的时间内回答了这个问题，体现了这个学生直觉思维的跳跃性。

教育永远是一件遗憾的事情，而我们要做的就是如何尽可能地减少遗憾，生成精彩。对于本节课的预设，笔者还在不断反思中。