基于Mindlin解地震作用下压力型锚索的拟静力分析

叶 红， 陈燕平

(1.武汉理工大学 土木工程与建筑学院,武汉 430070；2.武汉大学 土木建筑工程学院,武汉 430072；3.武汉交通职业学院 交通工程学院, 武汉 430065)

基于Mindlin解地震作用下压力型锚索的拟静力分析

叶 红1,3， 陈燕平2,3

(1.武汉理工大学 土木工程与建筑学院,武汉 430070；2.武汉大学 土木建筑工程学院,武汉 430072；3.武汉交通职业学院 交通工程学院, 武汉 430065)

为了更加精确地研究地震作用下压力型锚索的锚固机理，基于Mindlin解推导出了圆形均布荷载作用下压力型锚索体系中注浆体受到的压应力表达式和注浆体与锚索孔壁之间的剪应力表达式，结合地震作用效应的拟静力简化方法，研究了锚索孔半径、承压板半径、岩土体的泊松比、锚索孔方向与水平线之间的夹角、预应力值大小、地震烈度等因素对压力型锚索加固效果的影响。研究结果表明：锚索孔半径、承压板半径、锚索孔方向与水平线之间的夹角、预应力值大小、地震烈度的影响结果较大，岩土体的泊松比影响结果较小。研究成果丰富了预应力锚索的抗震设计内容，可为边坡加固充分发挥压力型锚索良好的抗震性能提供参考。

压力型锚索；抗震性能；拟静力法；Mindlin基本解

目前，压力型锚索被广泛的运用到各种土木工程实践中。这是因为，尤其对破碎岩体和软弱岩土体而言，压力型锚索孔内包裹着索体的砂浆通过裂缝渗透到锚索孔周边岩土体中，提高了锚索孔周边岩土体的力学性质，同时砂浆也使锚索体系和其周边岩土体形成了一个整体[1-2]，强化了岩土体的稳定性；另外，在压力型锚索体系中砂浆抗压及索体抗拉的材料性能也被充分利用[3]。这些因素使压力型锚索具有良好的抗腐蚀性、加固效果以及抗震性能，有关专家学者对汶川地震边坡调查的结果有效证明了压力型锚索的这些优良性能[4]。

关于压力型锚索抗震性能的研究，主要集中在数值模拟和模型试验方面，理论方面的研究很少。例如：郑文博等[5]采用有限元模拟和拟静力法相结合的分析方法，研究了预应力锚索的锚固角度、预应力大小、锚固深度等对地震作用下边坡变形和整体稳定性的影响规律，并在此基础上对预应力锚索设计方法进行了优化。朱宏伟等[6]现场调查发现框架锚杆支护边坡地震性能的优越性，采用拟静力法和FLAC3D软件分析了地震作用下锚杆长度对边坡动力特性的影响，并在此基础上对汶川震区内锚杆支护边坡的地震稳定性进行了检算。叶红等[7-10]通过FLAC3D软件数值分析了风化岩体中压力型锚索的抗震性能和地震作用下压力型锚索孔周边岩体的应力时程，并分别基于Kelvin解析解、Boussinesq问题解、Mindlin基本解对压力型锚索注浆体受到的压应力和注浆体与锚索孔壁之间的剪应力进行了力学分析。叶海林等[11]对预应力锚索加固了的岩质边坡进行了振动台模型试验，研究了地震作用下预应力锚索轴力和预应力损失等动力特性，并结合预应力锚索的动力响应研究成果对预应力锚索抗震设计进行了优化。石玉成等[12]结合预应力锚索加固危岩体工程实例，通过数值模拟方法分析了不同动荷载作用下加固危岩的位移和应力分布情况，揭示了在地震作用下预应力锚索加固危岩体的动态响应及其相应的变化规律。目前，关于压力型锚索抗震性能的研究一般采用数值模拟和模型试验的方法，本文结合Mindlin基本解和拟静力法对地震荷载作用下的压力型锚索进行拟静力分析，研究圆形荷载作用下注浆体受到的压应力和注浆体与锚索孔壁之间的剪应力分布情况。

1 力学分析

拟静力法是一种在最不利情况下用静力方法求解研究对象动力问题的近似方法，国内外常使用该方法设计地震作用下的地下结构[13]。在岩质边坡受地震作用的稳定性分析中，拟静力法将岩质边坡岩体的地震作用简化为水平加速度作用和竖直加速度作用，拟静力法中加速度作用取对边坡稳定性最不利时的加速度作用[14]，如图1所示。考虑压力型锚索的预应力方向，加速度作用边坡岩体的地震等效水平和竖直静力分别为[15]

