矩阵和关于{1,2,3}-逆与{1,3,4}-逆的混合吸收律

缪迎迎 刘林林 李 莹

(聊城大学 数学科学学院, 山东 聊城 252059)

0 引言

矩阵的广义逆在概率统计、测量学、控制论、数学规划、网络理论及博弈论等统计问题中有特别重要的用途[1,2].本文拟对广义逆的混合吸收律进行研究.近年来,秩方法[7-10]被大量应用到广义逆矩阵、矩阵方程等许多问题的研究中.它的主要思想是把矩阵问题转化成秩的问题去解决.即把复杂的矩阵表达式的问题转化为简单的秩的问题.本文利用秩方法来研究矩阵和关于{1,2,3}-逆与{1,3,4}-逆的混合吸收律.

1 预备知识

对于特殊的矩阵,如果A,B均为非奇异矩阵,则A-1+B-1=A-1(A+B)B-1总是成立的,可是对于广义逆矩阵来说,不一定存在A(1),B(1),使得A(1)+B(1)=A(1)(A+B)B(1)总是成立[3].本文将讨论两种不同的{i,j,k}-逆矩阵,若在此时仍有等式成立,则称两矩阵和关于广义逆矩阵满足混合吸收律.

设Cm×n是所有m×n阶复矩阵的集合.对于一个给定的矩阵A∈Cm×n,A*表示矩阵A的共轭转置,r(A)表示矩阵A的秩,In表示阶为n的单位矩阵,R(A)表示矩阵A的值域.矩阵A∈Cm×n的Moore-Penrose逆A+为满足下列四个等式的唯一矩阵X∈Cm×n:

(1)AXA=A;(2)XAX=X;(3) (AX)*=AX;(4) (XA)*=XA,

令η={i,j,k}为{1,2,3,4}的一个非空集合,用Aη表示满足以上四个方程中的(i),(j),(k)的矩阵X的集合,Aη中的任何一个矩阵X称为A矩阵的一个{i,j,k}-逆(或η-逆),记为A(i,j,k).EA=I-AA+,FA=I-A+A分别表示A*,A的零空间上的正交投影.

现分别给出混合第一、第二吸收律的概念:

定义1[4]设A,B∈Cm×n,η={i,j,k},ξ={i′,j′,k′}为{1,2,3,4}的两个非空子集,Aη为矩阵A的所有{i,j,k}-逆的集合,Bξ为矩阵B的所有{i′,j′,k′}-逆的集合,如果存在G∈Aη,H∈Bξ,使得A(G+H)B=A+B则称A,B关于{i,j,k}-逆和{i′,j′,k′}-逆满足混合第一吸收律.

定义2 设A,B∈Cm×n,η={i,j,k},ξ={i′,j′,k′}为{1,2,3,4}的两个非空子集,Aη为矩阵A的所有{i,j,k}-逆的集合,Bξ为矩阵B的所有{i′,j′,k′}-逆的集合,如果存在G∈Aη,H∈Bξ,使得G+H=G(A+B)H则称A,B关于{i,j,k}-逆和{i′,j′,k′}-逆满足混合第二吸收律.

若η=ξ,则定义1与定义2为矩阵和关于某一种广义逆的第一、第二吸收律.

以下是本文应用到的几个引理:

引理1[5]设A∈Cm×n,B∈Cm×k,C∈Cl×n和D∈Cl×k,则

(1)

(2)

引理2[5]设A∈Cm×n,B∈Cm×k,C∈Cl×n和D∈Cl×k,则

(3)

(4)

(5)

引理3[6]设A∈Cm×n,B∈Cm×k,C∈Cl×n,则有

r(A,B)=r(A)⟺R(B)⊆R(A)

引理4[6]设A∈Cm×n,B∈Cm×k,C∈Cl×n.若R(AQ)=R(A),R((PA)*)=R(A*).则

2 矩阵和关于{1,2,3}-逆与{1,3,4}-逆的混合第一吸收律

定理1 设A,B∈Cm×n,则

证明由式(4)得,

利用式(1)对其中的极秩

分别进行计算

根据引理4,

又根据秩的不等式得

由r(A,B)≤r(A)+r(B)知r(A,B)-r(A)≤r(B),故

从而

同理可得

因而

定理得证.

定理2 设A,B∈Cm×n,则

证明

应用引理4得

其中根据(2)可得

从而得到

定理得证.

推论1 设A,B∈Cm×n,则下列叙述等价

(1) 任意A(1,2,3)∈A{1,2,3},B(1,3,4)∈B{1,3,4}, 都有A+B=A(A(1,2,3)+B(1,3,4))B.

(2) 存在A(1,2,3)∈A{1,2,3},B(1,3,4)∈B{1,3,4}, 使得A+B=A(A(1,2,3)+B(1,3,4))B.

3 矩阵和关于{1,2,3}-逆与{1,3,4}-逆的混合第二吸收律

定理2 设A,B∈Cm×n, 则

证明由(1)计算可得

其中

所以

其中根据(4)计算可得

所以

定理得证.

推论2 若A,B∈Cm×n, 则下列说法等价:

(1) 对∀A(1,2,3)∈A{1,2,3},B(1,3,4)∈B{1,3,4}都有A(1,2,3)+B(1,3,4)=A(1,2,3)(A+B)B(1,3,4);

(2)r(A)=n,R(A*)⊆R(B)或r(B)=n,R(B*)⊆R(A*).

定理3 设A,B∈Cm×n, 则

证明由(5)

应用引理4且化简可得:

其中由(2)得

所以, 带入原式可得

定理得证.

推论3 若A,B∈Cm×n则下列说法等价

(1) 存在A(1,2,3)∈A{1,2,3},B(1,3,4)∈B{1,3,4}都有A(1,2,3)+B(1,3,4)=A(1,2,3)(A+B)B(1,3,4),

4 结束语

本文中讨论了两个矩阵和关于{1,2,3}-逆与{1,3,4}-逆的混合第一和第二吸收律,得到了两个吸收律成立的充要条件.我们也可以用同样的方法和理论讨论其他类型的广义逆的混合吸收律.

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