归纳简易逻辑知识点中的突破方法

■河南省商丘市第一高级中学 郭 永

归纳简易逻辑知识点中的突破方法

■河南省商丘市第一高级中学 郭 永

一、四种命题及其真假判断

例1 在命题p的四种形式(原命题、逆命题、否命题、逆否命题)中,真命题的个数记为f(p),已知命题p:“若两条直线l1:a1x+b1y+c1=0,l2:a2x+b2y+c2=0平行,则a1b2-a2b1=0。”那么f(p)等于( )。

A.1 B.2 C.3 D.4

解析：原命题p显然是真命题,故其逆否命题也是真命题。而其逆命题“若a1b2-a2b1=0,则两条直线l1与l2平行”是假命题,因为当a1b2-a2b1=0时,还有可能l1与l2重合,逆命题是假命题,从而否命题也为假命题,故f(p)=2。

方法规律总结：判断四种命题间的关系的方法:(1)在判断四种命题之间的关系时,首先要注意分清命题的条件与结论,再比较每个命题的条件与结论之间的关系。要注意四种命题关系的相对性,一旦一个命题定为原命题,也就相应地有了它的“逆命题”“否命题”“逆否命题”。(2)当一个命题有大前提而要写出其他三种命题时,必须保留大前提,也就是大前提不动;对于由多个并列条件组成的命题,在写其他三种命题时,应把其中一个(或n个)作为大前提。

二、充分条件与必要条件的判断

例2 (1)设a∈R,则“a=1”是“直线l1:a x+2y-1=0与直线l2:x+(a+1)y+4=0平行”的( )。

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

(2)下面四个条件中,使a>b成立的充分不必要的条件是( )。

A.a>b+1 B.a>b-1

C.a2>b2D.a3>b3

解析：(1)“直线l1:a x+2y-1=0与直线l2:x+(a+1)y+4=0平行”的充要条件是“由,解得a=-2或1”。故“a=1”是“直线l1:a x+2y-1=0与直线l2:x+(a+1)y+4=0平行”的充分不必要条件。

(2)对于 A,a>b+1⇒a-b>1>0⇒a>b,但a=2,b=1满足a>b,又a=b+1,故A项正确。对于B,a>b-1不能推出a>b,故B项错误。对于C,由a2>b2不能推出a>b,如a=-2,b=1,(-2)2>12,但-2<1,故C项错误。对于D,a>b⇔a3>b3,它们互为充要条件,故D项错误。

方法规律总结：充分条件、必要条件的判断方法:判断p是q的什么条件,需要从两方面分析。一是由条件p能否推得条件q;二是由条件q能否推得条件p。

三、充要条件的应用

例3 已知P={x|x2-8x-2 0≤0},S={x|1-m≤x≤1+m}。

(1)是否存在实数m,使x∈P是x∈S的充要条件?若存在,求出m的范围。

(2)是否存在实数m,使x∈P是x∈S的必要条件?若存在,求出m的范围。

解析：(1)由x2-8x-2 0≤0,得-2≤x≤1 0,所以P={x|-2≤x≤1 0}。

综上可知,当m≤3时,x∈P是x∈S的必要条件。

方法规律总结：(1)解决与充要条件有关的参数问题,一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系,然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式求解。(2)利用转化的方法理解充分必要条件。若非p是非q的充分不必要、必要不充分、充要条件,则p是q的必要不充分、充分不必要、充要条件。

(责任编辑 王福华)