教学要注重思想方法的整合——以函数思想为例

☉江苏省溧阳市溧阳中学 杨珍辉

教学要注重思想方法的整合
——以函数思想为例

☉江苏省溧阳市溧阳中学 杨珍辉

中学数学的学习离不开解题，学生的数学能力和素养都是通过不断解题获得提升和增加的.在这一学习过程中，我们不难发现学生的学习更多是停留在问题的解决上，大多数学生是不会思考问题为什么这样解，这样的解决方式是通性通法还是误打误撞？浙江大学金蒙伟教授这样评价中学数学教学：现在的教学总欠缺点儿一针见血的味道，在那里绕来绕去，教师把最核心的知识点和思想讲透就轻松解决了，这说明我们教学还没有能够做到很好的梳理.

笔者可以这样理解教授的话：从高等数学的观点来说，中学数学是为其打下扎实的基础，主要是在运算能力和思维发散方面，而不是在技巧和技能上要求过高，纵观模拟卷和高考真卷，最大的不同在于模拟卷往往在技巧上的要求高之又高，而高考真题却是朴实无华.这反映了我们的教学不能再拘泥于技能和技巧，要从知识的本质和思想的深度上做出合适的调整，这样的教学是有启发的、有思维的、有导向的，这样的教学是符合课程标准理念的，是对学生的将来发展负责.本文以函数思想在中学数学教学中的运用为切入点，结合案例谈一谈教学中思想方法的渗透.

一、教学亟需注重整合

众所周知，当下的中学数学教学主要是依赖这样的套路：其一，用快速的节奏将必须的教材上完，因为进度快导致不少学生难以跟上知识的进展，大多数学生在学习中处于一种“半成熟”状态，更让笔者困惑的是：现在不少教师的一般教学过程变得更为简单，新课更多的讲题型、讲解题技巧，复习课用各种教辅资料进行反复训练；其二，用高三一整年的时间进行反复训练，达到基本知识熟练的目的，但是对于难题教学并没有仔细的思考和有效的校本化整合，属于重复劳动过度，有效开发整合太少.正是基于这两方面的因素，学生学习非常劳累，获得效果也比较低微.笔者认为要使得教学，特别是复习教学更为高效，需要横向纵向对知识进行开发，将教学资源进行有效整合，这是提高效率最好的办法.笔者以数学思想一课为例进行校本化整合，首先关注选材：

选材：（1）方程（log4x）2+alog4x+4-2a=0在［16，+∞）上有两不等实根，求a的取值范围.

（2）对于任意α∈［-π，π］，不等式cos2α+（4-a）sinα+2a-5＜0恒成立，求a的取值范围.

（3）等差数列｛an｝的前n项和Sn=m，前m项和Sm=n（m≠n），求前m+n项的和Sm+n.

意图：笔者在一次数学思想方法教学过程中，以函数思想为例进行了课程校本化设计，即做到了针对学情的有效开发，更是通过不同问题的展示，将函数思想方法融入到教学中，提升学生对于问题的理解和深思.笔者选择的三个基本问题涉及方程问题、不等式问题、数列问题.这些问题在基本处理方式上都有各自独立的基本处理方式，笔者选择这些问题的目的，是引导学生思考如何在中学数学最为核心的知识架构上解决问题，这才是中学数学学习的最需要向学生渗透的知识本质——函数.

二、方程问题中的函数思想

方程与函数本身就是一个整体，但是不少学生总是在这里缺乏足够的联系思考，方程问题一味的方程解决，不善于利用函数思想去思考、辩解，导致问题解决效率低下.如方程根与系数关系中不少类似的问题用方程角度是非常烦琐的，比如x2+mx-2m+1=0的两根分别分布在区间（-1，0）和（1，2）内，求实数m的取值范围.用函数思想就比较轻松的建立这种联系，获得了高效的解决.让我们回头思考选材中的第一个问题：方程（log4x）2+alog4x+4-2a=0在［16，+∞）上有两不等实根，求a的取值范围.

分析：站在系统的高度，首先跟学生一起思考问题解决的方向为什么是函数思想的介入，如何让函数思想介入成为解决问题的主流和必然.不妨分解问题来看：第一步，显然是换元思想的介入，关于x的方程可用换元的思想，设log4x=t，则方程就等价于t2+at+4-2a=0在t∈［2，+∞）上有不同两解；第二步，根与系数的关系利用函数模型解决成为一种常态，所以等价于函数f（t）=t2+at+4-2a有两个大于等于2的零点，则需满足解得

不难发现，这里函数思想的渗透是一种必然趋势，这是因为换元之后的问题是方程问题，而方程是函数的特殊情形，因此用函数思想解决本问题是水到渠成的事.

