例谈均值不等式的运用

☉江苏省启东市汇龙中学 樊 勇

例谈均值不等式的运用

☉江苏省启东市汇龙中学 樊 勇

不等式内容是高中数学的一个重点，也是难点.教学中，我们跟学生一再强调利用均值不等式求最值必须满足三个条件“一正二定三相等”，但教学效果欠佳.究其原因，“用均值不等式求最值”，是“均值不等式”和“最值”两个内容的交汇点，对学生的综合能力要求较高.学生首先要有这两个内容的储备，才可以自然过渡.事实上，很多学生没这种认识，他们大多简单地把“用均值不等式求最值”看成一个知识点.很多学生不理解用均值不等式求最值三个条件中的“定值”，他们解题一般都是严格按照“一正二定三相等”的步骤.下面通过几例说明均值不等式的运用及注意事项.

一、解题时常用结论

（5）对两个正数a，b，若它们的和是定值S，当且仅当a=b时，积P=ab有最大值；若它们的积P=ab为定值，当且仅当a=b时它们的和S取得最小值

二、题型分析

题型一：a＞0，b＞0，a+b≥2直接使用

例1已知x＞0，y＞0，2x+y=1，则xy的最大值为____________.解析：因为当且仅当2x=y时等号成立，即，解得当且仅当x=时等号成立.

题型二：两次使用不等式

例2已知a＞b＞0，求的最小值.

解析：，当且仅当b=a-b，即a=2b时，等号成立.

评注：两次使用重要不等式时，注意两次的等号能否同时取得到，若取不到，则本题不能2次使用不等式.

题型三：“添项”构造使用不等式的条件

例3当x＞2时，不等式恒成立，则实数a的取值范围是________.

解析：因为x＞2，所以x-2＞0，所以，所以当且仅当即x=3时，等号成立.

题型四：“乘项”构造使用不等式的条件

例4已知x＞0，y＞0，且求x+y的最小值.

误解：所以xy≥36，当且仅当即y=9x时，等号成立.

误解原因：两次等号成立的条件不能同时成立，故结果有误.

正解：因为当且仅当即y=3x时，等号成立，所以x+y的最小值为16，此时x=4，y=12.

三、均值不等式失效时处理策略

例5已知x+y=-1，且x＜0，y＜0，求的最小值.

策略一：令xy=t，则0＜t＜1，又因为x+y=-1，所以y=-1-x，代入xy=t得x2+x+t=0.

策略二：因为x+y=-1，且x＜0，y＜0，所以设，即，再令为此等价构造新函数，求它的最小值.以下同策略一.

策略三：由x+y=-1得y=-1-x，又因为y＜0，即-1-x＜0，得-1＜x＜0，所以为此等价构造新函数求其最小值.h′（x）=-1-得或x=（舍），故时，函数h（x）取得最小值否则无最小值），即的最小值为

当均值不等式失效时，一般情况下，可以化为对勾函数，利用其单调性解决，也可考虑通过换元，把已知与结论联系起来，等价转化为一个新函数，利用导数求解它.

反思高一新课教学或高三复习，老师要想学生学会用均值不等式求最值，首先要让学生回顾最值的定义，让学生知道题目求最值究竟是要得到什么，从而有意识地利用条件往需要的方向整理，否则学生只是生搬硬套“一正二定三相等”.高中数学大部分都是概念教学，先下定义，学生再用定义去办事.从上面的例子看到，其实学生到最后都不是按定义办事，而是按口诀办事，口诀重在形式，到最后学生都学糊涂了.原因可能是我们强调定义的次数远远少于强调口诀的次数.要改变这一现状，我们要做到两点，不能只看重学生的成绩，更要教会学生思考.定义有时很抽象，但高中三年，如果我们一直强调，学生还是会慢慢地理解的.还有，强调口诀的前提请再提一下定义.“形式”方便记忆，但要在数学上走得更远，必须要理解“本质”.