探究式方法在高中数学学习过程中的应用——以一道高考复习题为例

☉华中师范大学第一附属中学 易宇丹

☉华中师范大学第一附属中学 戴炎陶

探究式方法在高中数学学习过程中的应用
——以一道高考复习题为例

☉华中师范大学第一附属中学 易宇丹

☉华中师范大学第一附属中学 戴炎陶

做练习是数学学习过程中必不可少的环节，但我们面临着海量的习题，如何通过做一些典型的习题达到快速掌握所学知识的目的呢？我们可以对典型问题展开深入分析，归纳总结相关知识点，从而在学习过程中起到事半功倍的效果.笔者认为多对问题进行探究和总结是一条行之有效的方法.本文以作者曾经做过的一道高中数学复习题为例，谈谈对数学问题的探究性学习方式.

一、试题再现

题目设函数f（x）=（1-mx）ln（1+x）.

（1）若当0＜x＜1时，函数f（x）的图像恒在直线y=x的上方，求实数m的取值范围；

这是某地2017年高中毕业年级的一次考试题，在标准答案中是通过对函数进行求导，然后就三种情况分别进行讨论再给出问题的解.不少同学反映其解题思路显得有些突兀，理解起来不太容易.为此，本文从问题探究的角度来分析该题的求解思路.

二、思路剖析

此题第（1）问可从条件入手，不难构造函数F（x）=（1-mx）ln（1+x）-x，从而将原问题转化为一个引申的问题：

问题1：在0＜x＜1的条件下，求F（x）＞0恒成立时的取值范围.

对于所构造的函数F（x）也容易探究出F（0）=0，鉴于问题1实质上是关于函数F（x）在所给定义区间上非负性求解问题，因此，自然会考虑通过函数的极值点或单调性来求解问题，这就自然联想到用导数的方法.

问题2：所构造的函数F（x）在0＜x＜1上单调性如何？

如果函数在给定的定义域上具有单调递增的特征，则结论就成立.因为导函数的性态不清晰，无法直接判断其符号，因此进一步对其求导，得到

由于本题的解题重点是要确定F（x）的单调性，但函数F′（x）的符号变化特征不易确定，因此才进一步通过求导的方式得到G（x），从而将问题转化为探究G（x）的符号变化特征这一问题，但G（x）的符号实际上由函数g（x）=mx+2m+1确定的，所以问题2转变为探究函数g（x）的正负问题.

情形1：显然，当m≥0时，由于x∈（0，1），所以，g（x）＞0，G（x）＜0，即函数F′（x）单调递减，并且由于F′（0）=0，故在x∈（0，1）上F′（x）＜F′（0）=0，进而得出结论F（x）在x∈（0，1）上单调递减，从而有F（x）＜F（0），这与问题1所寻求的条件矛盾.

结论：问题1的求解范围需要在m＜0的区间中寻找答案

情形2：在m＜0的条件下，进一步分析函数g（x）=mx+2m+1的零点.特别地，当时（此时x=0），0在x∈（0，1）上，G（x）＞0，F（′x）单调递增，并且由于F（′0）=0，故此在x∈（0，1）上F（′x）＞F（′0）=0，进而得出结论F（x）在x∈（0，1）上单调递增，从而有F（x）＞F（0）=0，此时问题1寻求的条件满足.

结论：满足问题1所寻求的条件.情形3：接下来进一步探究的情况，由于g（x）=mx+2m+1的图像是一条直线，并且斜率为负，当x＜x0时，g（x）＞0，从而G（x）＜0，F′（x）单调递减，并且由于F（′0）=0，故在x∈（0，1）上F（′x）＜F（′0）=0，进而得出结论F（x）在x∈（0，1）上单调递减，从而有F（x）＞F（0）=0，这与问题1所寻求的条件矛盾.但实际上x0不一定在定义（0，1）区间内），故只需定义x′=min｛1，x｝，当00x∈（0，x0′）时，g（x）＞0，从而上述结论依然成立

综合上述三种讨论的情况，可以得出第（1）问所要求的实数m的取值范围是

三、问题拓展

通过前一节三种情况的讨论与探究分析，从中进一步可以拓展出几个相关问题.

拓展1：实际上，对于本题的第（2）问，可以通过变形得到一个更加一般的不等式问题：拓展2：可以进一步考虑情形2中的特例，如

拓展3：结合拓展1和拓展2的结论，也可以得到一个一般性的结论：这个结论实际给出了对无理数的一个区间估计值.不限于这种形式，对于这种形式，结论依然成立.

通过这种探究式求解，对于此类问题就可以达到举一反三的目的，对于与此类似的问题求解起来就比较简单了.

四、归纳点评

本题本质上是一道函数与不等式的问题，通过问题探究求解，实质上命题人的意图是要考查函数性质（单调性）、基本初等函数求导运算，以及通过求导数来判断函数单调性、利用函数的某些特征证明一类不等式等知识点.

在实际求解过程中，利用条件通过构造函数进行问题探究，不断将问题转化为相关子问题，从而逐步寻找到解决问题的方案.这种将原问题不断进行转化为更容易求解的新问题也是数学问题求解常见的手段，探究式思考问题的方式对于培养我们解决实际问题的能力很有裨益，也是将方法教给学生的实践体现.