磨刀不误砍柴工 慢开的“花儿”别样红——从算式到方程的起始课谈起

崔春近（山东省沂源县实验中学）

磨刀不误砍柴工 慢开的“花儿”别样红
——从算式到方程的起始课谈起

崔春近（山东省沂源县实验中学）

教学中如果教师能够留给学生足够的思考、探究的时间，就会发现课堂中有很多问题是不能够预设的，知识的传授过程会受到多个干扰因素的影响，这就要求教师要慢下脚步，耐心去“等待”，让学生去体会、去经历，在过程中感悟数学的内在魅力.

方程；模型思想；算式

一、题目呈现

人教版《义务教育教科书·数学》七年级上册第三章“一元一次方程”中有这样一道问题引入题：山间公路上有一辆正在匀速行驶的汽车，途经王家庄、青山、秀水三地的时间如表1所示，翠湖在青山、秀水两地之间，距青山50 km，距秀水70 km.王家庄到翠湖的路程有多远？

表1

二、题目分析

学生对这一情境并不陌生，可以列算式求，也可以用方程（学生在小学阶段学过简单方程）求，但如何引领学生针对问题进行分析，展开探究，如何在问题的解决中渗透数学模型思想，让学生领悟为什么要用方程来解决问题，列方程与用算式解决问题有什么不同，进而体会到列方程解应用题的优势，为后续一元二次方程、分式方程、二元一次方程组的学习做好铺垫是备课的重点.

为深入探究从算式到方程起始课的讲授，学校举行了“同课异构”的研讨活动，让教师在这一问题上大胆尝试、积极实践，探索一条适合个人特色的钻研教材的道路.也借此，掀起教师教研氛围的“高潮”，活动结束后，教师一致反映教学研讨活动的效果理想，对于一元一次方程起始课的授课思路有了全新的理解，也逐渐摸索出了一条切实可行的教研之路.现把课堂的精彩片断及研讨反思的内容总结如下.

三、精彩教学片断

师：要解决这个问题，你首先想到了什么？

生1：这是一个行程问题.

师：要求路程，需要知道哪些量？

生2：行驶这段路程汽车所用的时间及这段路程汽车的速度，让速度×时间.

师：画线段图有助于理解行程问题，请同学们在练习本上画出线段图.

生3进行板演如图1所示.

图1

师：怎样来列算式呢？

学生列出的算式整理如下.

生4：（50+70）÷2=60km/h，60×5-70=230km.

生5：（50+70）÷2=60 km/h，60×3+50=230 km.

生6：用比例的知识-70=230 km.

生7：

生8：直接用算式的分步求法.从青山到秀水2个小时走了120km，所以从王家庄到青山3个小时走180km，所以从王家庄到翠湖的距离为180+50=230km.

生9：从青山到翠湖和从翠湖到秀水的距离之比是5∶7，所以到翠湖的时间是13：50，再根据比例求解

在生9的启示下，生10又找到了新的运用比例求解的办法.

生11：从青山到翠湖50分钟走了50 km，所以从王家庄到青山180分走了180 km，所以从王家庄到翠湖的距离为180+50=230 km.

如果时间允许，还会有不少学生能够想出其他的列算式的方法，这说明学生在小学阶段的基础打得比较牢固，能够从多角度来分析问题，也为下一步列方程埋下了伏笔.

师：同学们的思路十分开阔，现在我们能不能通过列方程来求解呢？同学们知道什么是方程吗？

生：方程是含有未知数的等式.

师：怎样列方程呢？

师：如果设王家庄到翠湖的距离是xkm，请同学们思考一下，我们该如何解决这一问题.

独立思考5分钟，然后小组交流.在交流的环节，教师先让列算式的学生进行展示，随后，展示方程，意在让学生体会列算式与列方程的不同，同时，也是遵循贴近学生的认知发展区的原则.看似简单的问题，对于还没有深入学习方程的初中生来说，却有多道砍.学生有时候没有准确地理解新知识，主要是由于知识的跨度可能很大，这样新知识传授的过程就不会很理想.美国著名的教育心理学家奥苏泊尔有一段经典的论述：假如让我把全部教育心理学仅仅归纳为一条原理的话，我将一言以蔽之：影响学习的唯一最重要的因素就是学生已经知道了什么，要探明这一点，并应就此进行教学.这段话给出了“学生原有的知识和经验是教学活动的起点”的论断.

生12：如果直接设王家庄到翠湖的距离是xkm，就可列方程

师：这个等式是如何得来的？等式两边又分别表示什么意思呢？

生12：等式左边表示从王家庄到青山的行驶速度，右边表示从青山到秀水的行驶速度，由于汽车是匀速行驶，所以各个路段上的速度是相等的.

生13：老师，根据各个路段上的速度是相等的，还可以列方程

生14：我列的方程是

师：很好，这个等式的两边是什么含义？

生14：等式的左边是王家庄到青山的速度，等式的右边是王家庄到秀水的速度，因为是匀速，所以相等.

在这里学生还是不适应等式两边都含有未知数列方程的方法，生12与生13的方法为学生很好的理解方程起到了很关键的作用.确定用“速度”这个量寻找等量关系，用不同路段上汽车所行驶的路程和相应的时间来表示，从而理解方程的构建和形成过程.以此为基点，扩散开来，由点到线再到面，让学生向方程进一步迈进、看清并理解它.其实这恰恰是学生真正经历从算式向方程过渡的过程.

