基于Hankel行列式的一类双和恒等式

宋旭霞

（呼伦贝尔学院数学统计学院 内蒙古 海拉尔 021008）

关于孤子理论中的双线性方程的研究，国际上一直非常活跃.尤其在双线性方程的群射 Lie代数的问题研究上，更为积极。事实上，应用群论的方法已经发现了许多新的孤子方程，但是这种方法需要比较高深的代数知识，应用起来也比较困难，而方程的求解过程与Hankel行列式的性质密切相关。为此，本文在已获得的Hankel行列式的双和恒等式的基础之上，研究Hankel行列式的双和恒等式的推广形式。

1.基础知识

1.1 如果行列式满足则称之为 Hankel行列式。显然，Hankel行列式满足 aij= aji的条件，因此 Hankel行列式是对称的，同时也满足条件所以它也是次对称的。

一般情况下，我们采用单后缀的方式来表示元素，令则有

1.2 若函数满足关系式则称函数关于其变量是s次齐次的；若函数满足关系式则称函数关于其变量的下标之和是s次齐次的。

1.4 已有性质

引理1[]]：关于Hankel行列式的凝聚余子式满足以下关系式：

引理2[1]：关于Hankel行列式有下列双和恒等式成立：

引理3[1]：欧拉定理：

（1）如果变量是相互独立的，函数对每一个变量都是可微的，且对于变量是s次齐次的，则有

2.预备定理

Hankel行列式因其形式简洁美观、应用广泛而著称，在Hankel行列式性质研究的过程中，为了将已有Hankel行列式的双和性质顺利推广，作为基础，我们需要先行证明下列引理。

引理4：对于 Hankel行列式满足下列齐次性的而相关结论：

（1）的展开式中的每一项都是n次齐次的；的展开式中的每一项的下标之和都是 n ( n - 1 )次齐次的。

（2） Hankel行列式的代数余子式 Aij的展开式中的每一项都是 n - 1 次齐次的；它的展开式的每一项的下标之和都是次齐次的。

证明：（1） 因为 An的展开式中一共包含 n !项，每一项的形式均为这里为1,2…n的一个排列，显然展开式中的每一项都包含n个元素，从而 An是n次齐次的。

同时，通过观察展开式的每一项的形式，可以发现其下标之和为

所以，展开式中的每一项的下标之和都是 n ( n -1)次齐次的。

（2）因为 Aij是在 An中去掉了第i行和第 j列，其展开式中一共包含(n - 1 )!项，每一项的形式为

同时，可以发现每一项的下标之和为

所以，展开式中的每一项的下标之和都是次齐次的。

推论1：对于Hankel行列式的代数余子式 Aij,hk，可知 Aij,hk的展开式中的每一项都是 n - 2 次齐次的；Aij,hk的展开式中的每一项的下标之和都是次齐次的。

证明：因为 Aij,hk是在 An中去掉了第 i, j行和第 h , k列，其展开式中一共包含(n - 2 )!项，每一项的形式为

这里的一个排列，显然每一项都包含 n - 2 个元素，从而 An是 n - 2 次齐次的。同时，每一项的下标之和为

所以，展开式的每一项的下标之和都是次齐次的。

3.一类推广的Hankel行列式双和恒等式

有下列等式成立：

（2）令 m = r + s - 2 ，并且重新排列和式，则（1）式可以变形为

（4）令 m = r + s - 2 ，并且重新排列和式，则（2）式可以变形为

证明：（1） 由引理4可知 Aij的展开式的每一项都是 n - 1 次齐次的，利用Hankel行列式中对元素的偏导数的定义及欧拉定理可知

（2） 由引理4可知 Aij的展开式的每一项每一项的下标之和都是次齐次的，利用Hankel行列式中对元素的偏导数的定义及欧拉定理可知

（3）由引理4的推论1可知 Aij,hk的展开式的每一项都是 n - 2 次齐次的，利用Hankel行列式中对元素的偏导数的定义及欧拉定理可知

（4）由引理4的推论1可知 Aij,hk的展开式的每一项的下标之和都是次齐次的，利用Hankel行列式中对元素的偏导数的定义及欧拉定理可知

（5）利用Hankel行列式的性质，我们可知有

通过文中定理一和定理二的猜想与证明，我们得到了推广后的Hankel行列式双和恒等式的形式，解决了一类性质比较复杂的Hankel行列式所满足的双和关系的性质。它比Hankel行列式原有的应用空间更为广泛，不仅对于研究掺杂特殊元素的Hankel行列式的相关性质有所帮助，更为重要的是可以用它来解决Dale方程、Toda方程、Kay-Moses方程等一系列物理方程的求解问题[3-5]，在可积系统的研究过程中具有非常重要的的应用价值。参考文献：

[1]Robert Vein，Paul Dale。Determinants and Their Applications in Mathematical Physics [M].Springer-verlag，1998.

[2]胡星标.孤子理论中的直接方法[M].北京：清华大学出版社，2008.

[3]荣赶丁. Cantor序列及其差分序列的Hankel行列式[D].华中科技大学,2013.

[4]文志雄,武文.Cantor序列的Hankel行列式[J].中国科学：数学,2014,(10)：1059-1072.

[5]李彦君,杨胜良.加权Motzkin序列的Hankel行列式[J].纯粹数学与应用数学,2017,(01)：26-36.

[6]李小飞.一类解析函数类的Hankel行列式的上界估计（英文）[J].数学理论与应用,2013,(04)：23-28.