对一道推理证明题的多解探究与推广

■江苏省奔牛高级中学高三（1 1(班 胡 益)指导老师 张 瑞

对一道推理证明题的多解探究与推广

■江苏省奔牛高级中学高三（1 1(班 胡 益)指导老师 张 瑞

在学习推理与证明一节内容时,笔者对一道填空题进行了多解探究,并将结论进行了推广。现整理成文,与大家分享。

题目 若a,b,c是R t△A B C的三条边,其中c为斜边,则an+bn与cn(n>2,n∈N)的大小关系为____。

解法1：(构造幂函数法)在R t△A B C中,a2+b2=c2,且a2,n∈N时,an-2

点评:本解法利用了同向不等式的可加性,将an+bn传递到cn,其中不等式an-22,n∈R也成立,所以我们可以得到推论1。

推论1：若a,b,c是R t△A B C的三条边,其中c为斜边,则有an+bn2,n∈R)成立。解法2：(构造指数函数法)在 ︶R t△A B C中,a2+b2=c2,且a

点评:本解法同样利用了同向不等式的可加性,只不过后面用到了指数函数y=

解法3：(解直角三角形,边角转换法)在R t△A B C中,a=cs i nA,b=cc o sA,则an+bn=cns i nnA+cnc o snA=cn(s i nnA+c o snA),因为角A为锐角,所以s i nA∈(0,1),当n>2,n∈N时,则s i nnA

点评:解三角形的本质是将三角形的边与角进行相互转化。本解法巧妙地运用a=cs i nA,b=cc o sA,将问题转化为比较s i nnA与s i n2A,c o snA与c o s2A的大小,从而利用三角恒等式s i n2A+c o s2A=1解决问题。

解法4：(二项式定理法)在R t△A B C中,a

当n为偶数时,设n=2k,k≥2且k∈N*,则cn=(a2+b2)k>a2k+b2k=an+bn;

综上,对任意n>2,n∈N,都有an+bn

点评:不等式(p+q)n>pn+qn(p>0,q>0,n≥2,n∈N)可由二项式定理推导证明。考虑到在钝角三角形A B C中,若C为钝角,且a,b,c分别是角A,B,C的对边,有a2+b2

推论2：在钝角三角形A B C中,若C为钝角,且a,b,c分别是角A,B,C的对边,则有an+bn

在学习类比推理时,曾经将勾股定理推广到直四面体S-A B C中,过顶点S的三条棱 两 两 垂 直,则S2△SCA。联想此结论可得到推论3。

推论3：对于n个正数a1,a2,a3,…,an均小于c,且(证明留给读者思考)

美国著名数学家波利亚曾说:“当你找到第一个蘑菇或做出第一个发现后,再四处看看,它们总是成群生长的。”总之,在平时解题时我们不能仅仅满足于得出答案,而应该从不同视角去思考问题,甚至可以将问题进行一般化推广,往往会有横看成岭侧成峰的效果,一题多解其乐融融。

(责任编辑 刘钟华)