一道高考题的多点思维

甘肃省定西市第一中 王继红

题目：（2015年全国新课标Ⅱ卷理科第20题）已知椭圆C：直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A、B，线段AB的中点为M。（1）证明：直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值；（2）略。

思维基点1：从设而不求的思想出发

解法1:设直线l的方程为

∴直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值。

思维基点2：从点差法的角度出发

∴直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值。

思维基点3：从椭圆的参数方程出发

∴直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值。

思维基点4：从直线的参数方程出发

设t1，t2分别是点A，B对应的参数，AB的中点为M，则：定值）。

∴直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值。

思维基点5：从相关点的坐标出发

因为M是线段AB的中点，所以

∴直线l的方程为

∴直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值。

思维基点6：从变量变换的方式出发

∴直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值。