计数问题探究中的“多种思维方法”

■山东省垦利第一中学 许茹悦

计数问题探究中的“多种思维方法”

■山东省垦利第一中学 许茹悦

计数问题种类繁多,方法多变,但无外乎元素与位置的关系问题。是先考虑“元素”,还是先考虑“位置”,或是将“元素”与“位置”综合起来考虑,就衍生出众多的解题策略与思维方法。只要把握住最基本、最常见的原理和方法,挖掘和提炼典型题目求解过程中所蕴含的多种思维方法,就能够以不变应万变,从而有效地提高解决问题的准确性。

一、数字组成中的“多种思维方法”

例1 在由数字0、1、2、3、4、5所组成的没有重复数字的四位数中,不能被5整除的数共有___个。

解法1：特殊元素优先法分类。根据所求四位数对0和5两个元素的特殊要求将其分为四类:①含0不含5,先安排0的位置填空位,共有4 8(个);②含5不含0,安排5的位置填空位,共有③含0也含5,先安排0和5的位置填空位,共有=4 8(个);④ 不合0也不含5,共有=2 4(个)。所以,符合条件的四位数共有4 8+7 2+4 8+2 4=1 9 2(个)。

解法2：特殊位置优先法分步。根据所求四位数对首末两位置的特殊要求可分三步:第一步:排个位,有种方法;第二步;排首位,有种方法;第三步:排中间两位,有种方法。所以符合条件的四位数共有

解法3：间接法。数字0、1、2、3、4、5组成的没有重复数字的四位数有能被5整除的数有两类:个位数为0的有6 0(个);个位数为5的有4 8(个)。故符合条件的四位数共有3 0 0-6 0-4 8=1 9 2(个)。

反思：数字组成常常围绕“首末位、特殊元素0、奇偶性、整除或互质关系、大小关系”等展开,求解的思维方法,要么特殊元素优先法分类,要么特殊位置优先法分步,还可以应用间接法求解。试回味本题探究中的三种思维方法。

二、排队问题中的“多种思维方法 ”

例2 甲、乙、丙、丁等七人排成一排,要求甲在中间,乙、丙相邻,丁不在两端,则不同的排法共有____种。

解法1：特殊元素,优先排列。甲、乙、丙、丁等七人按要求排成一排后,从左至右依次编号为1,2,3,4,5,6,7。显然,甲必须排在4的位置上,依据丁的站位分类讨论:

①当丁站在2或6的位置时,先让乙、丙相邻选位再排其他人,其排法有

②当丁站在3或5的位置时,先让乙、丙相邻选位再排其他人,排法有

则共有排法4 8+7 2=1 2 0(种)。

解法2：特殊位置,优先考虑。依据乙、丙的站位分类讨论:

①当乙、丙站在“1与2”或“6与7”的位置时,丁不在两端,符合要求的排列法有

②当乙、丙站在“2与3”或“5与6”的位置时,丁不在两端,符合要求的排列法有

则共有排法4 8+7 2=1 2 0(种)。

反思：排队问题常用的思维方法:(1)元素分析法,以元素为主体,即先满足特殊元素的要求,再考虑其他元素。(2)位置分析法,以位置为主体,即先满足特殊位置的要求,再考虑其他位置。(3)间接法,先从总体考虑,再把不符合条件的所有情况去掉。

三、错位排列中的“多种思维方法”

例3 有5双不同的鞋,从中任取4只,求至少有2只配成1双的可能取法种数。

解法1：直接分类研究。一类是4只中恰有2只配对,一类是4只鞋正好配成2双。

(1)若4只鞋正好是2双,直接从5双鞋中任取2双,共有取法为=1 0(种)。

(2)取出的4只鞋子有且只有2只能配成1双,分2步完成:第1步,从5双鞋子中任取1双,有种取法。第2步再分为3类:第1类,从余下的穿在左脚的4只鞋子中任取2只,有种取法;第2类,从余下的穿在右脚的4只鞋子中任取2只,有种取法;第3类,从余下的穿在左(或右)脚的4只中任取1只,再在余下的穿在右(或左)脚的和已取的不相配的3只鞋子中任取1只,有种取法,故共有1 2 0(种)取法。或者,如果恰好有2只配成1双,先从5双中取出1双,然后在剩下的4双中取出2双,2双中各取1只不配对,共有取法

用分类计数原理,可得所有符合要求的取法有1 2 0+1 0=1 3 0(种)。

解法2：间接法研究。至少有2只配成1双的对立事件就是4只均无配对,先从1 0只鞋中任取4只,有种取法,其中4只鞋都不成对可以看成从5双鞋中取4双,每双取出一只,共有取法用间接法可得所有符合条件的取法种数为

反思：n个不同元素a1,a2,…,an排成一排(简称第k个位置为ak的本位),有且仅有m(m≤n)个元素不排在本位的排列称为“错位排列”。特别地,如果n个元素都不在本位,即m=n时,称这样的排列为“全错位排列”。对于这种配对问题,我们先处理好成对的元素,再按要求处理其他元素,这实际上也是在遵循特殊元素优先处理的原则。

四、“至多 、至少”型问题用间接法或直接分类法

例4 从6男2女共8名学生中选出队长1人,副队长1人,普通队员2人组成4人服务队,要求服务队中至少有1名女生,则共有____种不同的选法。

解法1：元素自然分组间接法求解。先选4人,再在所选4人中选出队长1人,副队长1人,其选择方法为种,其中服务队中至少有1名女生的对立事件为先选4个男生,再在所选4人中选出队长1人,副队长1人,其选择方法为是服务队中至少有1名女生的选法为

解法2：直接法分两步完成。第一步,8名学生中选4人(至少有1名女生),其中1女3男有种选法,2女2男有种选法;第二步,分配职务,4人里选2人担任队长和副队长有种选法。所以共有(2×2 0+1×1 5)×1 2=6 6 0(种)选法。

反思：含有“至多 、至少”型的排列组合问题,可直接分类后分步求解,多采用分类求解或转化为它的对立事件间接法求解,若用间接法,即排除法,仅适用于反面情况明确且易于计算的情况,可以提高解题的速度和准确率。

例5 某校要从6个班级中选出1 0人组成一个篮球队,要求每班至少选1人参加,则这1 0个名额的不同分配方法有____种。

解法1：相同元素分配问题,用枚举法。除每班1个名额外,其余4个名额也需要分配,其分配方案可分为五类:①4个名额都分给某一个班有种分法;②4个名额分给二个班,每班2人,有种分法;③4个名额分给二个班,一个班1人,一个班3人,有种分法;④分给三个班,一个班2个,另两个班各1个,有种分法;⑤分给四个班,每班1个,有种分法。故共有

五、相同元素分堆中的“多种思维方法”

解法2：相同元素分配问题,用隔板法。因为名额之间无区别,所以可把它们视作排成一排的1 0个相同的球,要把这1 0个球分开成6段(每段至少有一个球),这样,每一种分隔方法都对应一种名额的分配方法,这1 0个球之间(不含两端)共有9个空位,现要在这9个空位中放进5块隔板,共有C59=1 2 6(种)放法,故共有1 2 6种分配方法。

反思：把n个相同的小球放入m个不同的盒子中(n≥m≥1),要求每个盒子非空,有种不同放法。这种方法通常称为“隔板原理”,它在解决一类组合应用题时十分有用。隔板法比枚举法简捷。涉及名额分配或相同物品的分配问题,适宜采用隔板法。

(责任编辑 王福华)