(1)

图1 压力型锚索加固边坡示意图Fig.1 Diagram of reinforced slope by pressure-type cable

式中，Fhk、Fvk为地震等效水平和竖直静力，αh、αv为拟静力水平和竖直方向加速度，kh、kv为水平和竖直地震作用系数，G为岩土体的重量，g为重力加速度。一些研究成果表明，考虑可能出现的强震因素，水平地震作用系数kh取值在0～0.4之间，当地震烈度分别为Ⅵ度、Ⅶ度、Ⅷ度和Ⅸ度时，水平地震作用系数kh分别取值为0.05、0.10、0.20和0.40；一般情况下，竖直地震作用系数kv=(1/2～2/3)kh。

Mindlin基本解是指水平作用或竖直作用在半无限体内部集中力的情况下，半无限体内部任意一点的应力解析解和位移解析解[16]，如图2所示。在压力型锚索锚固机理的研究中，注浆体受到的压应力σz和注浆体与锚索孔壁之间的剪应力τrz是压力型锚索受力分析的重要研究对象[17-19]。竖直集中力作用在半无限体内部的Mindlin基本解中竖向压应力σz和竖向剪应力τrz的表达式分别为

图2 Mindlin基本解示意图Fig.2 Diagram of Mindlin basic solution

(2)

在压力型锚索中，预应力是通过承压板将压应力传递给注浆体，如果承压板传递的是圆形均布压应力，则与承压板接触的注浆体受到的是圆形均布压应力，如果基于Mindlin基本解采用集中力来对压力型锚索进行受力分析，显然是不符合实际情况的[20]，如图3所示。考虑承压板直径较小且远小于锚索孔深，结合竖直集中力作用在岩体内部的Mindlin基本解中竖向压应力σz与竖向剪应力τrz表达式、拟静力方法和压力型锚索的受力特点，按照参考文献[21]的简化积分方法，地震荷载和预应力共同作用下注浆体受到的压应力σz和注浆体与锚索孔壁之间的剪应力τrz的拟静力法表达式可分别为：

图3 压力型锚索力学模型示意图Fig.3 Mechanical model diagram of pressure-type cable

(4)

3(z-c)3B+(1-2μ)C-[3(3-4μ)z(z+c)-

3c(3z+c)]D-30cz(z+c)2E}

(5)

其中在式(4)和式(5)中：

[r2+(z-c)2]-1/2-[r2+(z-c)2+a2]-1/2

[r2+(z+c)2]-1/2-[r2+(z+c)2+a2]-1/2

2 算 例

某地震烈度为Ⅵ度区域高速公路边坡，该边坡岩体较破碎，采用压力型锚索进行设计加固，设计参数如下：锚索孔半径为0.075 m，位于锚索孔深4.5 m处的承压板半径为0.065 m；岩体的泊松比取为0.2；加固范围内岩土体的重量为G=1 500 kN，P为预应力值200 kN；锚索孔方向与水平线之间的夹角为α，其中，cosα=0.832，sinα=0.556；地震烈度为Ⅵ度时，水平地震作用系数kh取值为0.05，竖直地震作用系数kv=2/3kh=2/3×0.05=0.033 3；则Fhkcosα+Fvksinα+P=qπa2=0.05×1 500×0.832+0.033 3×1 500×0.556+200=290.172 2 kN。通过式(2)和式(4)分别得到集中力和拟静力作用下注浆体受到的压应力分布曲线图，通过式(3)和式(5)分别得到集中力和拟静力作用下注浆体与锚索孔壁之间的剪应力分布曲线图。其中：集中力为竖直边坡表面作用在岩土体内部的集中力，即为预应力荷载(P=200 kN)；拟静力为地震荷载和预应力荷载共同作用下承压板传递给注浆体的均布荷载(qπa2=290.172 2 kN)。

