从教学出发阐述高等代数的几个重要概念

杨帆+杨晶

摘要：高等代数是数学专业的基础课，与中学代数相比，理论更抽象，结构更严谨，基于这样的学科特点，本文针对高等代数的几个比较难以理解的几个概念，深入分析剖析，从而帮助学生更好地理解及掌握高等代数这门学科。

关键词：多项式；矩阵；线性空间；欧几里德空间

中图分类号：G642.4 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2017）01-0209-02

高等代数是高校数学专业一年级的专业基础课，包含许多现代数学的基本观点和方法，其研究的主要对象是代数系统的结构以及相互间的关系和法则，它以严密的逻辑推理形式来考察各种代数的结构并逐层抽象。下面针对高等代数的主要几个概念，深入阐述。

一、多项式理论

多项式理论与整数理论有很多的相似之处，比如带余除法、整除、最大公因式（数）、因式（子）分解及唯一性定理等等，除此之外，定理的内容与形式也很类似。因此，整数理论能够帮助我们更好地理解多项式。但是，它们还有着很多显著的区别。通过了解这两者的区别，才能更好地掌握多项式理论。

1.多项式理论是系数在某一数域上研究的，而整数理论是固定在整数环中。这意味着整数理论中任意两个整数之间的整除、分解等关系都是确定的，而多项式理论中任意两个多项式的整数、分解等等关系是随着数域的不同而变化着的，取决于数域。比如多项式的因式分解及唯一性定理在不同数域上分解式不同，而整数理论中数的标准分解式是唯一的。

2.多项式理论中，利用导函数可以判断一个多项式有无重因式。

3.多项式理论虽然只在一章中出现，但是实际上它的性质定理会应用在后面很多章节中。比如二次型，特征多项式，特征值的求解等都需要用到多项式相关的理论。因此，要多注意多项式理论与矩阵理论的关联性。例如，在求矩阵或是线性变换的特征值时，其特征多项式实际上是关于的多项式，根据多项式的因式分解理论可求出特征值。

二、矩阵

矩阵是一堆数（或者变量）有规律的排列而成的一个数表，并且对矩阵定义了加法、减法、数乘、乘法、可逆等运算，并规定了运算满足的一些性质，比如数乘的分配律，以及加法的交换律等。矩阵根据相似、合同、等价等关系可以分成不同的等价类，这些等价类具有一些共同的性质，通过将矩阵分类，可以清楚地了解和更好地掌握矩阵的结构以及性质。矩阵是高等代数的一个重要的工具，它贯穿于整个高等代数理论的学习中。但是由于学生第一次接触到矩阵定义，并且它的高度抽象性，导致了学生理解的困难。下面我们归纳矩阵作为工具，可以处理的问题，以帮助学生熟练掌握学习矩阵这个概念。

1.解线性方程组。通过矩阵可将线性方程组用矩阵和向量乘积的方式写出来，例如由m个n元一次方程组组成的方程组可写成矩阵的形式，AX=B，其中A为一个m×n矩阵，X为未知量组成的列向量，B为一个列向量。解线性方程组只需要对矩阵A施行初等行变换，就可以解出未知量X。

2.二次型化为标准二次型。二次型借助矩阵，可以写成形如XTAX的矩阵与向量的乘积的形式，其中A为一个实对称矩阵，X为未知量组成的列向量。将二次型转化为标准二次型只需要对（A E）T施行初等行变换以及相应的初等列变换将A化成对角形，则E转化成C，C即为二次型所做的非退化的线性退化。

除此之外，向量也可以看做矩阵（行向量是1×n矩阵，列向量是n×1矩阵）。而m×n矩阵利用分块的知识可以看作是m个行向量，或者n个列向量。因此向量组的线性相关（无关）性在特定的情况下可以通过矩阵的初等变换很容易的解出来。向量组的线性相关性教学是高等代数教学中的一个难点。对于大一新生来讲，向量组的线性相关性概念过于抽象。线性相关（无关）性：对n维向量组α1，α2…αm，如果存在一组不全为零（全为零）的实数k1，k2…km，使得k1α1+k2α2+…+kmαm=0。在教学实践中，我们换一种形象的语言来进行描述，学生对它的理解就会更加透彻。将向量看成“人”，线性相关可以理解为，对一群人，如果其中有人互相认识，则这群人认识相关的，否则称为认识无关的。这样向量组的线性表示、等价向量组及相关定理等的后续的学习理解就容易多了。比如线性相关理论中的“部分相关则整体相关，整体无关则部分也无关”理论。利用“认识相关”的方法辅助理解，有利于学生理解和记忆。上述理论转化为“认识相关”形式就是：“若有一群人中有人互相认识，则不论再向人群中加入多少人，还是有人相互认识；如有一群人中没有人互相认识，则不论从中挑选多少人，还是没有人互相认识”。

