概率问题的多解和慎答

2017-02-06孟方明

数理化解题研究 2017年34期

孟方明

(浙江省春晖中学 312353)

对于概率问题，一方面若从不同的角度来寻求概率模型或审视样本空间，往往可以得到不同的解法，体现出思维的灵活性和广阔性；另一方面，由于概率问题独特的抽象性、不确定性等特点，学生较难用解决确定性数学问题的思维模式应对“活”的概率问题，导致错误频发．在概率的教学过程中，必须重视对概率问题的多解和慎答．

一、多解

1.纳入不同概型

同一概率问题，对事件性质特征的理解因视角不同而可纳入不同概型，只要方法正确，结论是一致的．

例1 将一颗质地均匀的骰子先后抛掷3次，求至少出现一次6点向上的概率．

解法1 由于骰子是均匀的，因此将它抛掷3次，每次出现哪一点向上都是等可能的，故可纳入等可能概型，显然card(I)=63=216．

2.选用不同样本空间

古典概型是概率学习中的重点，它具有两个特征：试验结果的有限性和每一个试验结果出现的等可能性．同一概率问题，在确定基本事件(基本事件的全体称为样本空间)时，可以按不同的标准有不同的解释，只要试验结果满足上述两个特征，结论是一致的．

例2 已知盒中装有3只螺口与7只卡口灯泡，这些灯泡的外形和功率都相同，且灯口向下放着，现需要一只卡口灯泡使用，电工师傅每次从中任取一只并不放回，求他直到第3次才取得卡口灯泡的概率．

二、慎答

1.错解概念

概率中的概念比较抽象，有些相互之间还容易引起混淆，如互斥与独立，学生初次学习概率，由于对它们理解不透彻，且学习中往往只重视公式的死记硬背，忽视概念的理解掌握，从而在事件概念的定位上张冠李戴、错态百出．

例3 一台仪器配有A、B两套通路，只要其中一套通路通畅，仪器就能正常工作．A套由2个部件组成，B套由3个部件组成，只要其中有一个部件出现故障，这套通路就不能正常工作．如果在某段时间内每个部件不出现故障的概率都是p，试求在这段时间内仪器能正常工作的概率．

错解某段时间内A、B两套通路能正常工作的概率分别为P(A)=p2，P(B)=p3，由题意，A、B至少有一套正常工作，仪器就能工作，故在这段时间内仪器能正常工作的概率是P(A+B)=P(A)+P(B)=p2+p3．

析与解根据题意，A、B两套通路正常工作是相互独立的两个事件，上面所用公式是互斥事件有一个发生的概率加法公式，误把独立当成了互斥．互斥和独立是两种截然不同的概率关系，二者针对问题的角度不同，把互斥事件的概率公式套用在求独立事件的概率上是错误的． “A、B至少有一套能正常工作”的对立事件是“A、B都不能正常工作”，A不能正常工作的概率是1-p2，B不能正常工作的概率是1-p3，∴A、B都不能正常工作的概率是(1-p2)(1-p3)，从而所求概率等于1-(1-p2)(1-p3)=p2+p3-p5．也可将“A、B至少有一套能正常工作”分解为三个互斥事件，利用概率加法公式，求得同一结果．

2.误解题意

由于概率的产生、建立和发展与生活实际密切相连，而生活中的问题，其条件和背景千差万别，一般没有固定的法则和套路．因此审题是解答概率问题中非常重要的一环．审题稍有偏差，极有可能误解题意，导致错解．