多方面剖析，例谈柯西不等式的妙用

☉江苏省海州高级中学 陶 飞

多方面剖析，例谈柯西不等式的妙用

☉江苏省海州高级中学 陶 飞

众所周知，柯西不等式在数学各个领域都有着广泛应用，它在不同领域的应用灵活多变，柯西不等式在数学当中有着很高地位，它的应用是数学知识之间渗透性、统一性的表现.柯西不等式相关应用有一些基本的方法和技巧，下面通过具体例子来阐述这方面内容.

一、最值问题，活学活用

利用柯西不等式求最值是定理的基本应用，这种题目的关键就是要构造一组数或者一组式子，使得题目中不等式转化成柯西不等式的近似形式，这样在通过变形、缩放等方法得到最后要求的结果.学生对定理的灵活掌握来源于平常的勤奋练习，所以学习要动脑又动手.

例1 已知a，b，c，d满足a+b+c+d=m，a2+2b2+3c2+6d2=1.

（1）求m的取值范围；

（2）若m=1，求a的最值.

解 析 ：（1） 由 柯 西 不 等 式 得 a2+2b2+3c2+6d2·所以m2≤2，即

点拨：例1是柯西不等式求最值的典型题，我们从题目中可以看出应用柯西不等式的要点，而不等式缩放后为常数是应用柯西不等式的基本要点之一，是需要熟练掌握的基本点，在日常的做题练习当中，大家要注意总结这类关键点，做到一通百通.

二、三角函数，手到擒来

由于柯西不等式应用广泛，在很多题目当中都会看到它的身影.在近年来的高考题目中各部分知识的综合考查成为重点，也是同学们学习和掌握的难点，大家都知道函数贯穿于整个中学学习阶段，将两者结合之后同学们是否还能从容应对呢？下面来看例题是如何做的.

例2当x=θ时，函数f（x）=sinx-2cosx取得最大值，则cosθ=_______.

解析：由柯西不等式可得时，（fx）取得最大值，所以又由上面的柯西不等式取等号的条件可知，解方程组得

点拨：这里通过题目可以看到柯西不等式结合函数知识的应用，所以同学们在解题当中不能一味地“死做题，做死题”，要将数学知识中不同章节内容联系起来，用发展和联系的眼光看数学知识，有创造性地思考问题，这样才不会在这些新题型面前不知所措.

三、几何问题，攻克难点

在浩瀚的数学知识体系当中，任何两个知识点的碰撞都可能会有引起火花.下面介绍的是在几何当中嵌入柯西不等式的解题方法，这里重在引导学生的思路，开拓学生的眼界和思维，培养学生的创新意识和发现意识，希望大家能够通过例题洞悉其中的一些奥秘.

例3在平面直角坐标系内，求点P（x0，y0）到直线Ax+By+C=0（A2+B2≠0）的距离.

解析：点P（x0，y0）到直线的最小距离，实际上就是点P到直线上某点Q（m，n）之间的距离最小值，即的最小值.根据柯西不等式知，由Q（m，n）在直线上得，所以即，从而得要求的最小值为

点拨：活学活用是数学解题的重要思维之一，这里展示的例题便充分说明了这一点.柯西不等式在几何题当中的应用，是非常具有创新性的题目，这类新颖的题目是近年来高考的难点，能够突破书本中知识的“枷锁”，便决定了在难点测试中最后的成败.

四、参数范围，快速求解

利用柯西不等式可以快速求得参数的范围，提高解题的效率.解决这类问题的关键在于仔细分析题目中的已知条件，找到各个条件之间的关系，再结合柯西不等式将它们联系起来，从而高效地解决问题.

例4已知实数a、b、c满足a+2b+c=1，a2+b2+c2=1，求c的取值范围.

解析：先来看一种错误的解法：根据（a2+b2+c2）（1+22+22）≥（a+2b+2c）2，解得（1+c）2≤9，则-4≤c≤2.这种解法忽略了柯西不等式等号成立时所需要满足的条件，所求得的结果两边不能够取得等号，因此将范围扩大，导致解题结果的错误.

下面来看正确的解法：通过观察两个式子的特点，可以根据柯西不等式建立与参数c有关的一元二次不等式，从而求出参数c的取值范围.根据（a2+b2）（1+22）≥（a+2b）2，可以得到5（1-c）2≥（1-c）（21-c）2，即3c2-c-2≤0，解得，所以所求参数c的取值范围为

点拨：本题的关键在于根据柯西不等式建立含有参数c的一元二次不等式，同时也不能忽略柯西不等式等号成立时所需要满足的条件，只要注意以上的要点，利用柯西不等式求参数范围的问题将会迎刃而解.

本文展示的四个例题是柯西不等式应用的一部分类型，这在柯西不等式应用当中还只是冰山一角，柯西不等式是工具，数学的其他知识是基础，只有打好这个基础，才能运用好这个工具.希望学生能通过四个例题的反思，锻炼自己的思维，将自己的能力提高一个档次.