在集中力和拟静力分别作用下，图4表示注浆体受到的压应力分布曲线图，图5表示注浆体与锚索孔壁之间的剪应力分布曲线图，表1表示图4和图5应力曲线图中的最大应力值。由表1可知，在集中力和拟静力分别作用下的最大压应力值比较接近，最大剪应力值也比较接近，这是因为集中力大小为200 kN，拟静力大小为290.172 2 kN。由图4和图5可知，拟静力作用下的应力曲线比集中力作用下的应力曲线平缓， 这是因为地震荷载和预应力荷载通过承压板传递给注浆体圆形均布荷载，圆形均布荷载的扩散范围比集中力的扩散范围要大，如果在荷载大小相同的情况下，圆形均布荷载作用下的应力分布曲线要平缓，越远离承压板两者之间的影响就越接近。通过拟静力荷载计算得到的结果比集中静力荷载计算得到的结果更能反映地震荷载的作用，通过圆形均布荷载计算得到的结果比集中荷载计算得到的结果更能反映承压板传递给注浆体的实际受力情况。

图4 注浆体受到的压应力分布曲线图Fig.4 Compressive stress distribution curve diagram of grout

图5 注浆体与锚索孔壁之间的剪应力分布曲线图Fig.5 Shear stress distribution curve diagram between grout and bore wall

荷载类型集中力拟静力最大压应力σ/MPa1．32471．4235最大剪应力τ/MPa1．55151．4599

3 影响因素分析

由表达式(1)、式(4)、式(5)可知，影响压力型锚索加固效果的主要因素有：锚索孔半径、承压板半径、岩土体的泊松比、锚索孔方向与水平线之间的夹角、预应力值大小、地震烈度，以下主要通过拟静力法来研究圆形荷载作用下这些因素对注浆体受到的压应力以及注浆体与锚索孔壁之间的剪应力的影响情况。

3.1 锚索孔半径的影响

在上算例中，其它参数不改变的条件下，图6表示锚索孔半径分别为0.07 m、0.075 m和0.08 m时注浆体受到的压应力分布曲线图，图7表示锚索孔半径分别为0.07 m、0.075 m和0.08 m时锚索孔壁剪应力分布曲线图，表2表示锚索孔半径分别为0.07 m、0.075 m和0.08 m时注浆体受到的最大压应力值和注浆体与锚索孔壁之间的最大剪应力值。图6和图7表明，注浆体受到的压应力分布曲线和注浆体与锚索孔壁之间的剪应力分布曲线随着锚索孔半径的增加而趋于平缓，随着锚索孔半径的减小而趋于陡峭；相应的在表2中，注浆体受到的最大压应力和注浆体与锚索孔壁之间的最大剪应力随着锚索孔半径的增加而减小，随着锚索孔半径的减小而增加。这是因为：在表达式中锚索孔半径与应力之间存在负相关关系。

图6 不同锚索孔半径下注浆体受到的压应力分布曲线图Fig.6 Compressive stress distribution curve diagram of grout in different anchor hole radius

图7 不同锚索孔半径下锚索孔壁剪应力分布曲线图Fig.7 Shear stress distribution curve diagram between grout and bore wall in different anchor hole radius

锚索孔半径0．070．0750．08最大压应力σ/MPa1．58031．42351．2916最大剪应力τ/MPa1．59861．45991．3376

3.2 承压板半径的影响

如果承压板半径分别为0.06 m、0.065 m和0.07 m时，且其它参数不改变，图8和图9分别表示注浆体受到的压应力分布曲线图和锚索孔壁上的剪应力分布曲线图，表3则相应的表示注浆体受到的最大压应力值和注浆体与锚索孔壁之间的最大剪应力值。在图8和图9中，注浆体受到的压应力分布曲线随着承压板半径的增加而趋于平缓，随着承压板半径的减小而趋于陡峭，注浆体与锚索孔壁之间的剪应力分布曲线也和压应力分布曲线变化一样，具有相同的变化趋势；在表3中，注浆体受到的最大压应力值随着承压板半径的增加而减小，随着承压板半径的减小而增加，注浆体与锚索孔壁之间的最大剪应力值也具有相同的变化规律。这是因为：在表达式中承压板半径如同锚索孔半径一样，与应力之间存在负相关关系。

图8 不同承压板半径下注浆体受到的压应力分布曲线图Fig.8 Compressive stress distribution curve diagram of grout in different bearing plate radius

图9 不同承压板半径下锚索孔壁剪应力分布曲线图Fig.9 Shear stress distribution curve diagram between grout and bore wall in different bearing plate radius