三、不等式问题中的函数思想

不等式与函数也是紧密联系的，从初中学习的一元二次方程、一元二次不等式以及二次函数之间紧密的联系可知，不等式问题的解决中全面渗透着函数思想，将不等式问题转换为函数问题是解决问题的常用方法.以上述设计问题为例：对于任意α∈［-π，π］，不等式cos2α+（4-a）sinα+2a-5＜0恒成立，求a的取值范围.

分析：要解决本题，首先思考的正是换元角度的介入，设cosα=x，α∈［-π，π］，则x∈［-1，1］，原题就等价于对于任意x∈［-1，1］，不等式x2+（a-4）x+4-2a＞0恒成立，求a的取值范围.这一步是学生基本能想到的.接下去的问题涉及二次不等式恒成立问题的处理，请学生思考如何处理二次不等式.教师引导学生转化为二次函数，并利用二次函数的性质进而转化为求函数最值或者变参分离为a＞f（x）max或a＜f（x）min解题.

解法1：（利用函数思想，转化为最值求解）可令函数f（x）=x2+（a-4）x+4-2a，题意等价于f（x）min＞0，x∈［-1，1］，函数

综上得a＜1.

解法2：（利用二次函数图像特点及二次方程根的分布）函数f（x）=x2+（a-4）x+4-2a=（x-2）（x+a-2）的两根为2和2-a，因为二次函数开口向上，所以只需f（x）＜0的解集与［-1，1］的交集为空集即可，则x2=2-a＞1，即a＜1.

解法3：（参变分离）x2+（a-4）x+4-2a＞0⇒a（2-x）＜x2-4x+4，因为x∈［-1，1］，则2-x＞0，则解决该函数最小值），易得2-x的最小值为1，所以a＜1.

不难发现，该不等式恒成立问题的处理是比较常见的转换为二次函数问题，从问题的解决来看，笔者将不等式转化为函数问题，这是函数思想贯穿于知识始终的体现，不同的是三种解决方式体现了函数思想介入后不同函数模型的使用，用解法1的二次函数模型是常态，但是需要分类讨论思想帮助；解法2利用了函数的零点，其难度在于学生自身是否善于观察；解法3是随着函数思想的深入，最受学生欢迎的参变分离方式，该方式研究的函数是确定的，因此最值的求解自然也就简单多了.在不等式中渗透函数思想，成为函数思想方法教学中较为主导的方向.

四、数列问题中的函数思想

数列的本质恰恰是函数，因此数列问题往往可以从函数角度切入，而且函数思想的运用大大简化了数列运算的量，从而获得了较为简单的计算方式.以上述选择的问题为例：等差数列｛an｝的前n项和Sn=m，前m项和Sm=n（m≠n），求前m+n项的和Sm+n.

分析：本题对于一般学生而言，基本量的运算思路是不言而喻的，但是学生往往难以算到最后的状态，究其原因是基本量a1和d的计算稍显烦琐，导致了不少学生无法理清之间的关系，从函数思想的角度来说，等差数列求和公式的本质是一种特殊的函数模型，有了这一层面的深刻理解，函数思想解决本问题也是自然而然的事.等差数列求和公式，即用二次函数的观点来看待.利用函数思想，理解等差数列前n项和Sn满足的关系，从函数的角度而言，是必过（0，0）点的二次函数，借此突破高效省事.设Sn=An2+Bn（n∈N*），则

还有诸如等比数列的函数模型是与指数函数休戚相关，即Sn=A+B·qn且A+B=0，还有诸如an+1=pan+f（n）中构造必需根据函数f（n）模型来确定等，这些扎实的基本知识铸造了函数思想的形成，有助于学生在后续问题解决过程中获得更好的体验，从而形成知识和思想方法的统一.

总之函数是中学数学最重要的知识板块，函数思想是思想方法中最根本的思想方法，因此在教学中切勿泛泛而谈，要以有选择的试题类型进行思想方法的教学，将不同问题进行有效的组合，让学生体会这种思想方法的渗透成为新一轮教学校本化研究的导向.

1.吴志雄.培养高中生数学应用意识的策略与思考［J］.中学数学研究，2013（7）.

2.刘见乐.用思想方法指导高中数学教学［J］.中国数学教育，2014（5）.

3.周强.高中数学教学设计中思想渗透分析及对策研究［J］.数学教学通讯，2014（9）.