生15：从青山到翠湖和从翠湖到秀水的距离之比是5∶7，所以到翠湖的时间是13：50，我们还可以列一个表（如表2），设王家庄到翠湖的距离是xkm.根据表格，我们就可以根据速度相等，任意选出两组数据，就可以列出方程了.

表2

师：同学们的思路渐渐开阔，对问题的理解也十分的透彻，看来，只要同学们认真的想，就会有无穷的力量.

教师的话音未落，就有学生要求发言.

生15：我想设从王家庄到青山的距离是xkm，可列方程

师：那谁能评价一下这个方法？

生15：我觉得这个列法也很好，只不过不是最后结果，需再求x+50.

生17：我们还可以设汽车速度为xkm/h，可列方程3x+50+70=5x.

生18：若设汽车速度为xkm/h，可列方程

师：很棒！有时我们为了解决一个问题，可以用间接的设法，但不要忘记还要再计算.

教师给学生想象的时间和空间，学生展示了不一样的精彩.接下来，教师让学生谈了列算式与列方程的区别，谈了列方程的优越性.

四、研讨反思

1.做好知识的衔接：层层深入，步步为营

一道情境引入题，却花费了“大量”的时间来探究，值吗？实践证明，这不是浪费时间，而是工欲善其事，必先利其器.日本知名教育学者佐藤学曾指出：教育需要在缓慢的过程中沉淀一些有价值的东西.一元一次方程是初中方程学习的开始，尽管学生在小学阶段接触了一点方程的知识，但没有深入的学习，若在此处蜻蜓点水，草草收场，在后续的学习中需要拿出更多的时间来弥补学生思维上的一些“空缺”，而且效果也不理想.

让学生实现由列算式到列方程的转化，是本章的一个重点，也会给学生后续方程的学习打下一个坚实的基础.这就要求教师必须对学生知道了什么，不知道什么了如指掌，如若不能，就有可能陷入困境不能自拔，新生的知识也会因“无根”而终.进而言之，如没能挖掘出新、旧知识之间的最佳联系点，就不能为新的学习提供上位的固定点，也就不能创设知识传授的最佳环境.因此，在授课过程中从学生熟悉的列算式展开，层层深入、步步为营，意在引导学生领悟为什么要用方程解决问题，用方程和算式解决问题有什么不同，使得学生的思维在兴趣和强烈的求知欲中变得更加深邃，看似走了“弯路”，但却加深了学生对方程的理解，更好的帮助学生完成了从算术思想到代数思想的过渡.

因学生的差异，在授课中教师要舍得投入更多的时间来完成这一衔接，如果仅仅为了课堂环节的完整，而舍弃了学生思维品质的培养，实在是舍本取末.

2.在知识的探究中渗透模型思想

数学是一门有着独特魅力的学科，教师要把课堂变成师生激情和智慧绽放的舞台.等式和方程是代数中一个简单的数学模型，《义务教育数学课程标准（2011年版）》里面提到很重要的一点是“注重数学建模思想的渗透”.方程是对学生渗透模型思想的重要载体，在这一点上，从学生熟悉的行程问题入手，让学生充分地进入问题情境，通过列线段图、列表等方法的运用，在化解难点的同时，引导学生思维一步一步从算术思想到方程思想的自然过渡，且通过学生对算术方法和方程方法的感悟、交流，都进一步加深了学生对方程思想的体验.更具有挑战性的是，在初始课上让学生充分体验了运用方程这一模型解决实际问题的关键——等量关系的构建，引导学生一题多解之后，通过求同存异的方法，自然发现寻找等量关系的本质——确定任何一个量作为定量，都可以列出方程，这一点与孙维刚老师对方程应用的深度挖掘具有异曲同工之妙.

3.用“开放”的眼光看“开放”的数学教学

学生与生俱来就存在着智力和能力上的差异.这种差异主要是由学生的已有生活经验、知识水平、思维方式、能力差异等引起的，这些差异性必然会导致学生学习效能和学习效果的差异，而且这种差异也会造成学生学习方式和学习品质的差异.在实际授课中，遵循了这种差异，才能够收获不一样的成功.因此，课堂上始终放手让学生去自主探究，教学过程中，设问恰当，注意抓住问题的本质，开放性的提问方式中蕴含着明确的思考方向.在思路上，可以设路程，根据速度相等列方程，也可以设速度，根据路程相等列方程（在课余时间，部分优等生还运用设时间，列出了分式方程）；在方法上，实现了从列算式到列方程的转变；在形式上，存在等式的两边都含有未知数的方程，和只有一边含有未知数的方程.学生一定能够选择到适合自己的方法，并在交流中取长补短，达到了 “条条大路通罗马”的效果.

问题思考路径的开阔，给了所有学生机会，不仅培养了学生的发散性思维，更让不同的学生经历了不同的数学体验，获得了不同的数学发展，积累了不同的数学活动经验，这才是真正意义上的因材施教，这才是“开放”的数学教学.

［1］崔春近.做好知识“嫁接” 慢等思维“花开”［J］.中学数学教学参考（中旬），2015（1/2）：29-31.

［2］潘建明.解读自觉数学课堂［M］.南京：江苏教育出版社，2012.

［3］石建华.大家都好，大家不同［J］.中学数学教学参考（中旬），2015（3）：64.

2016—09—21

崔春近（1979—），男，中学一级教师，主要从事数学教学、数学竞赛、解题研究和学生减负条件下如何提高课堂教学的实效性研究.