承压板半径0．060．0650．07最大压应力σ/MPa1．47681．42351．3718最大剪应力τ/MPa1．53931．45991．3832

3.3 泊松比的影响

图10和图11表示泊松比分别为0.2、0.25和0.3时注浆体受到的压应力分布曲线图和锚索孔壁剪应力分布曲线图，表4则表示泊松比分别为0.2、0.25和0.3时注浆体受到的最大压应力值和注浆体与锚索孔壁之间的剪应力值。在图10和图11中，泊松比分别为0.2、0.25和0.3时，注浆体受到的压应力分布曲线和注浆体与锚索孔壁之间的剪应力分布曲线均比较接近；不同的是：注浆体受到的压应力分布曲线随着泊松比的增加而趋于陡峭，注浆体与锚索孔壁之间的剪应力分布曲线随着泊松比的增加而趋于平缓。在表4中，泊松比分别为0.2、0.25和0.3时，注浆体受到的最大压应力值和注浆体与锚索孔壁之间的最大剪应力值也均接近，注浆体受到的最大压应力值随着泊松比的增加而增加，注浆体与锚索孔壁之间的最大剪应力值随着泊松比的增加而减小。

图10 不同泊松比下注浆体受到的压应力分布曲线图Fig.10 Compressive stress distribution curve diagram of grout in different Poisson’s ratio

图11 不同泊松比下锚索孔壁剪应力分布曲线图Fig.11 Shear stress distribution curve diagram between grout and bore wall in different Poisson’s ratio

泊松比0．20．250．3最大压应力σ/MPa1．42351．45271．4860最大剪应力τ/MPa1．45991．44811．4468

3.4 锚索孔方向与水平线之间的夹角的影响

图12 不同夹角下注浆体受到的压应力分布曲线图Fig.12 Compressive stress distribution curve diagram of grout in different angle

图13 不同夹角下锚索孔壁剪应力分布曲线图Fig.13 Shear stress distribution curve diagram between grout and bore wall in different angle

sin(α+β)0．5550．8321最大压应力σ/MPa1．28031．40831．4859最大剪应力τ/MPa1．24651．37111．4466

4.5 预应力荷载的影响

在其它参数不变的条件下，当预应力荷载分别为100 kN、200 kN和300 kN时，图14表示注浆体受到的压应力分布曲线图，图15表示锚索孔壁剪应力分布曲线图，表6表示不同预应力荷载下注浆体受到的最大应力值表。由图14和表6可知：注浆体受到的压应力分布曲线随着预应力荷载的增加而趋于陡峭，随着预应力荷载的减小而趋于平缓；最大压应力值随着预应力荷载的增加而增加，随着预应力荷载的减小而减小。由图15和表6可知：注浆体与锚索孔壁之间的最大剪应力值随着预应力荷载的减小而减小，大小按正比例关系变化；剪应力分布曲线随着预应力荷载的减小而趋于平缓，随着预应力荷载的增加而趋于陡峭。这是因为：在其它条件不改变的情况下，在表达式Fhkcosα+Fvksinα+P=qπa2中，地震荷载(Fhkcosα+Fvksinα)不改变，注浆体受到的承压板传来的荷载qπa2与预应力荷载P之间是线性函数关系，由表达式(4)和式(5)可知，应力与预应力荷载之间也是按线性函数关系变化的。

图14 不同预应力荷载下注浆体受到的压应力分布曲线图Fig.14 Compressive stress distribution curve diagram of grout in different prestress value

图15 不同预应力荷载下锚索孔壁剪应力分布曲线图Fig.15 Shear stress distribution curve diagram between grout and bore wall in different prestress value

预应力荷载100kN200kN300kN最大压应力σ/MPa0．93291．42351．9140最大剪应力τ/MPa0．95681．45991．9631

4.6 地震荷载的影响

在算例中，如果地震烈度分别为Ⅵ度、Ⅶ度和Ⅷ度，且其它参数不改变的情况下，图16和图17表示注浆体受到的压应力分布曲线图和注浆体与锚索孔壁之间的剪应力分布曲线图，表7则相应的表示注浆体受到的最大压应力值和注浆体与锚索孔壁之间的最大剪应力值。由图16、图17可知：注浆体受到的压应力分布曲线图和注浆体与锚索孔壁之间的剪应力分布曲线图随着地震烈度的增加而趋于陡峭，随着地震烈度的减小而趋于平缓。表7也反映了：注浆体受到的最大压应力值和注浆体与锚索孔壁之间的最大剪应力值随着地震烈度的增加而增加，随着地震烈度的减小而减小，且最大值应力差值按正比例函数变化。这是因为：在算例其它影响因素不改变的情况下，水平(竖直)地震作用系数以比例系数为2的正比例函数在改变，例如：地震烈度分别为Ⅵ度、Ⅶ度、Ⅷ度和Ⅸ度时，水平地震作用系数kh分别为0.05、0.10、0.20和0.40。

