小议高中数学教学中的轻与重

☉江苏省江阴高级中学 王小冬

小议高中数学教学中的轻与重

☉江苏省江阴高级中学 王小冬

中学数学教学是所有学科的重中之重，是中学教育的基础学科，其对于各种专业知识有着深远的影响.与高等数学学习不同的是，中学数学教育在难度、训练量上都远远没有这么复杂、困难，但是其内容涵盖面却一点也不少.考虑到中学生的学情现状，对于中学生数学学习教师要有合适的方式，注重教学的精准度，做到孰轻孰重，精准教学.

大量的调查研究表明，中学生数学学习有着较大的困难，这与其自身的学习能力有关.因此中学数学教学也有着正确的教学导向，即教学的精准性.从笔者教学实践来思考，至少有三方面的指向引导教师教学需要注重轻重缓急：第一，概念教学和解题教学，对于中学数学教学来说，教师要深刻理解数学概念教学远远比数学解题教学来得重要，这与高等数学教学完全不同，因为中学生自身数学学习能力以及尚未历经高考这样的超级选拔性考试，因此会解题比理解概念来得次要一些，我们的教学更要注重概念的形成和思考；第二，教学深度和教学广度，中学数学教学不需要在教学深度上过于深入，但在知识的广度上却要求注重发散、拓展，这有助于中学生思维的开展和开发，提升其更好的思路和想法；第三，解题技巧和数学思想，对于中学数学教学来说，解题技巧相对来说并不是最主要的，而学生头脑中蕴含的数学思想才是教学需要时刻关注和渗透的.本文从三方面的案例出发，与读者一起探讨中学数学教学中的轻重之分，为后续教学做好导向作用.

一、重概念教学，轻解题教学

从教学实践来看，中学数学教学如果要在概念教学和解题教学中选一个更为重要的点，笔者认为是概念教学.并非说解题教学不重要，只是跟概念教学相比，笔者始终坚持认为概念教学是中学数学教学的核心.众所周知，数学概念是知识去除物理背景、载体后的本质化体现，将概念教学教的深入学生心间，才是教学成功的标志之一.

概念：直线和圆锥曲线位置关系教学中的一个公共点问题.

师：直线和圆锥曲线有一个公共点怎么定义？

分析：其实很多学生对于这一概念是不理解的.因为受到初中切线概念的负迁移，其始终认为一个公共点问题就是相切问题，这从概念起步阶段就已经错了.怎么与学生介绍直线和圆锥曲线有一个公共点的问题不完全是相切问题呢？笔者建议从学生学过的三角函数下手，可以直接描述这两种关系是既不充分也不必要的.

举例1：三角函数与直线相切，它们有多少个公共点？

生：无数个！

师：说明什么？

生：说明相切未必仅有一个公共点，与我们以前的认知是不一样的.

举例2：能否指出与抛物线y=x2仅有一个公共点的直线，但又不是切线？

生：有，抛物线的对称轴y轴.

师：是的.显然抛物线对称轴与抛物线只有一个公共点，但其显然不是抛物线的切线.因此一个公共点也不一定是切线.

意图：通过上述两个举例，使得学生明白一个公共点和相切问题并无直接关联.进而通过具体举例使得学生理解这一直线和圆锥曲线位置关系中的概念.

分析：设直线斜率为k，则直线方程为y-2=k（x-2），联立椭圆方程，得

消去y整理得（4k2+1）x2+16k（1-k）x+（16k2-32k+12）=0，令Δ=0，得，所以直线l的方程为

举例4：求过点（2，2），且与双曲线x2-y2=1有一个公共点的直线方程.

分析：不难发现，由于该点位置的特殊性，其位于其中一条渐进线上，从图像角度思考也能发现应该有三条，可以从具体代数的角度进一步思考，有兴趣的读者可以进行验证.

从概念教学的角度出发，笔者对于这一问题在中学生中进行过尝试，这里笔者并未要求学生对问题进行不断的求解、解题，而是以通俗易懂的方式，让学生知道为什么一个公共点与相切问题并无直接联系，从而获得了教学轻重之分，体现了教学的高效性.

