利用不等式解决函数最值问题

山东济宁一中高三11班 张东格

不等式是数学知识的一个很重要的成分，也是数学中常常用到的工具。通过证明不等式、应用不等式，可以训练思维能力，提高数学水平，同样也能更好地培养学生对数学的兴趣。不等式在高考以及自主招生考试中并不多，一般只作为工具来应用，但是熟练掌握，学会创造不等式，会使一些题目的难度和计算量大大降低。

一、直接利用均值不等式求最值

求k的取值范围。

二、利用“倒数”法构造不等式

其实有许多题目中的分式函数的分母相对复杂，分子相对简单。例2，2008年上海交通大学的一道自主招生考试题：函数的最大值为 。如若直接解答，可能存在一定的困扰，求导计算也是十分麻烦，于是我们自然想到不等式。原式直接配凑成不等式使人难以下手，如果高次在分子上就好了，于是我们取

三、利用平移构造基本不等式的使用条件

这是2013年全国卷中的一道填空题，判断零点是这道题的第一步，通过观察便可以知道，x=1或x=-1时

利用不等式解决极值问题的好处是减少了相当一部分计算量，如以上例题，若使用求导计算，计算量相当大，但也有一定的局限性，且例3中，定义域就是一项很大的限制，以及是否能够取等，取等条件又是什么把特殊情况排除后，剩下的构造以及计算就简便很多了。例2中我们用到了一个有趣的结论：图象左右平移后函数的极值不会改变。通过这一点来构造不等式，同样也需要关心取等条件以及定义域的问题。而例1中的函数型，往往与我们所熟悉的对勾函数相通。

构造不等式是利用不等式解决问题的关键，也是减小计算量的方法。虽然有些技巧性很强，但是可以节约不少时间，使烦琐复杂的题目变得有趣。