利用数位法验算和解决数论问题

刘 畅

(浙江省嵊州中学2016级高二(16)班 312400)

读前须知：

1.本文中用到的引理：

①任意9的倍数m所有数位上的数字之和仍为9的倍数.

②一个正整数减去9的倍数对其各数位上的数字之和无影响.

2.文中为求简便，将用f(x)来表示正整数x各个数位上的数字“彻底相加”后得到的结果.

举例：f(256)=f(13)=1+3=4；

f(2582)=f(17)=1+7=8.

3.以下范例均为解答中验算的一步，非全题.

一、加减法验算中的数位法

例88454+22687=111241是否正确？

解f(88454)=f(29)=2,

f(22687)=f(25)=7,

f(111241)=f(10)=1.

∵f(f(88454)+f(22687))

=9≠f(111241)=1,

∴ 运算错误.

提出结论f(a1+a2+…+an)=f(f(a1)+f(a2)+…+f(an)).

证明结论将a1,a2,…,an都化为n×9+mn的形式，则f(an)=mn,f(a+b)=f(ma+mb)=f(a)+f(b).

同理可得f(a1+a2+a3+…+an)=f(f(a1)+f(a2)+…+f(an)).

拓展也可以用于减法运算的计算，即将其逆向检验.如a-b=c则检验b+c=a是否成立即可，也可以用于复杂的加减运算验算.

二、乘法验算中的数位法

例9876×3456=34131446是否正确？

解f(9876)=f(30)=3,

f(3456)=f(18)=9,

f(34161446)=f(26)=8.

由于f(f(9876)×f(3456))=9≠f(34131446)=8.

∴运算错误.

提出结论f(a1×a2×…×an)=f(f(a1)×f(a2)×…×f(an)).

证明结论同样，将a1,a2,…,an都化为n×9+mn的形式，则

f(a1×a2×…×an)

=f(m1×a2×…×an)

=f(m1×m2×…×an)

=…

=f(m1×m2×…×mn)

=f(f(a1)×f(a2)×…×f(an))

∴f(a1×a2×…×an)=f(f(a1)×f(a2)×…×f(an)).

拓展同样，也可以用于减法运算的验算中，只需将得出的答案乘以除数验算即可.

三、实际运用

数位法可以方便地用于选择题与填空题中，但是不能出现在解答题的解题过程中.但在不写出解答过程的情况下不失为一种很好的简化计算的方法.

例1 求方程1335+1105+845+275=n5的整数解.

注这是浙江省数学会2017夏令营代数部分的一道例题，官方的方法较为复杂，但经过数位法可以较为简便地得出解.

解显然n≥134.

∴134

引理：n5与n的个位数相等,

∴n的个位数为4,

∴n只能为134,144,154,164其中一个.

由数位法得f(1335+1105+845+275)=f(4+5+9+9)=9,

∴f(f(n5)=f(1335+1105+845+275)=9.

要f(n5)=9，则f(n)必为3的倍数，即n为3的倍数,

∴n为144.

例2 22225555+55552222≡____(mod 3).

引理1.若一个数n被3整除，则f(n)≡0(mod 3)；

若余x，则f(n)≡x(mod 3).

2.若一个数n被9整除，则f(n)≡0(mod 9)；

若余x，则f(n)≡x(mod 9).

3.f(nx)=f(f(na)b) 其中a×b=x.

解∵f(2222)=8，f(5555)=2,

∴f(22225555)=f(85555)，f(55552222)=f(22222),

f(85)=1，f(26)=1.

∵f(85555)=f(811115)=f(81111)=f(8222×8)=f(87)=8，

f(22222)=f(26370×22)=f(2372)=1,

∴f(22225555+55552222)=9,

即22225555+55552222≡0(mod 3)

评析此题是一道综合性比较强的例题，需要有较好的运算能力.运用数位法可以较为快速地解出答案.

在做幂比较大的运算时，要善于寻找特殊值，使得幂可以依次减小，从而优化运算.

例3 求满足方程2x×3+2=2u×5v，x≥2的正整数解(x,u,v).

注本题改编自全国高中数学联赛模拟卷第二试中的数论例题，利用数位法可以完成其中一部分运算.

解当x≥2时，显然u=1，于是得到2x-1·3y+1=5v.

当y=1时，得到2x-1·3+1=5v.

∵2x的末位为数列2,4,8,6,2,4,…

∴3·2x的末位为数列6,2,4,8,6,2,…

∴x=4k+4，k∈N.

∵易知f(24k+3·3)=6,

f(5v)为数列5,7,8,4,2,1,5…,

∴v=6m+2,m∈N.

∴原方程转化为24k+3×3+1=56m+2,

显然k=m=0是解.

∴矛盾.

∴只有k=m=0满足条件,

即所求整数解为(4,1,1,2).

四、结论

最终，我们得出这样一个通用结论：

f(a1+a2+a3+…+an)

=f(f(a1)+f(a2)+…+f(an)).

f(a1×a2×a3×…×an)

=f(f(a1)×f(a2)×…×f(an)).

在实际运用中，先计算每一个数的f(x)值，再进行验算比较简便.

数位法运算比较适合现在的各个年龄段学生使用，从小学高年级的四则运算，到全国高中数学联赛的数论，数位法都有可能发挥作用.尤其是在使用计算器频率较高的情况下，中学生的运算准确率的确很让人担忧.而利用这种方法，可以很快发现笔算中不易找到的错误.

我相信，如果能够在实际运用中使用数位法进行验算，不仅计算的正确率能够大大提升(尤其是对于一些较为复杂的计算)，而且还可以简化运算，省下时间攻破更难的题目.

[1]李潜.全国高中数学联赛模拟试题精选[Z].合肥：中国科学技术大学出版社，2017.

[2]曹瑞彬.启东中学奥赛精题详解高中数学[Z].南京：南京师范大学出版社，2016(02).