二、重教学广度，轻教学深度

与高等数学教学不同的是，中学数学教学并不需要在深度上过于苛刻，但在教学的广度上却不可谓不广一些.知识的广度、理解程度从中学生学习数学的角度来说，广度比深度来得更为重要.以解三角形为例，其实其所涉及的知识主要是正余弦定理，因此对于其知识所涉及的广度上需要作出合理的设计，而不是在三角公式的难度、技巧上不断挖掘，失去考查基本知识的意义.

问题1：在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，已知b2-c2=a2-ac.

（1）求B的值；

解析：由（1）知.因为，所以，

分析：本题是简单的解三角形问题，对于公式基本运用也属于基本层面，属于学生基本掌握类型.如何提升本问题的广度呢？笔者建议与其他相关知识紧密结合，体现学习的广度，而不是在三角公式深度的挖掘上做出大量的、烦琐的设计，以便有助于中学生知识学习的综合性体验.

分析：对于变式1，由12=a2+c2-ac可以得到12=a2+c2-ac≥2ac-ac=ac，当且仅当a=c时等号成立.

变式2：若b=2，求a2+c2的最大值.

分析：对于变式2，同样有，即得a2+c2≤24，当且仅当a=c时等号成立.

变式4：若，求△ABC的面积的最大值.

分析：对于变式4，由三角形的面积公式，结合B=，可以得到.要求三角形面积的最大值，只需转化为求ac的最大值即可.而ac的最值则可以通过变式2的过程得到.略解解三角形中正余弦定理与不等式的结合、与面积公式的结合、与三角公式的结合，足以体现知识广度的运用，对于中学生而言，这些基本知识不断的整合，恰恰是我们教学的重中之重，而对于三角公式本身，不必在于深度上讲求变形技巧等，反而失去了教学的核心.

三、重思想方法，轻数学技巧

对于中学生而言，数学技巧传授的多并非是好事，甚至可以说严重阻碍了学生数学学习的兴趣.笔者认为，中学数学教学应该在思想方法的传授上多渗透一些，反而有利于启发中学生的数学思维.限于篇幅简单举一个问题：

问题2：函数f（x）的定义域为［-1，1］，则函数f（2x-1）的定义域为_________.

分析：本题对于中学生来说，不可谓不难.但是如何指导中学生解这样的问题呢？笔者建议运用数学思想：本题中是特殊化的数学思想.可以思考函数（fx）的定义域为［-1，1］，不妨记即可，显然函数，其定义域也自然而然可以求解.所以说，有思想才是问题解决的更为高端的武器，而不要过于拘泥于解题的技巧.

特殊化是解题的一种常用思想，而且对于中学生而言，特殊化的思想是极为有用的数学思想.中学数学中不少抽象性问题的本源都是依赖具体模型编制的，笔者认为要引导学生思考这些问题背后的本质，可以结合学生自身特点，进行特殊化思想的教学渗透，只有不断的渗透才会有学生深刻的理解.

本文从三个教学实践的方面阐述了高中数学教学中需要关注的轻与重，显然还有诸多方面限于篇幅未能涉及，有兴趣的读者可以再思考，我们是不是过于注重了一些不该过分注重的，而舍弃了另一些该注重的？常常有这样的思考，才会使我们的专业化成长来得更为飞快.

总之，对于中学生数学教学需要侧重其自身特点实施，需要重视符合学生学情的，轻难以实现的，这才是有的放矢的教学.最后笔者要说，这里所说的轻重也仅仅是相对的，更应该根据任教学情做出合适的选择.

1.杨建辉.新课程标准下教师教学设计中应具备的几种意识［J］.数学通报，2011（2）.

2.何宗罗.整体凸显 结构优化 问题引领［J］.教学月刊，2012（4）.

3.宋卫东.从生“动”到生动，诠释思维品质的提升［J］.中学数学月刊，2013（5）