借“元”辅助 柳暗花明

魏大付（安徽省合肥市第四十八中学）

借“元”辅助 柳暗花明

魏大付（安徽省合肥市第四十八中学）

对于某些比较难以上手的应用题，适当的增设辅助“元”，根据题意翻译出含辅助元的数量关系，构建方程（组）或不等式（组）等，辅助“元”帮忙，题中数量关系明朗，再结合整体思想、消元策略等即可化繁为简、化难为易.此时，解题思路更加清晰、顺畅，真的简简单单、自自然然.

借“元”辅助；构建方程；数量关系；解题思路

一、原题呈现

题目（2015年安徽卷）为了节省材料，某水产养殖户利用水库的岸堤（岸堤足够长）为一边，用总长为80 m的围网在水库中围成了如图1所示的①②③三块矩形区域，而且这三块矩形区域的面积相等．设BC的长度为xm，矩形区域ABCD的面积为ym2．

图1

（1）求y与x之间的函数关系式，并注明自变量x的取值范围；

（2）当x为何值时，y有最大值？最大值是多少？

该题以图形的面积最值为立意，凸显“函数模型思想”，重在考查学生独立思考问题，分析问题，进而解决问题的能力.试题素材源于教材（沪科版《义务教育教科书·数学》九年级上册“21.1二次函数”问题1），高于教材，体现了以本为本、以生为本的理念.内容朴实，为学生所熟悉，看到此题，学生第一反应就是自己见过，教师讲过，紧绷的那根弦就放松很多，于是就“跃跃欲试”的兴奋，感觉“果实”就在自己的头顶上，伸手就能摘到.可当真正下手解题时，陌生感又随之而来.

该题的出现，让许多教师眼睛一亮，认为试题源于教材，学生一定能寻找到解决问题的策略与方法.可是，考试结束后，不少学生发现自己对此题缺少深度的认识，缺少细节的探究，没有完成此题的解答.但笔者所授课班级的一名中等生兴奋地说：老师，我按你教的，顺其自然，不知道就找字母（辅助元）帮忙，很快就解出来了，真高兴！笔者听了，也很高兴，因为学生领悟了教师所教的解决应用题的策略，自自然然解题……真是“借‘元’辅助，柳暗花明”.

这里的自自然然解题就是指借“元”解数学应用题，借“元”的策略非常简单，就是“逢山开路，遇水搭桥”，这个“桥”，这个“路”就是“元（字母）”.“元”帮忙，题中数量关系明朗，依据题意翻译出含辅助元的数量关系，建立方程（组）或不等式（组）等，在求解的过程中，辅助“元”可以整体求出或者在写出结果时可消去，思路清晰……真的简简单单、自自然然.

二、解法探究

下面分析2015年安徽卷第22题的解题思路.

该题线段较多，直接写出矩形区域ABCD的面积y与线段BC的长度x之间的关系，真的不好入手，此时只要想到矩形的面积等于长×宽，已知一边，还少一边，怎么办？很好办，找字母（辅助元）帮忙.设BE=a，根据三个矩形面积相等，可得出AE=2BE=2a，进而可得方程组消去字母a便得出y与x的关系式，并求出x的取值范围，再利用二次函数的性质求出y的最大值，以及此时x的值即可．

三、解法应用

下面再撷取两例依据题意构造方程（组）、不等式（组）、函数等数学模型的实例来解读这个策略与大家共享.

例1（2015年福建·漳州卷）国庆期间，为了满足百姓的消费需求，某商店计划用170 000元购进一批家电，这批家电的进价和售价如表1所示.

表1

若在现有资金允许的范围内，购买表中三类家电共100台，其中彩电台数是冰箱台数的2倍，购买洗衣机多少台时，能使商店销售完这批家电后获得的利润最大？最大利润为多少？

此题涉及量较多，直接列函数关系，进而求解不容易.设购买冰箱a台，彩电b台，洗衣机x台，商家获得的利润为y元.彩电台数是冰箱台数的2倍，所以b= 2a.由购买表中三类家电共100台，易知x+a+b= 100，x=100-a-b=100-3a.又由利润y=（2 300-2 000）a+（1 800-1 600）b+（1 100-1 000）x=300a+ 200b+100x=300a+200×2a+100（100-3a）= 10 000+400a，然后借助一次函数的增减性易得出答案.

例2（2015年浙江·义乌卷）某校规划在一块长AD为18 m，宽AB为13 m的长方形场地ABCD上，设计分别与AD，AB平行的横向通道和纵向通道，其余部分铺上草皮．如图2，若设计三条通道，一条横向，两条纵向，且它们的宽度相等，其余六块草坪相同，其中一块草坪两边之比AM∶AN=8∶9，问通道的宽是多少？

图2

利用AM∶AN=8∶9，设通道的宽为xm，AM=8ym，则AN=9y.进而利用AD为18 m，宽AB为13 m，得出方程组消去y，求出x即可.

解数学题时，常会遇到一些比较难以上手的应用题，似乎问题解决到了“山穷水尽”的地步，此时，若适当的增设“元”，根据题意翻译出含辅助元的数量关系，构建方程（组）或不等式（组）等，辅助“元”帮忙，题中数量关系明朗，隐性条件显性化，解题思路优化，产生了意想不到的效果，给人一种“柳暗花明”的感觉.借助辅助“元”解题是一种“手段”，有助于开阔解题思路，有助于数学思维能力的升华.由此可见，在教学中，注重培养学生的思维方法，能使他们不受固定模式的束缚，学会改变思维角度，发现解决问题的新方法，实现思维创新，突破思维定势的束缚.

［1］中华人民共和国教育部制定.义务教育数学课程标准（2011年版）［M］.北京：北京师范大学出版社，2012.

［2］教育部基础教育课程教材专家工作委员会.《义务教育数学课程标准（2011年版）》解读［M］.北京：北京师范大学出版社，2012.

［3］罗增儒.数学解题教学引论［M］.西安：陕西师范大学出版社，2008.

［4］李培华.妙用“设而不求”法巧解五则应用题［J］.中学数学杂志，2011（2）：45.

［5］邬云德.寓“过程教育”于“认识不等式”教学探索及反思［J］.中国数学教育（初中版），2014（1/2）：68-70.

［6］孙庆民，于彬.基于“导学·反思”教学法的教学案例及几点思考：以“平行四边形的性质（第一课时）”为例［J］.中国数学教育（初中版），2016（6）：46-49.

2016—08—24

魏大付（1970—），男，中学高级教师，主要从事初中数学教学及试题编制与解题研究.