复变函数与积分变换教学的体会

肖莉　陈荣三　张林丽

【摘要】复变函数与积分变换是工科学生必修的一门非常重要的基础课程，本文主要讨论了这门课程教学中的问题，提出了提高这门课程的教学效果的一些方法.

【关键词】复变函数；积分变换；高等数学

复变函数是实变函数在复数域内的推广与发展，复变函数的理论与方法在数学、自然科学和工程技术中有着广泛的应用，是解决流体力学、热学等中的平面问题的有力工具.而积分变换是数学中将复杂运算转化为简单运算的有效变换手段，它的理论与方法不仅在数学的许多分支中，而且在其他自然科学中均有着广泛的应用，它已成为不可缺少的运算工具.正是由于复变函数与积分变换理论与方法的重要性，因此这门课程是许多工科专业如自控等专业必修的数学课程，学好这门课程可以为工科学生学习后续专业课程如“数学物理方程”等打下良好的数学基础.

但是学生对这门课程的了解不够，所以对它的认识存在一些误区：学生认为这门课程的实用性不强，很难想象它在现实生活与实践中的应用价值.同时由于学习过程中复变函数需要理解记忆的概念与定义很多，所以学生普遍感觉理论性偏强；积分变换接触一些抽象枯燥的变换公式，这更加让学生认为这是一门纯理论没有实用性的课程因而失去学习它的兴趣.在复变函数中很多概念是实变函数在复数域的推广，因此很多学生只看到了复变函数与实变函数的相同之处没有看到它们之间的区别，觉得这门课程是高等数学内容的重复学习，认为学习这门课程既浪费时间又没有什么意思.另外由于课程的学时设置与后续专业课设置等原因都对这门课的教学效果产生了影响，比如学时太少教学内容很难展开，后续相关课程与这门课学习时间间隔较长，学生已经遗忘所学内容对后续课程的学习没有起到很好的帮助作用.

鉴于此，我们在教学过程中，如何帮助学生寻找合适的“窍门”，降低学习难度，激发学习兴趣，对学生学好“复变函数与积分变换”非常重要.我认为为了取得较好的教学效果可以从以下几个方面做：

首先应该让学生了解学习这门课的重要性，特别是对后续课程学习的影响.因此针对不同的专业要首先了解该专业的课程，具体地指出学习这门课程对后续专业中的哪些课程的哪些内容会有帮助.比如“复变函数与积分变换”的内容与“工程力学”“电工技术”等课程的联系十分密切，我们就可以在这些课程中找出相关的例子给学生，让他们知道学习这门课的必要性和重要性.如我们可以具体给学生指出Laurent级数可以应用于数字信号处理中，利用Laurent级数直接写出离散数字信号的Z变换；又如Laplace变换可以帮助我们求电流，因为串联电路上电压、电阻、电流、电感、电容就满足一个微积分方程，要求串联电路的电流问题也就变成了求解微积分方程的问题，而拉斯变换正是求微积分方程的有力工具.所以在课时允许的条件下我们应该尽可能举出一些实际的例子，让学生体会学习这门课程的重要性，也增强学生学习这门课程的兴趣.

其次，我们一定要让学生知道复变函数与高等数学之间的关系.复变函数与积分变换和高等数学的联系是很紧密的，复变函数中的许多理论、概念和方法是实变函数在复数域的推广，但也要明白它与实变函数的许多不同之处.在学习过程中一定要注意它的相同与不同，只有这样才能学好这门课程.在讲课过程中要强调不同之处，提醒学生要特别注意这些不同的地方，比如指数函数在复变函数里面具有了周期性、负数可以求对数、正弦函数与余弦函数不再有界等等，因为学生在学习完高数后再来学习复变函数很容易将原来已经学到的知识平移到复数域而犯一些不该犯的错误.当然在讲课中也应该指出相同的地方，如在复数域我们也有洛比塔法则、一些初等解析函数的泰勒展开式与实函数的结果类似、求导法则不变等，指出这些可以减轻学生的学习任务，因为在高等数学的基础上这些相同或类似结论的记忆变得十分简单，对提高学生的学习效率是有帮助的.然而最重要的是要让学生了解怎样用学过的高数的知识学习复变函数，又如何用复变函数的知识解决高数里面的问题.这样可以让学生在学习过程中做到既学习了新知识又巩固了旧知识.因此在学习过程中应该经常提醒学生注意复变函数与实变函数的关系.复变函数实际上相当于两个二元实函数，因此在复变函数学习中我们经常要用到与二元函数有关的知识与解题方法，比如当要证明复变函数不连续时，实际上就变成了证明两个二元函数不连续，因为复变函数连续当且仅当虚部与实部所对应的两个二元函数连续；又比如讨论复级数的敛散性其实就是讨论对应的两个实级数的敛散性，因为复级数收敛当且仅当虚部与实部所对应的两个实级数收敛，这样的例子在复变函数里面很多，从这些例子看出高数的知识对于解决复变函数的问题是很有用的.同时也应该看到不仅如此，复变函数里的知识也可以帮助解决高数的问题，如在高数里面一些不能求解的积分，可以将它们转化为复积分，再利用复变函数里面留数定理求出实积分，这也是复变函数里面留数这一章学习的重点即留数的应用.至于积分变换与高数的联系也是十分紧密的，在引入傅立叶变换时会讲到傅立叶积分，而傅立叶积分的推导是从傅立叶级数开始的，这是大家在高数里面学习过的重要内容.总之在学习“复变函数与积分变换”的过程中一定要和学生强调这门课程与高数的关系，应该提醒学生注意相关概念之间的异同，只有这样才能让学生很好地将这它们联系起来，达到最佳的学习效果.

以上就是我自己多年讲授“复变函数与积分变换”这门课程中的一些体会和感受，希望能和大家分享，也希望“复变函数与积分变换”这门十分重要的课程能够让学生喜欢它并学好它.

【参考文献】

[1]东南大学数学系.积分变换[M].北京：高等教育出版社，2008.