3.线性变换。线性变换是线性空间上的一个满足加法及数乘封闭的变换。通过线性空间的任一组基，可以将线性变换和矩阵对应起来，并且同一个线性变换在不同基下的对应矩阵是相似的。因此，对线性变换的研究可以通过研究其对应的矩阵的性质推得。借助于矩阵，线性变换的一些参数，更容易理解和求解。比如线性变换的特征值、特征向量、特征多项式、秩与其相应的矩阵的特征值、特征向量、特征多项式、秩相等。

线性变换在任一组基下对应一个矩阵，自然就想到能否存在一组基使得对应矩阵为对角形。并且是否任意一线性变换都能找到这样一组基，如果不是，那么能找到这样一组基的线性变换需要满足的充分，或者充要条件是什么。顺着这样一个思路，和线性变换相关的一些定理、性质就能掌握的比较全面。

除此之外还有两类特殊的线性变换需要重点了解掌握：（a）对称变换，其在标准正交基下的对应矩阵为实对称矩阵，而实对称矩阵这又对应了一个二次型，那么这个对称矩阵又可以通过二次型的相关知识化为对角形矩阵；（b）正交变换，其在标准正交基下对应的矩阵为正交矩阵，根据正交矩阵的性质可以充分理解掌握正交变换。

三、线性空间，欧几里德空间

在空间这部分，主要介绍了线性空间和欧几里德空间。线性空间及欧几里德空间是两个抽象的概念。线性空间的运算，如，空间的和以及交仍是线性空间，并且还定义了直和这一运算，即空间和的分解式唯一。线性空间是Rn向量空间概念的推广，欧几里德空间是在线性空间上另外定义了内积这一运算的空间。

1.非空集合V与数域P，在V上定义了加法与数乘，并且加法和数乘满足一定的性质，则称V是数域P上的一个线性空间。线性空间是为了解决实际问题而引入的，它是某一类事物在量的方面的一个抽象，即把实际问题看作线性空间，进而通过研究线性空间来解决实际问题。欧几里得空间是在实数域R上的线性空间V上定义了一个二元实函数，称为内积，这个内积也满足一定的性质。

2.线性空间与欧几里德空间的基本区别是欧几里德空间是完备的，而线性空间不是。

3.无论是线性空间还是欧几里德空间，都有同构这一等价关系。两个线性空间同构，那么这两个空间具有一些共同性质。只需研究其中一个具体的线性或者欧几里德空间，与它同构的其他线性或者欧几里德空间的性质也就清楚了。

随着学习的不断深入，以后还会碰到度量空间，拓扑空间等等。因此，在代数知识学习的同时还需要注意各个学科间的联系，融会贯通，才能更清晰的掌握我们所学习的知识。

多项式理论，矩阵理论，空间理论是高等代数理论体系的主要内容。在上面的分析中，可以看出他们之间不是独立的理论体系，他们之间有交叉，且相互渗透影响。因此在学习过程中，需要注意同类概念的内在联系，进行类比学习。如同构：线性空间的同构，以及欧几里德空间的同构。对这两个同构进行比较，结合两个空间的不同性质，注意这个两个同构的区别和相同之处。实际上，两个同构的欧几里德空间，作为线性空间也是同构的。但反之不一定成立。又比如矩阵出现了很多等价关系：合同，相似，相等。在学习的过程中，除了要将这三者的定义进行比较，还要了解他们的内在性质，这样才不会造成后面学习的困难，也对能对矩阵间的关系比较清晰明了。

总之，概念是高等代数的重要组成部分，学生对于概念的认识不是直线发展的，而是螺旋式前进的。因此，教师传授概念的过程也不应是一次性完成的，而是尽量在教学过程中注意引入能够帮助学生理解概念的感性材料，降低学习的难点，激发学习的主动性，同时有意识地引导学生对所学概念及时分类整理，回首返顾，了解概念之间的关系，以达到对所学的数学概念能够形成一个有机的整体，进而能够灵活运用数学概念去分析问题和解决问题。

参考文献：

[1]北京大学数学系几何与代数教研室[M].高等代数（第四版）.北京：高等教育出版社，2003.

[2]朱春钢.向量组线性相关性的教学方法与技巧[J].高等数学研究，2010，13（4）：119-121.

Several Important Concepts in Advanced Algebra in View of Teaching

YANG Fan，YANG Jing

（School of Mathematics and Physics，Jiangsu University of Science and Technology，ZhenjiangJiangsu 212003，China）

Abstract：Advanced algebra is a basic course of math major. Advanced algebra is more abstract，with more rigorous structure，compared with high school algebra. Based on such discipline characteristic，this article analyzes several difficult concepts in advanced algebra，so as to help students understand and master advanced algebra more better.

Key words：polynomial；matrix；linear space；Euclidean space