图16 不同地震烈度下注浆体受到的压应力分布曲线图Fig.16 Compressive stress distribution curve diagram of grout in different seismic intensity

图17 不同地震烈度下锚索孔壁剪应力分布曲线图Fig.17 Shear stress distribution curve diagram between grout and bore wall in different seismic intensity

地震烈度Ⅵ度Ⅶ度Ⅷ度最大压应力σ/MPa1．42351．94782．8714最大剪应力τ/MPa1．45991．89642．7956

4 结 论

通过拟静力分析方法，上文研究了地震荷载作用下锚索孔半径、承压板半径、岩土体的泊松比、锚索孔方向与水平线之间的夹角、预应力值大小、地震烈度等因素对压力型锚索加固效果的影响，得到以下结论：

(1) 锚索孔半径和承压板半径均与应力之间存在负相关关系，应力分布曲线随着锚索孔半径(或承压板半径)的增加而趋于平缓，最大应力值随着锚索孔半径(或承压板半径)的增加而减小。

(2) 不同泊松比情况下，注浆体受到的压应力分布曲线和注浆体与锚索孔壁之间的剪应力分布曲线均比较接近，且最大压应力值以及最大剪应力值也很接近；注浆体受到的压应力分布曲线随着泊松比的增加而趋于陡峭，且最大压应力值随着泊松比的增加而增加，但是注浆体与锚索孔壁之间的剪应力分布曲线随着泊松比的增加而趋于平缓，且最大剪应力值随着泊松比的增加而减小。

(3) 注浆体受到的压应力分布曲线图和注浆体与锚索孔壁之间的剪应力分布曲线图随着sin(α+β)的增加而趋于陡峭，随着sin(α+β)的减小而趋于平缓；最大应力值随着sin(α+β)的增加而增加，随着sin(α+β)的减小而减小。

(4) 注浆体受到的压应力分布曲线图和注浆体与锚索孔壁之间的剪应力分布曲线图随着预应力荷载(或地震烈度)的增加而趋于陡峭，随着预应力荷载(或地震烈度)的减小而趋于平缓；最大应力值也随着预应力荷载(或地震烈度)的增加而增加，随着预应力荷载(或地震烈度)的减小而减小，且最大值应力值按线性函数关系变化。

由上可知，锚索孔半径、承压板半径、锚索孔方向与水平线之间的夹角、预应力值大小和地震烈度对压力型锚索加固效果的影响较大，但岩土体的泊松比影响较小。在震害边坡治理中，可以通过改变锚索孔半径、承压板半径、锚索孔方向与水平线之间的夹角和预应力荷载等因素来设计压力型锚索对边坡的抗震效果。虽然本文基于Mindlin解通过拟静力方法理论分析了地震荷载作用下压力型锚索的锚固机理，并取得了一定的成果，但是这些研究成果还需要通过试验方法来验证。

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Pseudo-static force analysis of pressure-type cables based on Mindlin basic solution under earthquake

YE Hong1,3, CHEN Yanping2,3

(1. School of Civil Engineering and Architecture, Wuhan University of Technology, Wuhan 430070, China;2. School of Civil Engineering, Wuhan University, Wuhan 430072, China;3. School of Transportation Engineering, Wuhan Tochnical College of Communications, Wuhan 430065, China)

In order to accurately study the anchoring mechanism of pressure type cables under earthquake more precisely, the expressions of compressive stress in anchorage section grout and the shear stress between anchorage section grout and contact surface under circular uniform load in a pressure type anchor cable system were derived based on the Mindlin solution. Applying the pseudo-static simplification method to consider the earthquake action effect, the influences of various factors on the anchoring effect of anchor cables were studied. The results show that the Influences of the anchor hole radius, bearing plate radius, angle between the anchor hole direction and horizontal line, prestress and seismic intensity are rather greater, and that of the Poisson’s ratios of rock and soil mass is rather smaller. The results are benefitial to the seismic design of pressure-type cables and the seismic performance design method of the slope reinforced by pressure-type cables was also provided.

pressure type cable; seismic performance; pseudo-static method; mindlin basic solution

国家自然科学基金面上项目(51374163);湖北省自然科学基金面上项目(2014CKB499)

2016-02-25 修改稿收到日期：2016-05-07

叶红 男，博士，副教授，1977年生

TU457

A

10.13465/j.cnki.jvs.2017.02.036